一个半圆 三个三角形 添加三条辅助线 求四条线段长 解读精炼17题

H17.如图，边长为12的等边三角形ABC中，以AB为直径的半圆，与BC相交于点D，作DF⊥AC，点F为垂足，作FG⊥AB，点G为垂足，连结GD，（1）求证：DF为半圆的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值。

解读：

（1）要证明DF为半圆的切线，只需证明DF⊥OD即可。

为此，连结OD，AD。

由AB为半圆的直径得，AD⊥BC，

又因为AC=AB，

由等腰三角形三线合一得，D为BC的中点。

又O为AB的中点，得OD为中位线，

因而OD//AC，又DF⊥AC，

所以DF⊥OD，

即DF为半圆的切线；

（2）通过解两个含60°的直角三角形CDF和AFG，

即可搞定FG的长。

在Rt△CDF中，∠C=60°，CD=1/2BC=6,

得，CF=1/2CD=3，DF=3√3,

在Rt△AFG中，∠A=60°，AF=12-3=9,

得，FG=AFcos60°=9√3/2；

（3）发现△GFD中，∠GFD=60°，

FG=9√3/2，DF=3√3，

解这个三角形即可求tan∠FGD的值。

为此，作DH⊥FG，H为垂足，

在Rt△DFH中，∠GFD=60°，DF=3√3,

所以DH=DFsin60°=9/2，

FH= 1/2DF=3√3/2，

在Rt△DGH中，GH=FG-FH=3√3，DH= 9/2，

所以tan∠FGD= DH/ GH=√3/2。

综述：

考查的主要知识点：

1.切线的判定判定定理；

2.含特殊角60°，30°的直角三角形的解法；

3.含60°的非直角三角形的解法；

涉及添加辅助线：

4.直径所对的角为直角；

5.中位线；

6.将非直角三角形改造为直角三角形。

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