模型|看似无圆却有圆盘点“隐圆”那些事

作者简介：姜黄飞，男，浙江海盐人，本科，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究

摘要:许多的数学试题从表面上看似乎与圆无关，但如果我们能关注题中各条件的关联，深入挖掘题目中的隐含条件，联想圆的相关定义和性质，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果，拓宽了解题的途径，更靠近问题的本质，笔者对此类问题作了一些研究，在此盘点初中常见的几类“隐圆”问题．

一

正多边形背景下的“隐圆”视角

浙教版教材2013年版将“正多边形”从原来实验版教材八下《平行四边形》一章，放到九上第3章《圆的基本性质》，在学完《3．6圆内接四边形》后学习《3．7正多边形》，可谓意图明显，正多边形与圆有着密切的联系，最根本的关系可以概括为定理:任何一个正多边形都有一个外接圆，所以正多边形中的边角问题就可以借助它的外接圆解决．从隐圆的视角解决正多边形问题，使得角度的问题更为显性化，计算更加直接快捷．

例1 如图1(1)，已知正五边形ABCDE，AC，BD相交于点P．

(1) 求∠APB 的度数;

(2) 求证:AC=AB+BP．

图1

简解: (1)如图1(2)，作出正五边形的外接圆，则∠BAC=1/2×1/5×360°=36°，∠ABD=1/2×2/5×360°=72°，所以∠APB=72°; 

(2)由(1)得∠ABD=∠APB，所以AB=AP，又∠DCB=∠ACB=1/2×1/5×360°=36°，所以BP=CP，所以AC=AP+PC=AB+BP．

评析:由上面的解答不难看出，此题引入外接圆后，各边即为圆的弦，边与对角线的夹角成了圆周角，如∠BAC 就是圆周长的1/5圆弧所对的圆周角，计算直接快捷．当然也可以直接利用正五边形的边角的关系进行计算，这里不再展开．

二

基于圆的定义“定点定长”现“隐圆”

回顾圆的定义“在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”，有些试题虽然题目没有给出圆，但由圆的定义我们不难发现“隐圆”的存在，借助圆我们可以轻松进行边角转化，化隐为显、化难为易．

（一）   题中有现成的“定点定长”现“隐圆”

例2 如图2(1)，四边形ABCD中，AB∥CD，AC=BC=DC=4，BD=6，求AD的长．

图2

简解:如图2(2)，由AC=BC=DC=4，得点B、A、D在以点C为圆心，以4为半径的圆上，∠CBD=∠CDB，延长BC交⊙C于点E，连结DE，因为AB∥CD，所以∠ABD=∠CDB，所以∠ABD=∠CBD，所以AD=ED，因为BE为直径，在Ｒt△BDE中，BE=8，BD=6，所以AD=DE=2√7．

评析:由定点C，定长CB=CA=CD联想到圆，又由AB∥CD，等腰AD=ED，得角平分∠ABD=∠CBD，利用相等圆周角所对的弦相等，从而将问题转化为求弦DE的长，问题得解，此题也可借助圆心角∠ACD=2∠ABD，如图2(3)，借助三角函数和垂径定理求解．

 （二）  由折叠产生的“定点定长”现“隐圆”

折叠问题一直是中考与自招等各类考试的一类热点问题，由折叠产生的定点定长问题，可以附以不同的背景，如在正方形、矩形、菱形以及扇形背景下等，可以详见笔者的“例谈由折叠产生的定点定长问题”一文．学生在解决这类动态问题时，往往对折叠后图象的位置缺乏想象，比较抽象，据笔者对学生的调查所知，学生通常通过取多个点尝试翻折，去发现轨迹，要花费不少的时间．而对于“定点定长”类试题，可以直指问题的本质，都是以定点为圆心，定长为半径，轨迹为圆弧的问题，通过图形的折叠或是点的对称在不同的背景下来呈现，往往结合最值问题，求路径长问题，面积问题等进行考查，是考查较为丰富的一类热点试题．

例3 如图3(1)，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3+√3，E是BC边上一点，BE=AB，F是线段AD上一点，连接EF，将矩形沿着EF折叠，点C、D分别落在G、H处，当点F从点D移动到A时，请求出点G经过的路径长．

图3

简解:如图3(2)，因为AB=3，BC=3+√3，BE=AB=3，所以EC=√3，所以CD=√3EC，所以∠CED=60°．因为E是定点，EC为定长，所以将矩形沿着EF折叠时，点G的轨迹为圆弧，当F与D点重合时，C点落在G1处，所以∠CEG1=60°;当F与A点重合时， ∠BEA=45°，C点落在G2处，所以∠CEG2=90°，所以∠G₁EG₂=150°，所以点G经过的路径长为

三

定线段、定张角，构“隐圆”

近年来定线段、定张角含“隐圆”类试题也是一个热点问题，在“隐圆”下，定线段即为“定弦”，定张角即为相等的“圆周角”，笔者简称其为“定弦定角”类问题，详见笔者的“追踪考试热点盘点定弦定角题型”，此类问题解决的关键点在于发现定线段所对的变中不变的角，从而发现轨迹为圆弧，从而化隐为显求解问题．

（一）  已知“定弦定角”构“隐圆”

例4 如图4(1)，矩形ABCD，AB=2，BC=2√3，P为BC边上一动点，过B作BQ⊥AP于点Q，点P从B运动到C时求:(1)点Q运动的路径长;(2)CQ的最小值．

图4

简析: (1)如图4(2)，因为BQ⊥AP，所以∠AQB=90°，所以点Q在以AB为直径的圆上，点P从B运动到C时，易得路径为BQ，又AB=2，BC=2√3，所以∠BAC=60°，所以∠BOQ=120°，所以Q运动的路径长为1/3·2π·1=2/3π.

(2)当Q、O、C在同一直线上时，即直线CQ穿过圆心O时，

评析:本题点P从B运动到C的过程中，∠AQB始终为90°，再有定线段AB，直接就有现成的“定弦定角”，结合P点运动的两个端点位置分析，定下路径圆弧的度数，进而求解，第(2)问CQ的最小值问题，则转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题得解．

 （二）   暗藏“定弦定角”构“隐圆”

例5 如图5(1)，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是(    )

        (A)2－√3               (B)√3+1

        (C)√2                    (D)√3－1

图5

简析:如图5(2)连接AD、DG，因为△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，所以AD⊥BC，GD⊥EF，所以∠ADC=∠GDF=90°，所以∠ADG=∠CDF，又AD/CD=GD/DF=√3，所以△ADG∽△CDF,所以∠DCF=∠DAG，所以∠AMC=∠ADC=90°，所以点M在以AC为直径的圆上，当点B、M和AC中点即圆心O在同一直线上时，如图中M2时取到BM最小值为√3－1，M1时取最大值为√3+1.

评析:例5中暗藏着四点共圆，从而发现定角∠AMC=∠ADC=90°，所以点M在以AC为直径的圆上，当点B、M和AC中点即圆心在同一直线上时，取到最值，此类最值往往在定弦定角的圆弧的基础上求点到圆的距离，是中考和自主招生的热点问题．定弦定角类问题常见定弦定角求半径、定弦定角求路径长、定弦定角求线段最值、定弦定角求面积最值等详见文献．

四

线段、张角只定其一，用“隐圆”

线段、张角只定其一的试题与上述几种类型不同，往往圆也是不定的，理解上难度更大些，在线段或是张角取到最值时往往与直线和圆的相切位置有关．

 （一）  定线段，求张角的最大值

此类求张角的最大值问题，往往借助“隐圆”利用圆周角大于圆外角来破解，经典的足球射门时的张角问题就是此类问题，下面通过一例来进行说明．

例6 如图6(1)，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12，点P是边AD上的一个动点，则cos∠BPC的最小值是________．

图6

简解:如图6(2)，作AE⊥BC于E，因为∠ABC=60°，AD=8，BC=12，所以CE=8，BE=4，所以CD=AE=4√3，如图，作BC的中垂线，交AD于点P，交BC于点Q，连接BP，CP作△BCP的外接圆，交PQ于H，交CD于点F，则PH为外接圆的直径，因为∠BCF=90°，连接BF交PH于点O，则O即圆心，又因为AD∥BC，所以⊙O与AD相切于点P，在AD上任取一点P'，连接P'B，P'C，P'B交⊙O于点M，则可得∠BPC=∠BMC＞∠BP'C，所以取切点时∠BPC最大，此时cos∠BPC最小，由PD²=DF·DC得，6²=DF·4√3，所以DF=3√3，所以CF=√3，在Ｒt△BCF中得BF=7√3，所以cos∠BPC最小=cos∠BFC=1/7．

评析:本例求cos∠BPC最小值，就是求∠BPC的最大值问题，借助“隐圆”利用圆周角大于圆外角轻松破解．

 （二）   定张角，求线段的取值范围

此类问题含一个不变的张角，但张角所对的线段却在变化，学生理解上相当困难，可以借助“斜大于垂” 来解决，当然引入隐圆，转化为半径和弦心距的关系问题，问题就会显得更为清晰，更好理解，下面我们通过一个实例来阐述．

例7 如图7(1)，在Ｒt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC上找一点Q，使∠BQP=90°，求x的取值范围．

图7

简解:如图7(2)，以BP为直径画圆，作OD⊥AC于D，则OD≤OQ，因为BP=x，所以OQ=x/2，OC=4－x/2，所以OD=3/5(4－x/2)，所以3/5(4－x/2)≤x/2，解得x≥3，所以3≤x≤4．

评析: 因为在 P、Q 的变化过程中，张角 ∠BQP 等 于 90° 不变，所以点 Q 在以 BP 为半径的圆上，转化为半径和弦心距的关系问题，弦心距 OD 小于半径 OQ，所以当圆与 AC 相切时 OD 等于 OQ，x 取到最小值．

看似无圆却有圆，“隐圆”的显现和构造都不是空穴来风，纵观本文所举的几类问题，题目本身所给的条件都和圆有着密切的联系，指向“圆”的本质特征，“隐圆”的构造也就自然发生，在“隐圆”的视角下，可以灵活进行角、弧、弦、弦心距等各种量之间的转化，问题往往由隐转显，由难变易，它反映了各几何图形和知识间的关联，是研究问题的一个美妙的视角．

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