2007年上海市高中数学竞赛试卷

　　一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）

　　1．  方程的实数解_______________．

　　2．  有一条长度为的线段，其端点，在边长为的正方形的四边上滑动，当绕着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹的长是_______________．

　3．  复数数列满足，（，为虚数单位），则它的前项的和为_______________．

　4．  已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面和的距离分别为和，，分别是半平面，内的动点，则周长的最小值为_______________．

　5．  已知平面直角坐标系中点与点的对应法则 ．若一段曲线在对应法则下对应椭圆的一段弧，则这段曲线的方程是________________．

　6．  已知，计算：_______________．

　7．  已知数列满足，，，则数列的通项公式_______________．

　8．  已知圆：，过轴上的点存在圆的割线，使得，则点的横坐标的取值范围是_______________．

　二、解答题

　9．（本题满分14分）对任意正整数，用表示满足不定方程的正整数对的个数，例如，满足的正整数对有，，三个，则．求出使得的所有正整数．

　10．   （本题满分14分）已知关于的方程有三个正实根，求的最小值．

　11．   （本题满分16分）已知抛物线，是过焦点的弦，如果与轴所成的角为，求．

　12．   （本题满分16分）求满足如下条件的最小正整数，在圆周上任取个点，，…，，则在个角中，至少有个不超过．

 

　　2007年上海市高中数学竞赛试卷参考答案

　　1.    (2,8,18)     2.           3.   –1003+2 i      4.   

　　5.           6.        

　　7.             8    

 

　　9.      或者   或者   或者
       

　　10     

　　11.    

　　12     91