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知识解读 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系。应用勾股定理的时候，一定要弄清哪条边是直角边，哪条边是斜边. 典例示范 一、已知直角三角形的两边关系，常考虑运用方程思想 例1直角三角形的两直角边长的比是3:4，斜边长是25，则它的两直角边长分别是_______ 【提示】可设直角三角形的两直角边长分别为3k和4k，然后根据勾股定理列出关于k的方程。 【技巧点评】 根据两边关系设未知数，根据勾股定理，列方程求未知数的值，是解决此类问题常用的方法。 二、没有提供图形的几何题，要留意可能出现多解 例2在△ABC中,AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，求BC的长. 【提示】本题已知条件的三条线段AB，AC和AD，都是从点A出发的，需要分两种情况讨论。 【解答】 【技巧点评】 几何题目如果没有明确图形形状的时候，一般这个图形形状会出现几种情况，解题时需要仔细分析题意，找出所有可能的情况。 三、等腰三角形底边上的高 例3 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD是BC边上的中线，求AD的长. 【提示】由于AD是BC边上的中线，可知AD⊥BC，于是由AB=AC=10，BC=8，利用勾股定理即求. 【解答】
【技巧点评】 等腰三角形底边上的高和底边上的中线是同一条线段，根据这一性质，可运用勾股定理求得等腰三角形底边上的高。 四、已知直角三角形两边长，求斜边上的高 例4如图3-10-2，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，求CD的长. 【提示】先运用勾股定理求出AC，再根据△ABC的面积表示，即可求出CD的长。 【解答】
【技巧点评】 求直角三角形斜边上的高常运用勾股定理和面积关系式联合求解，所用的数学思想方法也称面积法。其步骤一般为：先用两种方法分别计算同一图形的面积，然后利用两个面积相等列出一个方程，从而求出求未知数的值. 五、以直角三角形三边为边长的正方形 例5如图3-10-4，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，试用含有a，b的代数式表示c的值. 【提示】这三个正方形的面积分别是a²，b²，c²，可联想勾股定理结论。 【解答】
【技巧点评】 如图3-10-5，三幅图中，直角三角形三边依次是半圆、正方形和等边三角形，它们具有相同的结论，其实直角三角形三边的图形还可以换成正五边形、正六边形等，结论同样成立.
六、利用勾股解决锐角三角形和钝角三角形问题 例6如图3-10-7，在△ABC中，∠C=60°，AB=14，AC=10.求BC的长. 【提示】过点A作AD⊥BC，图中会出现两个直角三角形—Rt△ACD和Rt△ABD，这两个直角三角形有条公共边AD，借助这条公共边，可建立起来直角三角形之间的联系。 【解答】
【技巧点评】 （1）题中并没有交代△ABC是直角三角形，因此不能直接应用勾股定理，求BC的长，像这种情况，常用的处理手段是，作三角形一边上的高，将原三角形分成两个直角三角形的和或差的形式；（2）欲求两个直角三角形的公共边的长，而在每个三角形中都无法直接求出时，往往利用这条公共边列出方程，先求出其他相关线段的长，这种方法在解此类问题中经常运用。 |
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