转载｜物理和数学杂谈

就是说，通过一个数学变换，可以把前者的牛顿力学运动学范畴的方程，变成量子力学动力学范畴的薛定谔方程。
这样，两个不同的领域，至少在这一大类问题上，就可以互相借鉴，互通有无了。
一百二十年前，物理学家索末菲和数学家克莱因，曾经合著过一本刚体力学的大部头著作《陀螺理论》（德文版），十年前，这本书被翻译成英文版了。之所以过了这么久才翻译，某种程度上可能就是因为大家意识到，原来这么古老的学科也如此富有生机。
最有趣的是，借助这两个方程的对应，物理学家Kholodenko（图3）顺手巧妙地解决了一个非常变态的多重积分（图2）。解决这个问题的要点在于，他不是单纯从数学角度看待这个积分，而是把它嵌入一个更大的框架内：把这个积分看作方程的一个解。而这个方程本身又可以嵌入到物理学中：数学家是很难想到这个方程的，但从物理学角度来看，它是非常自然的。然后把刚体力学的方程变换成薛定谔方程。薛定谔的方程的解也可以看成一个积分。这个积分跟前面那个积分之间有一个简单的关系，可是它比前面那个积分简单多了。解决了这个积分，前面那个积分也就迎刃而解了。
真是妙极。
用个初等的例子来打比方的话，这种感觉有点像，你如果在直角坐标系中求圆的面积，那是需要一点点技巧有一点点难度的，但是如果你把坐标系从直角坐标系变成极坐标，然后在这个框架下，求圆的面积，简直是小菜一碟了。因为极坐标就是看待圆形的最佳视角。
当然，这个比方不太恰当，因为它没有涉及到物理。
这两篇文章对我最大的启发是，它部分解决了我长久以来的一个困惑。大家要知道，物理学的所有定律，本质上都有统计的特性或层展（emergent）的特性，都是近似的，它最多只是近似的正确。在物理学中并没有绝对正确。所有理论都是错的，只是其中有一些更好用。这跟数学完全不一样。数学中，一个定理一旦证明了，一万年后再看，它还是对的。历史和现实告诉我们，物理学和数学往往携手并进。矛盾在于，物理学这样一个相对正确的科学，为什么能给数学带来绝对正确的进展？譬如，最近半个世纪，弦理论堪称耀眼夺目，连数学家们也欢喜得不得了。因为在弦理论的框架下，一大堆数学难题得到了解决。它简直就是个下金蛋的母鸡。可是，弦理论这样一个在物理上都没站稳脚跟的近似的物理学框架，为什么竟然能带来绝对正确的数学进展？
我们还是以上面的积分和刚体力学为例，来给出一个片面的回答。
我们把这个复杂的多重积分看作一个未知的数学难题，来看一下它是怎样得到解决的。
前面提到，这个复杂的积分，可以看作一个方程的特殊解。你如果把这个方程告诉数学家，告诉他这个方程的一个特殊解是这个积分。然后你告诉他，做一个变换，去解另一个方程的积分，因为它更简单。他去验证，果然如此。他其实能跟得上物理学家的节奏，因为这些步骤和方程都是绝对精确的。刚体方程描述了刚体的运动，从物理学角度而言，我们说它近似，是指这个方程跟现实世界做对比的时候，不能完全匹配。但是你如果不管这一点，只从数学本身看，它作为一个方程而言，则是绝对正确的。数学家也完全能看懂这个方程，问题在于，他极难想到这个方程。且不说，他根本想不到去把积分嵌入一个方程，即使想到了，从积分逆推方程，是逆流而上，也极难。数学家随手就可以写出成千上万个方程，但从概率的角度讲，它们几乎都是变态的没用的。数学家几乎不可能想到眼前这一个最适合这个难题的方程。这就是为什么数学家看到它时能看懂，却会感到不可思议。但从物理学家的角度看，这一切都很自然。物理学的方程跟现实世界相比，虽然肯定是近似的，但它毕竟有很大的合理性。物理学家借由近似的物理理论和物理直觉的指引，列出了一个方程，这个方程本身是绝对精确的。然后自然而然求解方程得到了一个积分。这个过程是顺流而下。一个球在平面上滚动，这不是很自然的事吗？数学方程有千千万万，而物理学家有着看待这个世界的最自然的视角，他们能找出那些最自然的方程。而这些自然而然的东西必然蕴含着丰富重要的结构——数学结构。是的，物理理论确实是近似的。但是只要它的框架是合理的，它的视角是自然的，它的方程就是重要的。反过来说也往往是对的，一个物理理论越是合理，合乎自然之理，它的数学结构就越是重要。正是从这个意义上讲，为什么如此多的物理学家对弦理论着迷，认为它一定在正确的路上（on the right track）。上帝赋予它如此有趣的数学结构，它一定有着不同寻常的合理之处。
逆流而上和顺流而下，是两种不同的境界。这就是为什么物理学不断给数学带来奇迹。
【我是雪树，让我们一起撩拨宇宙的琴弦】
注释：
1、详细的物理对应和解释，请看这篇文章：
KINEMATICS OF THE ROLLING SPHERE AND QUANTUM SPIN. ANTHONY M. BLOCH† AND ALBERTO G. ROJO
这个对应最早是由费曼发现的。
2、用这种对应来解决一个极难的数学上的多重积分，请看这篇文章：
When physics helps mathematics: calculation of the sophisticated
multiple integral. A. L. Kholodenko
3、这个具体的数学变换叫霍普夫映射。