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【前言：同样一道经典的几何证明题（正方形），不同的老师就有不同的考量的思路，我是从“问题变式”演变考虑的，而沈慧华老师是从“图形运动”引发的不同解法考虑的（参考：巧用图形运动构造全等三角形（沈惠华老师撰文/草根批注））同一一位老师在不同阶段会有不同的考量的思路，本文写后的数月，结合2015年徐汇区一模的压轴题考虑从“旋转相似”诠释这道题（参考：草根2015年一模反思（3）再议2015年徐汇一模数学压轴题），做此文，共大家从不同角度去思考】 运用“问题变式”教学逐步帮助学生掌握辅助线添加方法的尝试 对于一些学生普遍感到有困难的数学问题的解决，一个基本思路就是把没有解决的问题化归为已经解决的问题，复杂的问题化归为简单的问题（波利亚，1945）。由于在未解决问题（复杂问题）和解决了的简单问题之间没有清晰的联系，因此有时需要运用“问题变式”为完成这种化归设置一些路径。这一转换过程可以用图1来表示。 在初中的数学教学中就有一些学生掌握较困难的难点，例如：几何证明中的“辅助线添加”。在实际教学中，我发现虽然教师针对这一难点，讲解了很多例题，学生也操练了不少习题，但实际效果并不理想，很多学生面对新的需要“添加辅助线”的数学问题时，依旧感到束手无策，可见学生对于辅助线添加的方法还没有真正掌握。针对此，我尝试针对“添加辅助线构造全等三角形”中的一类问题，设计了一组“问题变式”（其基本结构如右图），试图以此逐步帮助学生掌握该类辅助线添加方法。 以下我就根据初二学生的一般认知水平，并结合课堂中学生的即时反馈，客观描述学生通过我所设计的这组“问题变式”的学习，其对于“添加辅助线构造全等三角形”这类数学问题的认知过程。 一、通过“源问题”给出问题解决的基本流程： 源问题：如图（3），E是正方形ABCD边AB上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），在另一条直角边上截取DE=EF，联结BF，证明：BF平分∠CBM。 第一步：观察图形，通过“外角的性质”或“同角的余角”发现“∠ADE=∠BEF”； 第二部：根据已掌握的“等角”和“等边”的条件，构造全等三角形（过点F做FH⊥AB于H）； 第三步：利用构造出的全等三角形，通过合理论证得到须证明的结论。 注：由△ADE≌△EFH， 得FH=AE、EH=AD=AB，继而可推得：BH=FH，即△BFH是等腰直角三角形。 二、通过“垂直变式题”，逐步增加认知负荷，驱动高层的数学思维 变式一：如图（1），E是正方形ABCD边AB上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。求证：DE=EF。 变式二：如图（2），E是正方形ABCD边AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。求证：DE=EF。 对于“变式一”，学生会发现如果依旧“过点F做FH⊥AB于H”，由于苦于找不到“等边”的条件，所以无法证明△DAE≌△EFH。（注：事实上，如果仅根据初二学生的认知水平，确实证不出这组三角形的任何一组等边） 面对学生的困惑，我引导他们思考：和源问题相比，什么结论依旧存在，什么条件已经不存在了？学生容易发现，“等角”的结论依旧存在，但“等边”的条件“消失”了，而证明“三角形全等”必须至少要找出一组对应边相等，于是我进一步引导学生：是不是可以通过构造辅助线创造“等边”。不久，就有学生提出：在AD上截取DG=EB，联结GE（如图6），由于AD=AB，不难发现△GAE是等腰直角三角形，从而可得∠DGE=135°，又因为∠EBF=135°，所以∠DGE=∠EBF，从而证明了△DGE≌△EBF。 对于“变式二”，课堂中有很多学生在尝试模仿“变式一”中添加的辅助线的方法：在AD上截取DG=EB，联结GE（如图7）。继而就开始苦苦思索△DGE≌△EBF的原因……，而事实上，易发现△DGE与△EBF并不“全等”。于是在部分学生心中就会产生新的困惑：为什么“变式一”中成功的辅助线添加的方法，在“变式二”中“失灵”了呢？ 针对部分学生的“困惑”，我引导学生重新反思“变式一”。学生发现“变式一”中添加辅助线的初衷确实是为了利用“等角”的阶段结论，截取一条相等线段从而构造“全等三角形”，但在截取相等线段的同时也“无意之间”产生了一个等腰直角△GAE，而恰恰正是这个等腰直角三角形在关键时刻提供了另一组“等角”的条件，所以“变式一”中“截取相等线段”的辅助线其实有着一箭双雕的“妙用”！而如果在“变式二”中，我们机械“模仿”变式一，依然在AD上截取DG，那“变式一”中的等腰直角三角形将不复存在，证不出全等也自然在情理之中了。 在反思原有辅助线添加方法的基础上，我进一步引导学生，既然“截取相等线段”不行，那我们应该怎样添加这条辅助线呢？话音刚落，不少同学异口同声地回答：“应该‘补’！”即延长AD至点G，使得DG=EB，连结GE（如图8）。容易发现，这样添加的辅助线构造了相等线段的同时也“产生”出了一个新的等腰直角△GAE，利用该等腰直角三角形，不难发现“∠G=∠FBE”，从而可证“△DGE≌△EBF”。 三、通过“水平变式题”，巩固已掌握的数学方法，为量变到质变提供可能。 变式三：已知：如图（9）△ABD和△DBC均为等边三角形，点E、F分别在边AB、BC上，联结ED、DF，若∠DEF=60°，证明：△EDF是等边三角形。 虽然“变式三”只是背景由“正方形”变为了“等边三角形”，辅助线的添加方法并没有发生“变化”，但班内依旧有近三分之一的同学有困难，这正说明学生之间思维能力是有差异的，所以此处设计的“变式三”，既为部分困难的学生提供再“运用”、再“巩固”的机会，也为另一部分同学提供了思考这类问题“共性”的机会。 我想量变是质变的基础，学生只有通过适当的反复，才能通过表面特征的重复，才能慢慢形成解决问题的一般方法。所以“水平变式题”在“问题变式”教学过程中同样起着至关重要的作用。 四、最后通过“垂直变式题”，从特殊到一般摸索出这类题目一般规律。 变式四：已知：如图（4），AB=AE，∠A=∠BCD=α，若∠DEF=______（用“α”表示），则可证BC=CD。 对于“变式四”，由条件“∠A=∠BCD=α”可得到一组等角：∠B=∠DCE；利用这组等角，在AB上截取GB=CE，由于AB=AE，所以AG=AC，进一步可得：∠AGC=90-α/2，所以若希望△GBC≌△CED的结论依旧成立，则∠DEF的度数也须等于“=90-α/2”。换言之，符合这样规律的问题，都可以参考本例添加辅助线。从而，由特殊到一般摸索出了这类几何证明题的一般规律。 就本节课的教学设计而言，我从源问题出发先铺设了两道“垂直变式题”，引导学生在利用等角构造全等三角形的基础上，逐步增加认知负荷，逐步驱动高层的数学思维，逐步由表层类比（数字和字母的变化）向结构类比转化。增加深层策略，由原来的程式知识转为策略知识，由表层学习向结构学习转化，逐步增加对数学本质的深层体会，从而使学生的体验由起点（例题）到终点（垂直变式题）的深层经历。然后通过一道“水平变式题”的巩固后，进一步通过反思理解了这类几何问题的一般规律，掌握了这类几何问题的辅助线的添加方法。 其实针对这类问题的解决我们还可以设计出很多相关问题变式，如下例： 源问题：如图11，已知，在正方形ABCD的边BC、CD上有两点E、F，若EF=BE+DF，试证明：∠EAF=45°； 变式一（垂直变式），如图11，已知，在正方形ABCD的边BC、CD上有两点E、F，若∠EAF=45°，试证明：EF=BE+DF； 变式二（垂直变式），如图12，已知，在正方形ABCD的边BC、CD延长线上有两点E、F，若∠EAF=45°，问此时线段EF、线段BE和线段DF之间有着怎样的数量关系？并请证明你的结论； 变式三（水平变式），如图13，已知△ABC是边长为9的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交边AB于点M、交AC于点N，联接MN，求△AMN的周长。 变式四（垂直变式），若AB=AC，BD=CD，∠A=α，若∠BDC=______，∠MDN=____________，则可证 MN=BN+CN。 通过这些“问题变式”训练，我所教学生处理类似“添加辅助线构造全等三角形”相关问题的能力得到了一定的提高。所以我认为“问题变式”教学的优势就在于，变式题不同于记忆型题目和高层思维型题目（如开放题），而是在记忆型题目和高层思维型题目两个“极端”之间保持“平衡”，真正使学生的数学学习循序渐进、“变”中得“进”，融会贯通，从而达到减负增效的作用。 【视频解答】 |
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