由三角板演绎出来的趣味探究题

由三角板演绎出来的趣味探究题

夏　飞（中学特级教师）

利用三角板命制的趣味探究题，不能使抽象的数学问题具体化、形象化，而且能激发学生的学习兴趣，调动学生学习数学的积极性，更能培养学生的应用意识，以及多方面的能力。因此，由三角板演绎出来的探究题引起了广大师生的高度重视，有些题目已经出现在了中考试卷上。特举几例加以解析，以飨读者。

 

例1：下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（  ）

 

　　　

 

解析：根据三角板为等腰直角三角这一特性，紧扣轴对称图形和中心对称图形的概念可知，同时具备两种情况的应是A图．故答案选A．

 

例2：如图，A、B、C为三角板的三个顶点，A、B两点的坐标分别为（3，4）、（6，1）．

 

（1）请直接写出C点的坐标；

 

（2）求此三角板的周长．

 

　　　　　　　　　　　　　　

 

解析：（1）出C点的坐标是（5，6）．

 

（2），，，则可求出此三角板的周长为．

 

例3：如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板，使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N，如果，，，，你能求出与的关系式吗？若换成等腰直角三角板作为用具，结果相同吗？

 

　　　　　　    　

 

解析：连接BD，过O点分别作AB、BC的垂线，垂足分别为E、F，在Rt△ONE和Rt△OMF中，而∠EOM∠NOE，∠EOM∠MOF，所以∠MOF∠NOE，所以Rt△ONE∽Rt△OMF，所以，由于，，所以，，，即．但从分析过程来看，若换成等腰直角三角板作为用具，所求得的关系式仍相同．

 

例4：如图，一等腰直角三角板GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，但正方形ABCD保持不动，将三角板GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD的中点）按顺时针方向旋转．

 

（1）如图（1），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

 

（2）若三角尺GEF旋转到如图25-3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

 

　　　　　　

 

　　解析：（1）BMFN．

 

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

 

∴∠ABD∠F，OBOF．

 

又∵∠BOM∠FON， ∴△OBM≌△OFN ．

 

∴BMFN．

 

（2）BMFN仍然成立．

 

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

 

∴∠DBA∠GFE，OBOF．

 

∴∠MBO∠NFO．

 

又∵∠MOB∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN．

 

∴BMFN．

 

例5：如图，将两只含有角的直角三角板摆放成矩形后，再将三角板ABC沿AC翻折，使点B落到点的位置，A与CD交于点E．

 

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；

 

（2）若，，为线段上任意一点，于，于H．试求的值，并说明理由．

 

　　　　　　　　　　　　　

 

　　解析：（1）．

 

　　证明：∵四边形ABCD为矩形，∴， ；

 

又∵，∴△AED≌△CE．                                                           

 

（2）由已知得：，且，∴．

 

∴．在RT△ADE中，，，∴．

 

延长HP交于M，则PM⊥AB，∴，

 

∴．

 

例6：如图，将含有角的一直角三角板绕C点顺时针方向旋转，与△CDE重合，过E点作CD的平行线，分别交AB、AD于M、N点．

 

（1）若，你能确定的值吗？请说明理由．

 

（2）若，你能确定的值吗？请说明理由．

 

　　　　　　   　

 

　　解析：（1）根据题意，可知△ABC≌△DEC，B、C、D三点在一条直线上，MN∥BD，所以；在Rt△ABC中，，设，则，接着可利用勾股定理求得，由于，则，而，所以可求得，所以，即的值为．

 

（2）由于MN∥BD，所以可证得，即，在Rt△ABC中，，设，则，接下去与（1）同理同法，可求得，所以，即的值为．