试题探究：立体几何最值问题的几种处理策略

立体几何最值问题的几种处理策略

湖北省阳新县高级中学 邹生书

本文赏析三道立体几何中的线段或其线段线性和最小值试题，从中领略立体几何最值问题的几种处理方法。这几道题目设计巧妙，题目因解法而精彩，既可用代数法求解也可用几何法巧解，试题与解法如下。

点评：本解法通过建系设点和两点间的距离公式，将空间线段和和的几何最值问题转化为一元无理函数的最值问题，本可以用导数工具求解，这里通过式子的结构联想，再次通过平面直角坐标系巧妙设点：一个在x轴上的动点M和两定点E,F，并且E,F在x轴的两侧，由两点之间线段最短便可求得最小值。若两定点在x轴同侧，则问题变成了“将军引马”问题，求最小值时，要作其中一点关于x轴的对称点，将x轴同侧转化为异侧问题来处理，这样反而将问题复杂化了，注意这种异侧设点法给解题带来的好处。

上述解法，从几何到代数，又从代数到几何，解法思维跳跃性大，迂回曲折，其实，转化为两个二次根式之和后，还可以用柯西三角不等式直接求解，解法如下。

另解：柯西三角不等式：

点评：代数法，门槛低，切入容易深入难，需要一定的运算求解能力；几何法，化空间为平面，化折为直，门槛高，起点高落点低，需要一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

解法2：几何法求解，化空间为平面，化折为直

由图形易知四边形ABC1E为直角梯形，PB+PC1的最小值问题,实际上是平面上的”将军引马”问题.立几搭台，平几唱戏。

分析：由图形易知，所求和与之相关的信息全部集中在△AB1C1上，于是我们完全可以将△AB1C1从立体图形中抽离出来处理，可见，这又是一个立几搭台，平几唱戏的问题。这个问题较为特别，有人称之为“胡不归”。

解法1：坐标法切入，判别法求解

赏析：这里的代数法也就是坐标法，并不是纯粹的代数法，解法涉及数形结合思想和一些几何知识，只是代数的成分较多。这里用最后用判别式法求最值，也可用导数法求解。几何解法形象直观，几何解法的基本思路是将系数不等转化为系数相等，最终转化为两线段的最小值问题来解决，难点与关键是如何转化。2PM+√2MN中两线段前面的系数不等其比值为√2，那么在已知图形中寻找比值为√2的两条线段显得很重要，顺着这一想法，我们容易发现⊿AB1C1的两直角边之比为√2，于是问题解决就有了突破和转机。细心观察，挖掘隐藏，寻找突破，实现转化。