2000年全国初中数学联合竞赛试卷

2000年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试（4月2日上午8:30----9:30）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、计算 的值是（ ）。

（A）1；（B） ；（C） ；（D）5。

2、若 ，则 的值是（ ）。

（A） ；（B） ；（C）5；（D）6。

3、设 是不相等的任意正数，又 ，则 这两个数一定（ ）。

（A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。

4、正整数 小于100，并满足等式 ，其中 表示不超过 的最大整数，这样的正整数 有（ ）。

（A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。

5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（）。

（A）4；（B）6；（C） ；（D） 。

6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于（ ）。

（A）10；（B） ；（C） ；（D）14。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1、 是正数，并且抛物线 和 都与 轴有公共点，则 的最小值是________。

2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为________元。

3、实数 满足 和 ，则 ________。

4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为 和 ，则 ________。

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第二试（4月2日上午10:30----11:30）

一、（本题满分20分）

    设 是实数，二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点 。

    （1）求证： ；

    （2）若 间的距离不超过 ，求 的最大值。

二、（本题满分25分）

    EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG＝ ，FH＝ ，四边形EFGH的面积为 。

（1）求证： ；

（2）试用 表示正方形ABCD的面积。

三、（本题满分25分）

    设关于 的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数 的值。

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第一试试题答案

一、1、（C）；2、（A）；3、（C）；4、（D）；5、（D）；6、（B）。

二、1、20；2、150；3、4；4、 。

第二试部分试题答案

三、 。