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2020年的中考落下帷幕，后续为大家陆续奉上典型题目分析。 本题源自2020年的安徽中考。 难度不大，题目简洁，考查知识点、思想方法都很典型。 【中考真题】 （2020·安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长； （3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG=√2AG． 【分析】本题最后一问需证明EG﹣DG=√2AG。结论中包含线段的和差等量关系，容易联想到截长补短的方法。 由于又出现√2，因此考虑构造等腰直角三角形。 在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论． 当然，如果顺时针将△AFG旋转90°也可以得到结论。 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ∴∠EAF＝∠DAB＝90°， 又∵AE＝AD，AF＝AB， ∴△AEF≌△ADB（SAS）， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°， 即∠EGB＝90°， 故BD⊥EC， （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CD， ∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF， ∴△AEF∽△DCF， ∴AE/DC=AF/DF， 即AE·DF＝AF·DC， 设AE＝AD＝a（a＞0），则有a·（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0， 解得a=(1+√5)/2或(1-√5)/2（舍去）， ∴AE=(1+√5)/2． （3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG， 在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG， ∴△AEP≌△ADG（SAS）， ∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG， ∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°， ∴△PAG为等腰直角三角形， ∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG=√2AG． 【举一反三】 【中考分析】 以下是近3年安徽省中考数学的知识点分析 模块分析知识点分析备注：以上数据来源菁优网www.jyeoo.com |
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