【原】基于核心概念的高中“数学欣赏” 教学的认识与实践*

新青年数学教师 2020-09-02

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基于核心概念的高中“数学欣赏”

教学的认识与实践*

任念兵（华东师范大学第二附属中学 201203）

欣赏

所谓“欣赏”，《辞海》的解释是“领略玩赏”，《现代汉语词典》的解释是“享受美好的事物，领略其中的趣味”。数学欣赏，是一种高级的思维活动和特殊的实践活动，以一定深度的数学理解、数学习得和数学认知为前提，并依托于欣赏者的科学素养、文化修养等，能够增进对数学概念、知识和思想的理解。

数学欣赏

“数学欣赏”的提法虽然并不新鲜，但是直到张先生呼吁之后，“数学欣赏”才与数学教学（尤其是中学数学教学）联系起来，引发了关于“数学欣赏”教学的热烈讨论。本文将立足于张奠宙先生对“数学欣赏”含义的教学理解，在分析“数学欣赏”教学研究现状的基础上，提出基于核心概念的高中“数学欣赏”课堂教学的基本认识，并谈谈笔者在校本选修课《高中数学欣赏》上的教学实践与思考。

1.“数学欣赏”教学研究的现状

在数学教学中进行“数学欣赏”的已有研究成果具有以下特点：

（1）研究大多集中于欣赏数学的外在美感，较少欣赏数学的内在逻辑和理性精神。

（2）欣赏的具体案例大多集中于数学发展史上的经典模型、趣味问题等，较少针对高中数学教学内容进行提炼、欣赏。

（3）研究内容大多是在日常课堂教学中渗透“数学欣赏”，专门研究“数学欣赏”校本课程开发的成果不多。

总体而言，在课堂教学中对高中数学进行欣赏的相关研究，目前还处于初步探索阶段。

2．基于核心概念的数学欣赏的基本认识

2.1 核心概念

在一个概念体系中，有些概念处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切的联系，我们称这些概念为核心概念。由核心概念生长出来的概念称为子概念。把握住数学的核心概念（包括重要的子概念），就抓住了数学知识的根本，掌握了知识增长的源泉。概念教学的核心是“概括”，而“数学能力就是以数学概括为基础的能力”，核心概念的概括和梳理对发展学生的数学能力具有重要的作用。鉴于数学核心概念在增长数学知识、发展数学能力上的中心地位，笔者在数学欣赏课堂教学中，坚持每个课例都紧紧围绕某个核心概念（或重要的子概念），数学欣赏也就成了欣赏数学概念。

2.2 内容选择

首先，对于构造性强、思维跨度大、方法创新程度高的教学内容，可以让学生欣赏数学的探索发现的过程，通过概念发生发展历史中的关键节点，了解数学概念经历的由“火热的思考”到“冰冷的美丽”的演变过程，促进学生的数学理解，发展数学能力。比如，在“欣赏对数”中可以介绍对数发展史的关键节点[8]。

其次，数学欣赏要引导学生学会数学地思考问题，充分挖掘数学的内在力量。一方面是对选取的概念进行系统的剖析（内涵、外延、各种表征），一方面是选取与概念对应的“好题”，通过解题帮助领悟核心概念所蕴含的数学思想方法。

最后，如何看待中国传统文化的现实意义，是当前的一个理论热点。我国当前基础教育阶段的数学课程，并非中国古代数学的延伸，而是全盘从西方引入的。因此，将西方数学与中华文明进行适度整合，从中华文化的角度来诠释西方数学，是一项值得思考的课题。比如，在“欣赏无限”中，笔者列举了与数学中研究“无限”的方法有意境相通之处的若干名句。

2.3 结构化教学

我们讨论的数学欣赏，都是把学习过的教学素材按照研究的主题集中在一起让学生重新欣赏，为了在这种复习中提升对相关主题的认识层次，避免简单地炒冷饭，就需要对选择的教学素材进行适当的组织。笔者在数学欣赏课堂上，都是按照结构化教学的原则来组织欣赏素材。

每节课都围绕一个中心论题（核心概念或重要子概念）展开教学，经历“从表面到本质——理解概念的内涵与外延”“从抽象到具体——对概念的不同表现形式的具体把握”“从孤立到系统——对概念之间的关系、联系的认识，将概念组织为具有层次性、立体化的结构体系”的过程，精心组织相关的数学素材，使相应的核心概念（及其反映的重要思想）成为一个有机整体，使学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列，从而形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养。比如，在“欣赏角”中，通过对空间中“线面角”“面面角”的两种理解(可以看成是“线线角”的最值、通过平面的法线可以转化为“线线角”)来阐述角概念的内涵，通过“有向角”来说明角概念的外延，通过直线的倾斜角与斜率的关系、向量夹角与数量积的关系来认识角概念的多元表征。

2.4 校本教材

在数学欣赏校本教材的编写上，主要是以专题案例的形式进行组织。数学学科独特的结构性决定了难以就单一知识点开发出丰富的数学欣赏的素材，而需要整合知识内容，将零散的学习内容集中起来进行专题开发，放大某个数学本质，凸显某种数学价值。需要特别强调的是，校本教材中各专题紧紧围绕高中数学教材中的核心内容，大部分素材都取自教材、高考题等，只在数学发展史、人文意境等方面补充适当的其他材料。

在校本教材的课程体系建构中，不要求知识的系统性，而在学生可接受的范围内以点带面地体现数学的工具理性和价值理性，引导学生在领悟数学理性精神的前提下，感悟数学的人文意境。《高中数学欣赏》校本教材的编写，最重要的指向是挖掘隐藏在高中数学教材的概念、结论背后的数学思想方法，欣赏数学的理性精神。

3. 高中数学欣赏选修课的教学实践

3.1 课程开设时间

许多数学概念和数学思想，刚开始接触时没有办法说透，真正的欣赏是在基本的理解和掌握的基础上才会产生的。从这个意义上说，数学欣赏，是在基本理解的基础上做进一步的深入理解。所以，数学欣赏选修课应在大部分高中数学内容已经学完的条件下开设，考虑到一线教学的实际，笔者决定在高二第二学期开设选修课，以一种全新的复习形式，挖掘教材中隐含的数学思想，促进学生对高中数学的理解。

3.2 课程案例开发

案例（专题）的开发是设计数学欣赏的根本。笔者梳理了上海高中数学教材中的所有内容（主要是代数和几何），选取了背后蕴藏着丰富的数学思想方法和数学欣赏素材的若干概念，依次开发了数学欣赏十二讲。涉及高二第二学期知识点的内容尽量放在课程的后面几讲，大致配合日常必修课教学的进度。

3.3 学生学习评价

因为不同的学生处于不同的欣赏层次，所以需要对学生在数学欣赏选修课上的学习进行开放的评价，重点体现在考核方式上。笔者要求学生在学期末交一份作业（任选一种形式）：写一篇数学欣赏的小文（可以是读书笔记、上课感受等）、编一道值得欣赏的数学题（可以是改编做过的一道好题）、做一个数学小课题（可以是通过数学建模解决实际问题）。

4. 高中数学欣赏课程的教学思考

4.1 数学欣赏与数学能力、数学素养

数学欣赏教学立足于核心概念（或重要子概念），通过结构化教学，整合体现数学思想方法的素材，帮助学生构建结构功能良好的数学认知结构。而学生良好的数学认知结构是具有开阔视野、灵活思维并善于多角度思考问题的前提，是学生数学能力强、数学素养高的重要表现和保证。通过数学欣赏课程的学习，可以让学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，进而提高数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学素养。

4.2 数学欣赏与教师专业发展

数学欣赏的前提是对数学知识必须有一个真正的认识，融会贯通之后，才能在一定层次上进行欣赏。开展数学欣赏教学，对教师的专业素养提出了更高的要求，除了具有丰富的数学教学经验和扎实的数学功底外，还应具备一定的文史功底(包括数学史)，惟有教师多读多思多悟，才能在案例开发时对贴切的素材信手拈来，在课堂教学中能游刃有余。尤其需要指出的是，数学欣赏的教学素材，课本中没有现成的设计，现有文献成果虽然可以提供部分借鉴，但立足于高中数学内容的优秀案例仍需要研究者通过学习和钻研，自己去发现和提炼，这需要教师对数学的独到理解，也需要教师教学智慧的迸发，更需要教师教学经验的积淀。在数学欣赏案例开发中，做到“于无声处听惊雷，于无色处见繁花”，对教师的数学素养和教学业务功底提出了极大的挑战。

笔者一边学习张奠宙先生的有关数学欣赏的理论论述，一边积极开发一些选修课的教学案例、课例，尝试如何将“数学欣赏”落实到校本选修课中，帮助学生深入理解数学、提高数学素养。希望有更多的老师加入到数学欣赏的教学实践中来，并在教学实践的基础上进行理论构建上的思考，从实践到理论，开展一些实证研究工作。

*本文是上海市青年教师教育教学研究课题“高中‘数学欣赏’校本课程的开发研究”（Y2015A13S122V2075）的阶段性成果.

参考文献

1. 章建跃.数学课程改革与教师专业化发展[J].中学数学教学参考(上旬)，2007（12）：3-7

2. 张奠宙，柴俊.欣赏数学的真善美[J].中学数学教学参考（上旬），2010（1-2）：3-7

3. 张奠宙.谈课堂教学中如何进行数学欣赏[J].中学数学月刊，2010（10）：1-2

4. 张奠宙.数学欣赏：一片等待开发的沃土[J].中学数学教学参考(上旬)，2014（1-2）：3-6

5. 李邦河.数的概念的发展[J].数学通报，2009（8）：1-3,9

6. 邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程﹒教材﹒教法，2009（7）:47-51

7. 林崇德. 我的心理学观[M].北京：商务印书馆，2008:401

8. 任念兵.基于核心概念的高中“数学欣赏”教学三探[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（8）：26-30

9. 任念兵，汪健.基于核心概念的高中“数学欣赏”教学初探[J].教育研究与评论（中学教育教学版），2016（7）：28-32