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吴镇扬版《数字信号处理(第3版)》在内容取舍上，结合数字信号处理技术的发展做了精心的安排。全书的具体内容有：绪论、离散时间信号与系统、信号的采样与重建、离散傅里叶变换及其快速算法、无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器的设计方法、有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法、数字信号处理系统的实现、多采样率信号处理。书中很多例题给出了相应的MATLAB程序，以便学生能掌握必要的软件工具。实验是本课程的重要环节，相关章节的后面附有实验指导书。 程佩青版《数字信号处理教程(第四版)(经典版)》系统地讨论了数字信号处理的基础理论、基本概念、基本分析方法、算法、设计。全书共9章，包括四个部分。第一部分是离散时间信号（序列）与系统的时域、频域的分析，包括第1、2章的内容；第二部分是离散傅里叶变换及其快速算法，包括第3、4章的内容；第三部分是IIR及FIR数字滤波器的理论、结构与算法，包括第5～7章的内容；第四部分是多抽样数字信号处理的基础理论以及数字滤波器实现中的有限字长效应，包括第8、9章的内容。 一位朋友给我留言, 要求详细讲解一下切比雪夫II型带通滤波器的幅频特性和相频特性. 下面我从理论到实验做一个详细介绍. 主要介绍II型低通滤波器, 其他滤波器类似处理. 一. 为什么要介绍三种原型模拟滤波器 一般教材[1-2]都介绍三种模拟原型低通滤波器, 即巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆(又称考尔型)滤波器. 但是教材[1]介绍基于MATLAB的滤波器设计较多, 对于切比雪夫滤波器, 只介绍了I型, 没有介绍II型. 教材[2]介绍各种滤波器理论较完备, 且详细介绍了切比雪夫I型和II型滤波器. 那么, 为什么要介绍这三种原型低通滤波器呢? 首先, 这三种滤波器理论比较成熟, 参考资料和现成的数据较多; 其次, 其他各种模拟和数字的滤波器, 如高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等, 都可以由这三种滤波器利用变换的方法得到; 最后, 这三种滤波器各有特点, 根据实际需要选用: 巴特沃斯滤波器效率较低(相同的幅频特性时阶次最高), 但是对参数误差最不敏感; 椭圆滤波器效率最高(相同的幅频特性时阶次最低), 但是对参数误差最敏感. 二. 切比雪夫滤波器的两种类型[2] 巴特沃斯滤波器的缺点是过渡带比较宽, 减小过渡带的一种有效办法是允许通带或阻带内存在波纹, 切比雪夫滤波器就是这样一种滤波器.它有两种类型, 即I型和II型: 切比雪夫I型在通带内是等波纹的, 在阻带内是单调下降的; 切比雪夫II型正好相反, 在通带内是单调的, 在阻带内是等波纹的. 切比雪夫I型滤波器的幅度平方响应为 图1 切比雪夫I型低通滤波器的幅频特性 切比雪夫II型滤波器的幅度平方响应为
切比雪夫II型滤波器的幅频特性如图2所示. 图2 切比雪夫II型低通滤波器的幅频特性 从图1和图2可以看出, 切比雪夫I型和II型滤波器在通带和阻带内正好是相反的. 三. 切比雪夫II型滤波器的设计 切比雪夫I型和II型各种模拟和数字滤波器(包括低通、高通、带通和带阻), 可以用统一的MATLAB命令cheby2实现. 语法如下: ① [B, A]= cheby2(N, R, Wn): 设计N阶低通数字滤波器, R(分贝)为阻带波纹, Wn为阻带边界频率, 满足0.0 < Wn < 1.0, 1.0为采样频率的一半. cheby2返回滤波器的分子向量b和分母向量a. 阻带波纹的初始值可以取为R = 20. 当Wn =[W1 W2], cheby2返回2N阶带通数字滤波器, 通带为W1 <W < W2. ② [B, A]= cheby2 (N, R, Wn, 'high'): 设计高通数字滤波器. ③ [B, A]= cheby2 (N, R, Wn, 'low'): 设计低通数字滤波器. ④ [B, A]= cheby2 (N, R, Wn, 'stop'): 设计带阻数字滤波器, 其中, Wn = [W1 W2]. ⑤ [Z, P, K]= cheby2(...), 返回零点Z、极点P和增益K. ⑥ cheby2(N,R, Wn, 's'), cheby2(N, R, Wn, 'high', 's') 和 cheby2(N, R, Wn, 'stop', 's'): 设计切比雪夫II型模拟滤波器, 这时Wn的单位是rad/s, 它可以大于1.0. 上述cheby2命令必须和cheby2ord命令配合使用, 确定切比雪夫II型滤波器的阶数, cheby2ord命令的语法如下: ① [N, Wn]= cheb2ord(Wp, Ws, Rp, Rs): 返回切比雪夫II型数字滤波器的阶数和阻带边界频率Wn, 该切比雪夫II型滤波器在通带的衰减不大于Rp dB, 在阻带的衰减不低于Rs dB.Wp和Ws为通带和阻带边界频率, 归一化值范围在[0,1]之内, 例如, Lowpass: Wp = .1, Ws = .2; Highpass: Wp = .2, Ws= .1; Bandpass: Wp = [.2 .7], Ws = [.1 .8]; Bandstop: Wp = [.1 .8], Ws = [.2 .7]. ② [N, Wn]= cheb2ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's'): 返回切比雪夫II型模拟滤波器的阶数和阻带边界频率Wn, 这时返回切比雪夫II型数字滤波器的阶数和阻带边界频率Wn和Ws的单位是弧度/秒, 可以大于1. 四. 切比雪夫II型带通滤波器设计实例 例1设计满足下列指标的模拟低通切比雪夫II型滤波器: fp= 1 kHz, fs = 2 kHz, Rp = 1 dB, Rs = 40 dB. 解 MATLAB代码如下 clc; clear all; % 参数设置 Wp = 2*pi*1000; Ws = 2*pi*2000; Rp = 1; Rs = 40; R = 20; % 计算滤波器阶数和阻带边界频率 [N, Wn] = cheb2ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's'); % 设计切比雪夫II型滤波器 [B, A] = cheby2(N, R, Wn, 's'); % 绘制幅频特性图 omega = 0:200:10000*pi; h = freqs(B, A, omega); gain = 20*log10(abs(h)); plot(omega/(2*pi), gain); xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB'); grid on; 运行得到图3. 图3 5阶切比雪夫II型低通滤波器的幅频特性 图3为切比雪夫II型低通滤波器的幅频特性, 可以看出, 在通带内是单调下降的, 在阻带内是等波纹的. 由于IIR滤波器是以牺牲相频特性来换取幅频特性的, 因此一般不考虑相频特性. 上面设计的是切比雪夫II型模拟滤波器, 同样地, 也可以设计数字滤波器. 其他各种类型(高通、带通、带阻)的滤波器可以做类似处理, 这里不赘述了. 参考文献 [1] 吴镇扬. 数字信号处理(第三版). 高等教育出版社, 2016 [2] 程佩青. 数字信号处理教程(第四版). 清华大学出版社, 2015 |
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