[数学] 一道中考必刷几何题的几种解答思路

题目

题目非常简单，如下所示，求角B。：

题目

编者不常解题，自然没法秒解，想了一会儿才找到答案，并且列举了一些常规的思路。

从所提供的几种思路来看，第一种方法确实很直接，可以实现秒解，后面的思路黯然失色，基本上有“为赋新词强说愁”的感觉。

不过，权且拿来当作思维锻炼也未尝不可。

解题思路一

思路1

如图，过B点做AC的垂线，垂足为F，连接DF。

很明显，CD=2。

因此，三角形CDF是等腰三角形。

所以：

由于：

所以，三角形AFD也是等腰三角形，所以，AF=DF。

同时，由于：

所以，三角形BFD也是等腰三角形，所以，BF=DF=AF。

所以，三角形AFB也是等腰三角形，所以：

所以：

此种方法最巧妙，基本上可以秒解。

思路1-1

解题思路二

思路2

如图所示，过B点作AD的垂线于F点，过A点作BD的垂线于E点，连接AE和BF。

由于：

也就是：

从而可得：

所以：

同时，

根据三角形面积关系，有：

所以，

所以：

所以，∠ABF=30°。

所以，∠ABC=30°+45°=75°。

解题思路三

思路3

如图，过A点做边BC的垂线，垂足为E点，同时，做B点关于直线AE的对称点F，连接AF。

依题意，有：

也就是：

从而可得：

因此：

注意到：

根据角平分线的基本性质，可以确认AF为∠EAC的平分线。

所以：

所以，∠B的值为75°。

解题思路四

思路4

过A点作BD的垂线于点E，过C点作AD的垂线于G，连接AE和CG。

仔细观察，我们可猜测直角三角形ABE和直角三角形ACG相似。

在三角形ACD中，根据正弦定理（正弦余弦是高中的知识吧，三角函数的方法就不再列了。），有：

其实15°为特殊角，我们也可以用其值替代，如果不知道其值，将其当作一个常量也行。

因此，

由于CG=DG,DE=AE，

所以，

所以：

同理，我们可知道：

如果要确定直角三角形ABE和直角三角形ACG相似，我们需要证明：

由于：

同时，

因此，

由于：

所以，所求角B为75°。

解题思路五

思路4

当然了，也可以不用三角函数来做。

借助于思路二中面积相等的方式，

我们可以求出：

从而，可以知道：

同理，可以确定：

从而：

由于：

同时：

因此：

从而确定直角三角形ABE和直角三角形ACG相似。

解题思路六

思路6

过A点作BD的垂线于点E，连接AE。

根据思路二里的三角形面积关系。

我们可以计算出：

由于BE<CE，因此角B大于60°。

我们在AC上取点M，使CM=CB，因此，三角形BCM为等边三角形。

在直角三角形AEC中，根据勾股定理，我们可以计算出斜边：

所以：

由于：

因此：

所以：

所以：

所以，所求角B为75°。