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典型例题分析1： 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F． （1）求证：DF⊥AC； （2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求弧BD的长（结果保留π）． 考点分析： 切线的性质；弧长的计算． 题干分析： （1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥AC； （2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再结合OB=OD可得出△OBD是等边三角形，根据弧长公式即可得出结论． 典型例题分析2： 如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求∠BEC的正切值． 考点分析： 切线的性质；直线与圆的位置关系；解直角三角形；综合题． 题干分析： （1）连接OD，证明OD⊥CE，所以需证明∠CDA+∠ODA=90°； （2）根据已知条件在Rt△CDO中，由勾股定理求得：CD=4，又CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，由切线长定理得DE=EB，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则（a+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即BE=6，然后由正切函数的定义解得∠BEC的正切值． 解题反思： 本题考查了切线的性质、直线与圆的位置关系、解直角三角形，解题的关键是①掌握直线与圆的三种位置关系及其判定方法，②掌握圆的切线的性质及勾股定理的应用、正切函数的定义． 典型例题分析3： 如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠EBC=∠BAC/2，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若AB=8，sin∠EBC=1/4，求AC的长． 考点分析： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 题干分析： （1）首先连接AF，由AB为直径，根据圆周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC=∠BAC/2，根据等腰三角形的性质，可得∠BAF=∠EBC，继而证得BC与⊙O相切； （2）首先过E作EG⊥BC于点G，由三角函数的性质，可求得BF的长，易证得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案． 解题反思： 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． |
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