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例题：（初中数学综合题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD、AB的延长线相交于点G． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若CF=1，∠ACB=60°，求图中阴影部分的面积． 知识回顾 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线性质：三角形中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法）（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，进一步得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可推出OD⊥DF，从而证明结论；（2）根据已知条件得到△ABC为等边三角形，再利用“分割图形求面积法”即可得到阴影部分的面积． （1）（证切线，连半径。连结OD，只需证得OD⊥DF，即证得DF是⊙O的切线） 证明：如图，连接AD、OD， ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°，（直径所对的圆周角是90°） ∴AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴点D为BC的中点．（等腰三角形“三线合一”） ∵点O为AB的中点， ∴OD为△BAC的中位线， ∴OD∥AC，（中位线的性质） ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF，（平行线的性质） ∴DF是⊙O的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） （2）解：在Rt△CFD中，CF=1，∠C=60°， ∴CD=2CF=2，（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） ∵AC=AB，∠C=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=2BD=4． ∵OD∥AC， ∴∠DOG=∠BAC=60°，（两直线平行，同位角相等） ∴DG=OD·tan∠DOG=2√3，（三角函数的定义） ∴S阴影=S△ODG-S扇形OBD =1/2·DG·OD-60/360·πOB^2 =2√3-2π/3． （完毕） 这道题是关于圆的综合题，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是利用分割图形求面积。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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