9年级中考：探究题

张乃中初等工作室（znzms100）致力于培养广大中小学生对学习数学的兴趣，开启学习数学的心智；感受数学的严密和完美，享受探究数学的奥秘之乐趣。根据中小学生的不同状况量身定制不同的培优计划和学习内容，提高学生数学成绩于无形。

中国语言文字博大精深，近两年来，国家对中文高度重视，对国学精华思想的学习教育加大力度，对语言文字的考核提高要求，比如高考语文占分由150分提高到200分；增加对文言文阅读理解的内容；另外，在数学的出题上也将加入更多的中文阅读理解的元素，所以“探究题”估计在以后的压轴题里面出现的频次会增加，但是学生们往往最怕的就是文字多的习题，因为缺少耐心去阅读、理解。

【例】定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形。

理解定义：若有一个倍腰三角形，有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；

性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确：

（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形（     ）；

（2）若倍腰三角形的底角为α，则tanα= （       ）；

（3）如图1，依次连接倍腰三角形ABC中点，则图1中共有4个倍腰三角形（      ）；

性质应用：如图2，倍腰三角形△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，若⊙O的半径为1，求倍腰△ABC的面积；

拓展应用：如图3，⊙O是△ABC的外接圆，直径BH⊥AF于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，△ABE为倍腰三角形，其中AB=AE，BE=2，请直接写出CG的长。

【解析】首先，我们必须搞清楚“倍腰三角形”是什么意思，前提是“等腰三角形”，然后是“有一条边是另一条边的2倍”。

设等腰三角形的三条边为a，a，b，如果b=2a，

∵b＜a+a，∴b≠2a；∴a=2b；

【注】所谓“倍腰三角形”，就是腰长为底边边长2倍的等腰三角形。

理解定义：①若底边边长为2，则腰长为4，这时此倍腰三角形的周长为10；

②若腰长为2，则底边边长为1，这时此倍腰三角形的周长为5.

综上所述，该倍腰三角形的周长为10或5；

性质探究：（1）如图1-1，△ABC为倍腰三角形，AB=AC=2BC，过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的“三线合一”可知，点D为BC中点，故BC=2BD，所以AB=4BD，这样cos∠B=1/4，因为0º＜∠B＜90º，所以∠B是定值（∠B=arccos1/4），这样所有的倍腰三角形对应角均相等，即所有的倍腰三角形都是相似三角形，故（1）正确；

（2）如图1-1，设∠B=α，BD=x，则AB=4x，根据“勾股定理”：

故（2）正确；

（3）错误。有四小一大共5个倍腰三角形。

性质应用：如图2-1，设BD为x，因为△ABC为倍腰三角形，故

在△OBD中，根据“勾股定理”：

（3）如图3-1，连接BF、HC，过点G作GK⊥BC于点K。

∵BH为⊙O的直径，且BH⊥AF，根据“垂径定理”，BH垂直平分AF，

∴BA=BF，∴∠BAF=∠BFA=∠BCA；

又∵∠ABE=∠CBA，∴△ABE∽△CBA，

∴AB=AE=2BE=4，CB=CA=2AB=8；

∵tan∠BED=,∴DE ∶DB ∶BE=1∶∶4，

∴DE=1/2；

∵HB为⊙O直径，∴∠BCH=90º，又∵∠BDE=90º，

∴∠BDE=∠BHC，∴HC∶BC∶HB=1∶∶4，

∵BC=8，

由“相交弦定理”：AE·EF=BE·EC，4·EF=2·（8-2），得：EF=3；

∴DF=7/2，cos∠F=7/8，cos∠GKC=7/8，

设CG=8y，则GK=y，CK=7y，BK=8-7y，

∵GK∥HC，∴BK∶BC=GK∶HC，即：

【注】由倍腰三角形的定义和解析过程，还可以知道一些倍腰三角形一些性质：

（1）与倍腰三角形相似的三角形也是倍腰三角形；

（2）倍腰三角形腰上的高是的底边边长的倍，底边上的高是的底边边长的倍；腰上的高是底边上的高的2倍；

（3）倍腰三角形面积为底边边长平方的；或是腰长平方的；

（4）倍腰三角形底角的余弦值为1/4。