【原】2017年高中数学联赛加试几何题的推广

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2017年高中数学联赛加试几何题的推广

西安交大附中 金磊

2017年高中数学联赛加试几何题为:

从这个证明看, 本题不难, 但是因为图形略复杂, 构型比较新颖, 再加上本题解法几乎必须先利用BIPQ共圆得到相似, 解法相对单一, 导致许多几何高手要么铩羽而归, 要么误入歧途、浪费的大量的时间和精力绕了弯子.

本题结论漂亮, 证明也不复杂, 是一个难得的好题. 其中过BI的圆C₃显然可以变化, 所以相当于C₃变化时, 证明R的轨迹为以BC为直径的圆. 下面考虑将其推广:

若I不是ABC的内心, 是任意一点呢? 结论类似, R的轨迹仍为圆. 即

即R在以T为圆心, TB为半径的圆上.

不难发现上述证明与原题如出一辙, 当I为ABC内心时, 即为命题1.

本题结论可以叙述为: 

由上述证明知, 起步中的BIPQ四点共圆至关重要, 很难直接绕开, 如果考虑此命题的逆命题等也只能用同一法. 例如

更一般地, 有如下命题.

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