婚姻博弈论

但是，经济中有很多市场的交易并不是匿名的。这些交易在对象之间存在很强的单向或双向选择性，价格机制对他们来说不足以解决问题，甚至价格也不是最重要的问题。

最典型的是婚姻市场，金钱买不来爱情，价格机制可能完全失效。在这样的时候，我们如何可以让这些市场运行得更有效率呢？今天，身边君就想和你一起看看婚姻中的博弈论。以下，Enjoy：

董志强 | 作者

身边的经济学 | 来源

01

婚姻匹配问题

强扭的瓜不甜。男婚女嫁，理所当然应以两情相悦为基础。

可问题是，两情相悦是双方的事。大明喜欢小红，并不意味着小红就会喜欢（或者应该喜欢）大明。

之所以那么多痴男怨女、爱恨纠葛，就是因为两情相悦实在只是一种难得的巧合——如果你继续往下读，在后面会发现，通常来说爱情是不会完美的，夫妻双方往往有一方会带着或多或少的遗憾结婚。

不过，我们也不必为此悲观，毕竟我们还是可以拥有稳定的婚姻。

什么是“稳定的”婚姻？

简言之，就是不离婚。在一个允许人们自由离婚的社会中，如果夫妻俩选择不离婚，那只能说明对他们来说一起生活至少不会比各奔东西更差，通常还可能更好。

如果一个可以自由离婚的社会，所有的夫妻都不离婚，那么可以说这个社会的婚配市场达到了最佳的效率，因为这意味着没有哪对夫妻可以通过离婚来改善自己的境况。这就是全社会最好的境况。处于这种境况的婚姻配对，就是“稳定的”匹配。

问题是，我们如何得到稳定的匹配？

一种最简单的情况：

不妨让大家做这样一个头脑实验。现有三个男子，分别叫张大、张二、张三；亦有三个女子，分别叫李甲、李乙、李丙。张家每个男子对李家每个女子都有一个偏好排序，每个李家女子对每个张家男子也有一个偏好排序，如下：

表中，1、2、3是张家男子对李家女子的排序，一、二、三是李家女子对张家男子对排序。

这六个人要配成三对非常简单。不难发现，张大和李甲彼此最喜欢对方，张二和李乙彼此最喜欢对方，张三和李丙彼此最喜欢对方。所以，就按照这样三对匹配就好了，不会有人离婚，因为每个人都得到了自己最喜欢的人。

略复杂但更常见的情况：

“你最喜欢我，同时我也最喜欢你”的情形，在现实生活中并不常见。现实中，更可能出现某些人是大众情人，某些人则无人爱怜的情况，比如下面这样的偏好排序情形：

这个偏好看起来就“常见”多了。张二、张三都最喜欢李甲，但是李甲却最喜欢张大；张大最喜欢李乙，但李乙最不喜欢的就是张大……真是错综复杂的关系。我们的问题是，应该怎样配对，才能使三对男女结婚后不离婚呢？

我们可以这样思考上述问题。假设是张家男子去追李家的女子。那么首先，请大家想想，张家三个男子会向谁表白呢？显然，如果大家都秉承自己的内心，那么张二和张三会向他们都最喜欢的李甲表白，而张大却会向自己最喜欢的李乙表白，同时李丙面前没有任何人表白。

面临三个男子的表白，李家三个女子会如何反应？我们假设，每个女子对前来表白的男子能且只能留下一个，同样她们秉承自己的内心做出决定，留下自己相对更喜欢的那一个。

于是，李甲留下了张二，虽然张二并不是她最喜欢的（注意，李甲最喜欢的张大跑去向李乙求婚了），但总归比张三更讨人喜欢一点。李乙面前只有张大，别无选择暂时接受张大。李丙更惨，目前还没有人来追她。

但是，这个时候大家毕竟都还没有结婚。张三被李甲拒绝后，转而便去向自己其次喜欢的李乙去表白。这完全是去撬张大的墙角嘛，因为刚才李乙明明已经接受了张大。不过，我们刚才也说明了，李乙只是“暂时”接受张大，离结婚还早，现在她看到自己更喜欢一点的张三来求婚，还是秉承自己的内心喜爱，她立马与张大分手转而把张三留下来了。

张大被自己最喜欢的李乙劈腿之后，转而向自己其次喜欢的李丙去表白。虽然在李丙心目中，最喜欢的人并非张大，但现在自己最喜欢的张三名花有主，别无选择也只好和张大走到一起。经过这样三轮相互挑选之后，最后形成匹配是这样：

张大（2）李丙(二)

张二（1）李甲(二)

张三（2）李乙(二)

注意，括号内数字是配偶在自己心目中的排序。这里，只有张二得到了自己最喜欢的李家女子李甲，张大和张三都只得到自己其次喜欢的女子。每个女子，得到都是自己其次喜欢的男子，因为她们最喜欢的男子，都不曾来向她们求婚。

我们关心的是，这个配对是稳定的吗？换言之，能确保他们不会离婚吗？从每个男子角度来说，张二得到自己最喜欢的李甲，他不会离婚；张三喜欢李甲甚于自己的对象李乙，但李甲拒绝了张三，而他又认为李丙不如李乙，因此他也不会离婚；同理，张大被李乙拒绝过，而他又认为李甲不如李丙，因此他也不会离婚。既然每个男子不离婚，每个女子也就不会离婚。所以，上面的配对就称为“稳定的”匹配。

在上面的讨论中，我们假设的是男子向女子求婚。同样是上面的问题，如果我们把求婚规则改一下，比如从“男求婚”改成“女求婚”，结果又会如何呢？前面给出的偏好信息中，每个李家女子正好喜欢不同的张家男子，结果是在第一轮中李甲会向张大求婚，李乙会向张二求婚，李丙会向张三求婚。每个张家男子面前只有一个女子，别无选择，结果只好留下来到自己面前的女子结婚。

于是，“女求婚”最后的形成匹配是这样的：

张大（3）李甲(一)

张二（3）李乙(一)

张三（3）李丙(一)

这里，每个男子都只得到了自己最不喜欢的女子，不过每个女子都得到了自己最喜欢的男子。这个匹配确实也是稳定的，因为没有哪个女子愿意转向其他男子，于是每个男子也就不可能转向其他女子。不稳定的匹配，必须至少有一对男女同时希望改变现状。

这两个“稳定”匹配的区别在哪里呢？主要的区别在于，究竟是男性占据求婚的主动权，还是女性占据求婚的主动权。从结果上看，谁占据主动权，结果就会对谁更好。

02

谁从匹配过程中

获得最多好处？

在前面张家男子和李家女子配对的例子中，我们至少可以看到如下两个事实：

1）稳定的配对有可能不止一个

2）张家男子向李家女子求婚，和李家女子向张家男子求婚，两者结果对各方利益来说很不一样。

如果李家女子向张家男子求婚，结果就是每个李家女子都得到了自己最喜欢的男子。反过来，张家男子向李家女子求婚时，所有李家女子都只能得到自己其次喜欢的那个男子。

类似地，张家男子向李家女子求婚，每个男子至少可以得到自己其次喜欢的那个女子（有一个男子甚至得到了自己最喜欢的女子），如果反过来接受李家女子求婚，则每个男子得到的都是自己最不喜欢的那个女子。

看起来，在求婚过程中，谁主动，谁就更得益。问题是，这么一个特殊的例子所得到的结论，会在一般性的匹配博弈中普遍成立吗？

答案是肯定的！

在男求婚机制中，将有利于男子；在女求婚机制中，将有利于女子。这看上去有点反常，因为大家可能会这样想：张家男子向李家女子求婚，明明是李家女子有决策权，这个机制应该有利于李家女子才对呀！

这样想的读者朋友，是忽略了如下重要事实：在男求婚机制中，李家女子的决策权受到了极大的约束，女子能否实施决策权是以男子选择她为条件的。

在前面的例子中，李丙的决策权就是别无选择的——在前两轮求婚中，根本没有人向她求婚，直到第三轮只有张大向她求婚，她除了接受张大之外并无其他选择。

但是每个张家男子，可以序贯地选择他喜欢的对象去表白，这恰恰保证了他可以得到他能够得到的女子中最好的那一个。

反过来，如果是女求婚，那么结果就有利于女子。

看来，现代社会中女孩子要追求自己最满意的爱情，更应该主动出击。

由于在不同配对中存在上述利害关系，因此我们称男求婚对应的稳定配对为“男性最适稳定配对”，称女求婚对应的配对称为“女性最适配对”。除非稳定配对是唯一的，否则，就总是存在“男方最适”或“女方最适”的稳定配对。

上述结果的重要政策含义在于，在“中央协调机制”中，将“求婚”的主动权给予哪一方，对于群体的福利效应非常关键。

比如，在实习医生和医院的配对中，是实习医生向医院“告白”还是医院向实习医生“告白”，福利效应将完全不一样；在学生和导师的双向选择中，是学生先选导师还是导师先选学生，福利效应也迥异。

03

诚实是最佳策略

到现在为此，我们仅利用男子向女子求婚（或女子向男子求婚）来构造对延迟接受配对机制稳定性的证明。当我们把这个过程用于真实世界，我们不太可能让匹配的对象真正地一轮一轮地去配对。

更通常的做法是，我们要求匹配对象报告自己的偏好，然后根据偏好来求解稳定匹配。比如，学生要选择导师，我们并不会把学生和导师集中到一个操场上进行一轮一轮的配对，而是要求一方或双方（通常是要求学生一方）填写自己的志愿，报告出自己的偏好。

那么，新的问题来了：由于偏好是个人私有的信息，人们会如实地报告自己的真实偏好吗？

会不会有人，故意歪曲报告自己的偏好来给自己带来更大好处？

回答上述问题的重要意义在于：如果我们知道每个人的真实偏好，要设计出有效的匹配程序就易如反掌。

回答上述问题的关键在于：人们能否从歪曲偏好信息中获得更大的好处。这要分两个不同的方面来看。

第一，求婚者这一方面，能否从歪曲报告自己的偏好中获得好处？答案是否定的，不能！

第二，被求婚者这一方面，能否从歪曲报告自己的偏好中获得好处？答案是，某些时候有这种可能。

尽管被求婚者可以从歪曲自己的偏好中获得好处，但罗斯教授等人证明，即使被求婚者歪曲报告自己的偏好，对于求婚者来说最佳的策略仍是如实地报告自己的偏好。

因为如此，我们说延迟接受配对机制具有单方面策略免疫性质，即对于求婚者来说，他们不可能从歪曲自己的偏好中获益。

单方面策略免疫性质，或者说未能达到双方面策略免疫，使得我们不可能设计出一种匹配机制，使得匹配双方都如实地报告自己的偏好。

匹配经济学有一个不可能定理：对所有的偏好状况，不存在使得显示真实偏好成为占优策略的匹配程序。

通俗地说，就是没有办法让每个人都显示其真实偏好，或者说得偿所愿。

比如，在男求婚程序中，我们说一个女子接受的男子只是她的追求者中她最中意的，通常可能不是所有男子中她最中意的，因为她最中意的那个男子可能根本没向她求婚，这就意味着稳定的匹配中有女子隐藏了自己的真实偏好，我们永远不知道她最中意的男子是谁；但每个男子的偏好，则得到了真实的展示，因为根据他求婚的顺序，我们就知道他对每个女子的排序了。

不过，我们也不必过于担心面临“不可能”问题。因为在男求婚程序中，男子真实地显示了其偏好，因此女子所选择的偏好一定是对男子偏好的最优反应，而不管女子宣称的偏好是不是其真实偏好，与这种情况相应的匹配，也是稳定的。