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阿基米德用穷竭法推导出：抛物线下的面积与其外接长方形的面积之比是1:3,今天我们就来讨论X^3曲线下的几何面积  前面我们已经讨论了抛物线x^2下的面积，用的不是纯代数下的微积分，而是可视化的几何原理，这种方法是从另一种数学思维出发得到与微积分原理相同的结论。 接着我们讨论X^3下的面积，同样不是微积分去计算，而是优美的几何原理。 首先，我们用初等数学可以求出X^3曲线上任意点的斜率，也就是导数，它等于3X^2.  即：tanθ=3X^2，那么切线与X轴所围成的直角三角形的两条直角边长就是X^3, X/3。 切线与X轴交点的横坐标就是X-X/3=2X/3 现在我们做出X^3曲线的所有切线，这就形成了完美的切线区域“切线簇”我们将所有的切线延长至与Y轴相交，以X轴为界 T区域的直角三角形和X轴下方的直角三角形相似，对边相似比为1:2，面积之比就是1:4 ,  这是一个有趣的结论，为什么呢？因为X轴上方的切线区域与X轴下方的切线区域面积之比就是1:4(因为对边之比，也就是所谓的切线之比是1:2)，那么X轴上方的切线区域与整个切线区域的面积之比就是1:9 由切线区域我们得到一个重要的等式：9S=S+4T,我们得到S=T/2 因为T是直角三角形，所以T的面积等于X/3*X^3*1/2=X^4/6 那么S的面积就等于:X^4/12=T/2 最终得到X^3曲线下的面积等于S+T=X^4/6+X^4/12=X^4/4 这与微积分所得到的结果一致， 我们还可以得到一个重要的结论：X^3曲线下的面积与其外接长方形的面积之比是1:4 |
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