|
如图：已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，连接D、F，求证∠ADB=∠CDF。
解析： 1.先分析要求证明的结论。 从本题要求证明的结论看，要求证明相等的两个角共用一个顶点，离得很近。不像一般的证明题，要求证明相等的角或者线段离得比较远，所以会用到转移线段的手段。现在两个角挨一起，且共用顶点。那么根据我们在初一学习的关于角的知识，如果过D作一条垂线，且能证明这条垂线能够平分∠BDF，那么也就证明了题目要求的结论。 再结合D点是AC的中点这个已知条件，联想到等腰三角形的三线合一的性质，我们过D点作垂线的必要性就进一步加强了。 另外，从D点你如果没有联想到等腰三角形的三线合一，而是想到了AD=CD，那你就应该想到可以方便地构造一对全等三角形，因为已有一对角一组边相等了。 2.上面两个思路的实施看起来都有实施的方便条件，因为△ABC是等腰直角三角形，可以有多组相等的线段。且AE⊥BD所构造出的射影模型，又构造出了多组相等的角。这些都是证明三角形全等的很方便的条件。 3.所以，以上两个证明思路应该都可行。 证明思路一：过D点作垂 从这个思路出发，并不是说真的需要作条垂线，这个思路的本质是构造一个等腰三角形。有了等腰三角形，垂线自然就出来了。当我们知道我们需要一个等腰三角形时，应该就想起了等腰直角三角形的斜边上的中线就是把这个等腰直角三角形分成了两个小的等腰直角三角形的。所以，我们很自然地就想到要从A点引出BC边上的中线（也是垂线、角平分线）。实际上，在一个等腰直角三角形中，作斜边上的中线应该是一个习惯作法，你在任何题中，只要你碰到了一个等腰直角三角形都要想到作这条中线的必要性。 过A作AH垂直于BC于H，交BD于G。 则：AH=HC=HB 连接H、D，则HD⊥AC。 （这时，如果能证明∠BDH=∠FDH就大功告成） 要想证明∠BDH=∠FDH，优先考虑的方案是证明△HGD≌HFD。 现在考查一下证明这两个三角形全等的条件够不够。 HD是公共边，肯定算一个S。 HD平分∠AHC，又有了一个A。 既然已经有了一个S和一个A，那就优先考虑证明HG=HF，因为这样就有了SAS。 要想证明HG=HF，意味着AG=CF。 AG和CF相等吗？ 这两条线段隔得比较远，应该是分别属于两个互相全等的三角形的。哪两个三角形全等呢？ 等你执行既定的思路遇到了困难时，常见的措施是求助于已知条件。我们还有一个已知条件没有用呢：AE⊥AD。 AE是从直角顶点向斜边BD引出的垂线，这会构造一个射影模型。在射影模型中，易证： ∠EAD=∠ABD，∠ADB=∠BAE 应该可以很容易看出，在△ABE和△ACF中，已经有一对边（AB=AC）一对角（∠EAD=∠ABD）相等了，还差一对角相等。 因为AH平分∠BAC，所以∠BAG=∠ACF=45°。 所以，△ABE≌△CAF 所以，AG=CF 因为，AH=CH， 所以，GH=FH 所以，△DGH≌△DFH 所以，∠HDE=∠HDF 因为，∠ADB=∠ADH-∠HDE，∠CDF=∠CDH-∠HDF 而，∠ADH=∠CDH=90° 所以，∠ADB=∠CDF 证明思路二：构造一个包含AD边和∠ADB在内的三角形和△CDF全等 构造这个三角形的思路最应该来自于∠C=45°。 它是△CDF的一个已知角，所以，我们在需要构造的三角形里，如果也能构造一个45角，就很接近证明全等了。显然，还是过A引BC上的中线是最方便的构造45°角的手段。 剩下的故事就和思路一差不多一摸一样了，还是需要证明AG=CF。由同学们自己去完成吧？！ 小结： 作辅助线对很多同学是个难题，解决这个难题的最有效的思路就是先分析题目要求我们证明什么结论。从结论出发，我们往往可以发现证明的思路应该是什么，有多少个可能的思路。我们再结合题目给出的已知条件，就可大致判断出哪一个思路是可行的。 找到大致可行的思路就大胆开始实施，在实施过程中你就知道每一步的小目标是什么。为了证明这些小目标，你还得有思路，这些思路要实施，你就知道你要作什么辅助线了。做出哪一条辅助线，就可以最好最方便地利用已知条件来证明小目标，那我们就作出哪条辅助线。 |
|
|
