【原】邵美悦——一道阿里巴巴数学竞赛题的矩阵证明

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问题. 证明: 不定方程

有无穷多组整数解 .

这是 2018 年阿里巴巴数学竞赛决赛数论与代数部分的第二题, 也是决赛中唯一一道完全初等的问题. 其实从线性代数的角度看这题的解法几乎是显然的.

很容易看到原方程可以用行列式表示成

由于形如

的矩阵全体对乘法运算又是封闭的, 而利用行列式乘积定理可得

对任何整数 都成立, 所以粗略来讲只要能设法找到原方程的一组非平凡解 (即除了 以外的解) 即可得结论.

再观察一下原方程易知 除以 余 , 那么自然考虑首先尝试 (或 ). 很幸运的是 是原方程的一组解 (其实 也是一组解, 取正整数解说理相对更容易一些). 因为矩阵序列

是无界序列, 一定包含无穷多个矩阵. 相应地, 原方程的无穷多组整数解, 并且当 取正整数时得到的都是正整数解.

如果把上述证明中的思路分析全都隐藏掉, 可以定义 , 并建立递推关系

再用归纳法证明结论. 这样得到一个完全初等的证明.