每三年才评选一次的数论界最高奖“柯尔奖”,在今年颁给了詹姆斯.梅纳德(James Maynard),以表彰他对素数理论的诸多贡献。
说起詹姆斯.梅纳德,这就是一位“天才少年”,他在22岁取得了剑桥大学的硕士学位,26岁获得了牛津大学的博士学位,33岁就已经成为牛津大学的一名研究教授。 孪生素数猜想 也许大家看到“柯尔奖”觉得有些陌生,超模君也是在2014年才开始对它印象深刻,因为那一年这个奖项颁给了华裔数学家张益唐,用以表彰他证明了弱化版本孪生素数猜想。
关于素数,故事要追溯到两千多年前,古希腊数学家欧几里得给出了自己的证明:素数有无穷多个。 从小就爱数学的我们,可以很快把100以内的素数列举出来: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73 ,79 ,83,89,97 这些素数起初看起来很密集,但是随着素数的增大,彼此之间的距离渐渐变远,而孪生素数的出现距离也跟着变得更远...... 素数分布距离没有规律,要想找到一个大素数,加上分解和验证,都需要大量的计算。千百年来,孪生素数猜想成为了数学家无法攻克的难题。 2013年,58岁的张益唐成功证明了存在无数对孪生素数,而且其中每一对的孪生素数之差不超过7000万,把孪生素数的距离从无限变成了有限。 张益唐凭借着这个证明,获得了数论界最高奖“柯尔奖”。就在他证明“孪生素数猜想”不久,年仅26岁的詹姆斯.梅纳德将猜想中素数间隔的上限由7000万降到了600,极大优化了张益唐的证明结果。 詹姆斯.梅纳德的证明方法一问世就震惊了数学界,华裔数学家陶哲轩感慨地说: “说实话,他的描述方式实际上比我的更干净,事实证明他的方法还略强。” 其实,证明的过程并不是一帆风顺的,詹姆斯.梅纳德后来回忆说: “很长一段时间,我们都在这一问题上一筹莫展,寸步难行,任何新见解的出现都会让人激动不已。” 但是,他最终还是做到了,这就是数学家的坚持,超模君佩服! Duffin-Schaeffer猜想 就在詹姆斯.梅纳德获得“柯尔奖”前不久,他又成功证明了一个困扰数学界80年的难题——Duffin-Schaeffer猜想。
我们可以简单的理解为用“分数”的形式逼近某个数,达成“近似表达”。 比如π是一个无理数,它可以笼统的用 这个简单的分数完成近似表达。 无理数,有着无限不循环的小数,不能准确的表达为分数的形式。 一些重要的无理数有了自己的专门符号,如 、 及 等,而更多的则以无名的形式散布在我们的生活当中。 那么类似的无理数,还有没有可能也用分数的形式进行表达呢?甚至逐渐逼近,更加精确? 于是这个问题就变成了:不能准确表达,那么到底能精确到什么程度? 詹姆斯.梅纳德在他和同伴的证明论文中,把这个猜想描述为: “存在一个简单的判定条件,可以判断你能够找出几乎所有数的近似值,或几乎找不到任何数的近似值。” 来自牛津大学的本.格林教授谈到这个问题时说道: “ ” 千百年来,数学家们为此绞尽脑汁,不停计算,不断逼近: 1913年,拉马努金在手稿内用355/113当作 的近似值 其实,如果你对误差大小不太在意,找到一个近似值很容易。但是数学家,他们对自己热爱的往往表现出过分的执着。 1837年,数学家迪利克雷发现了无理数用有理数近似时的误差大小法则:
换句话说:每个近似分数和无理数之间的误差 不超过1除以分数分母的平方 ,随着分母的增大,存在无限多的分数值和 越来越接近。 比如: 和 之间的误差不到 335/11和 之间的误差不到 詹姆斯.梅纳德团队针对Duffin-Schaeffer猜想选择了一种新的证明方法。选出了一个无限长的整数数列,这个数列可以包括任何你想要的整数,充当分母。 在数轴上任一区间内都存在无限个无理数 允许你为数列上每一个分母定义一个误差值,例如要求分母为3的分数误差为0.02,或者分母为5的分数允许误差0.01。 选好误差值 如果误差可以覆盖整条数轴,那么所有的无理数都可以被这组分母近似表达。 如果选出的分数群相互之间靠的很近,误差区间有很多重叠的地方,就意味着有很多无理数不能被覆盖。 在Duffin-Schaeffer猜想中,有一个关键点在于:
这也是这个猜想80年来难住了数学家们的原因。现在,梅纳德和他的同伴用了一种新的方法解决了这个问题。
詹姆斯.梅纳德对数字有着超乎寻常的热爱。在他眼里,这些无理数中的小数点后的数字就像一只只小动物,而这个小数点就是一个牢笼,牢笼困住了它们。 他说:“我非常幸运,得到了支持和鼓励,从小我就对数学产生了浓厚的兴趣。我的父母总是鼓励我遵循自己的兴趣,而我的老师则允许我发展自己的独立品味。” 他这种对数字与生俱来的敏感,使他在数论界大放异彩。
数论一直以来被大众认为是枯燥的,又因为在实际问题中缺乏实用性,属于数学中比较冷门的一支。 当詹姆斯.梅纳德谈到这些数字时,他眼睛里绽放着璀璨的光亮。 在得知自己获得“柯尔奖”后,詹姆斯.梅纳德回应说:“我为解析数论领域目前正被许多人提出的新想法而振兴感到兴奋,希望这一奖项可以激励更多的数学家继续保持势头,并发现有关素数的更多发现。” 参考文章: https://www./new-proof-settles-how-to-approximate-numbers-like-pi-20190814/ |
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