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上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112 何世強 Ho Sai Keung 提要：本文主要談及《四元玉鑑》之一元十次及一元八次方程式之形成法及解法。 關鍵詞：上廉、下廉、正隅、積 本文主要談及《四元玉鑑》之一元十次及一元八次方程式之形成法及解法。本文兩題取自“直段求源”。 (1) 今有積，以和乘之，減積，餘以平乘之，加和，得一十七萬七千一百六十二步。只云和為益實，四為益方，三為從上廉，二為益下廉，一為正隅，三乘方開之，如平四分之一。問：長、平各幾何？ 答曰：平一十二步，長三十步。 術曰：立天元一為開方數，如積求之。得一十七萬七千一百六十二為益實，四為益方，三為從上廉，一百二十六為從二廉，四百六十五為從三廉，五百四十四為益四廉，五百一十二為從五廉，三百八十四為益六廉，一百六十為從七廉，六十四為益下廉，一十六為正隅，九乘方開之得三步，為開方數。四之即平，合問。 解： 今有一長方形，設 x 為其“平”，即闊； y 為其長，其面積為 xy ，簡稱為“積”，“和”指長和闊之和。“九乘方”指未知數之最高次冪為 10，“九乘方開之”指解一元十次方程式，至於各係數及常數之名稱見下表。 依題意可列出以下方程式： x [xy (x+ y) –xy] +(x + y) = 177162 x2y (x+ y) –x2y + x+ y = 177162 x3y + x2y2 –x2y + x + y = 177162 ------------------------ (1) 以上方程式有兩未知數，不能解 x 與 y，但《四元玉鑑》給另一條件，若x = 4z，即z 為 x 之 z4 – 2z3 + 3z2– 4z – (x + y) = 0 -------------------------- (2) 以下為各係數之名稱：
將 x = 4z 代入(2) 得： z4 – 2z3 + 3z2– 4z – (4z + y) = 0 z4 – 2z3 + 3z2– 8z – y = 0 y = z4 – 2z3 + 3z2– 8z ---------------------------------- (3) (3) 式以 z 表 y。將 x = 4z 代入 (1) 得： (4z)3y + (4z)2y2 – (4z)2y + (4z) + y= 177162 64z3y + 16z2y2 –16z2y + 4z + y = 177162 ---------- (4) 又以 (3) 式代入 (4) 式，可寫成： 64z3(z4 – 2z3 + 3z2– 8z) + 16z2(z4 – 2z3 + 3z2– 8z)2 – 16z2(z4 – 2z3+ 3z2 – 8z) + 4z + (z4 – 2z3 + 3z2– 8z) = 177162 ------------------- (5) 因為 (z4 – 2z3+ 3z2 – 8z)2 = z8 + 4z6+ 9z4 + 64z2 – 4z7 + 6z6– 16z5 – 12z5 + 32z4 – 48z3，(5) 式左方分別展開為： 1. 64z3(z4– 2z3 + 3z2 – 8z) = 64z7– 128z6 + 192z5 – 512z4， 2. 16z2(z4 – 2z3+ 3z2 – 8z)2 = 16z2(z8 +4z6 + 9z4 + 64z2 – 4z7+ 6z6 – 16z5 – 12z5 + 32z4– 48z3) = 16z10 + 64z8 + 144z6+ 1024z4 – 64z9 + 96z8 –256z7 – 192z7 + 512z6 – 768z5， 3. 16z2(z4 – 2z3+ 3z2 – 8z) + 4z + (z4 – 2z3 + 3z2– 8z) =– 16z6 + 32z5 – 48z4+ 128z3 + 4z + z4 – 2z3 + 3z2– 8z。 以上三部分之和為： 16z10– 64z9 + 160z8 – 384z7 +512z6 – 544z5 + 465z4 +126z3 + 3z2 – 4z 補上右方之常數並移項得： 16z10– 64z9 + 160z8 – 384z7 +512z6 – 544z5 + 465z4 +126z3 + 3z2 – 4z – 177162 = 0------------------------------------------ (6) 以下為各係數之名稱﹝見《四元玉鑑》之“術”﹞：
以下為本題之傳統開方法： 先設 f(z) = 16z10– 64z9 + 160z8 – 384z7 +512z6 – 544z5 + 465z4 +126z3 + 3z2 – 4z – 177162， 以 z = 0、10 代入得： f(0) = – 177162，負數， f(10) >0 ，正數。 因 f(0) 與 f(10) 變號，故z 必介於 1 與 10 之間，今以z = 1、2、3代入f(z)，得 f(3) = 0，故z = 3為方程式 (6) 之解，而 x = 4z = 4 × 3 = 12， 答：即長方形之闊為 12 步。 又因 y = z4 – 2z3 + 3z2– 8z = 34 – 2 ×33 + 3 × 32 – 8 × 3 = 81 – 54 + 27 – 24 = 30 。 即長方形之長為 30 步。 本題之變換 x = 4z 十分重要，可使(6) 式運算之數大幅度縮小。 (2) 今有句弦和乘股弦和，減句弦較乘股弦較，餘七十步。只云弦和和乘弦較和得七十二步。問：股幾何？ 答曰：四步。 術曰：立天元一為股，如積求之。得一百六十七萬九千六百一十六為正實，一十八萬六千六百二十四為益上廉，六千四百七十九為從三廉，七十為益五廉，一為益隅，七乘方開之得股，合問。
解： “句”同“勾”。今有一句股形，今稱之為直角三角形。設句為 x，股為 y， 弦為z ，而 y 為較長之直角邊。 “句弦和乘股弦和”即 (x + z)(y + z) ， “句弦較乘股弦較”即(z – x)(z – y) ， “弦和和乘弦較和”即 (z + y + x)(z + y – x)。“弦和和”之第一“和”字指“句股和”，第二“和”字指弦與“句股和”之和。 “弦較和”之“較”字指“句股較”，“較”即差。“和”字指弦與“句股較”之和。“七乘方開之”指解一元八次方程式，至於各係數及常數之名稱見後表。 依題意可列出以下方程式： (x +z)(y + z) –(z – x)(z – y) = 70 --------- (1) (z + y+ x)(z + y – x) = 72 ------------------ (2) 式 (1) 左方 (x + z)(y + z) –(z – x)(z – y) = xy + xz+ yz + z2 – (z2 – zy – xz+ xy) = xy + xz+ yz + z2 – z2 + zy + xz– xy = 2yz + 2xz。可知： 2yz + 2xz= 70 yz + xz = 35 z(y + x) = 35 y + x = x = 式 (2) (z + y + x)(z + y– x) = 72 (z + y)2– x2 = 72 z2 + y2 – x2+ 2zy = 72 2y2 +2zy = 72 y2 + zy = 36 z = 因為 z2 = x2 + y2，以 (3) 及 (4)式代入得：
(y4– 72y2 + 1296)2 = y2(y3– y)2 + y4(y4 – 72y2+ 1296) y8 + 5184y4 + 1679616– 144y6 + 2592y4 – 186624y2= y2(y6 – 2y4 + y2)+ y4(y4 – 72y2 + 1296) y8 + 5184y4 + 1679616– 144y6 + 2592y4 – 186624y2– y8 + 2y6 – y4 – y8+ 72y6 – 1296y4 = 0 – y8– 70y6 + 6479y4 – 186624y2+ 1679616 = 0 ---------------------- (5)。 以下為各係數之名稱﹝見《四元玉鑑》之“術”﹞：
以下為本題之傳統開方法： 先設 f(z) = – y8– 70y6 + 6479y4 – 186624y2+ 1679616， 以 y = 0、10 代入得： f(0) = + 1679616，正數， f(10) <0 ，負數。 因 f(0) 與 f(10) 變號，故y 必介於 1 與 10 之間，今以z = 1、2、3、4代入，得 f(4) = 0，故y = 4為方程式 (5) 之解。 答：股為四步。 |
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