1 定义梯形(trapezium)是指只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边。不平行的两边叫腰;两底之间的公垂线段叫梯形的高。梯形有无数条高。 2 性质3 特殊图形4 辅助线5 周长面积6 典型例题例1△ABC中,AB=AC,BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线。求证:四边形EBCD是等腰梯形。 分析:欲证四边形EBCD是等腰梯形,解题思路是证ED//BC,BE=CD,由已知条件易证△BCD≌△CBE得到EB=DC,从而AE=AD,运用等腰三角形的性质可证ED//BC。 证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠DBC=∠ECB=1/2∠ABC, ∴△EBC≌△DCB(A.S.A), ∴BE=CD, ∴AB-BE=AC-CD,即AE=AD. ∴∠ABC=∠AED,∴ED//BC, 又∵EB与DC交于点A,即EB与DC不平行, ∴四边形EBCD是梯形,又BE=DC, ∴四边形EBCD是等腰梯形. 点评:本题的解题关键是证明ED//BC,EB=DC,易错点是忽视证明EB与DC不平行. 例6在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,且AC⊥BD,AF是梯形的高,梯形的面积是49cm2.求梯形的高。 解法1:如图(甲),过A作AE∥DB交CB的延长线于点E。 ∵AC⊥BD, ∴AC⊥AE. ∵AD∥EB, ∴AE=BD,EB=AD. 又∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴AC=BD. ∴AE=AC. ∴△AEC是等腰直角三角形. 又AF是斜边上的高,故AF也为斜边上的中线. ∴AF=7cm 解法2: 设梯形ABCD的两条对角线相交于O点,过O作OH⊥BC于点H,延长HO交AD于G点(如图(乙)). ∵AD∥BC, ∴HG⊥AD. ∵AB=DC,AC=DB,BC公共, ∴△ABC≌△DCB. ∴∠2=∠1. 又∵AC⊥BD, ∴△BOC是等腰直角三角形. ∴同理. ∴以下解答过程与解法1相同. 解法3:过D作DM⊥BC于点M(如图(丙)). ∵梯形ABCD是等腰梯形, ∴AC=DB,∠ABC=∠DCB. 又∵AF=DM, ∴Rt△AFC≌Rt△DMB, ∴∠DBC=∠ACB. 又∵AC⊥BD, ∴∠DBM=∠ACF=45°. ∴△AFC和△DMB都是等腰直角三角形.AF=FC,DM=MB, ∴. 以下解答过程与解法1相同. 点评: 本题的三种解法都是利用等腰直角三角形的性质或全等三角形的性质来证明该梯形的高就等于该梯形的中位线的长.因此,在等腰梯形中,若两条对角线垂直,则这个梯形的高就等于中位线的长,梯形的面积就等于高的平方. 例7在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,点E,F,G分别在边AB,BC,CD上,且AE=GF=GC. (1)求证四边形AEFG是平行四边形; (2)当∠FGC=2∠EFB时,求证四边形AEFG是矩形. 分析:本题考查有关三角形、四边形的综合证明.涉及到等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等.在解答过程中要注意证明格式、推理方式的规范化. 证明:(1)∵在梯形ABCD中,AB=DC, ∴∠B=∠C. ∵GF=GC,∴∠C=∠GFC, ∴∠B=∠GFC ∴AB//GF,即AE//GF. 又∵AE=GF ∴四边形AEFG是平行四边形. (2)解:过点G作GH⊥FC,垂足为H. ∵GF=GC, ∴∠FGH=1/2∠FGC. ∵∠FGC=2∠EFB ∴∠FGH=∠EFB. ∵∠FGH+∠GFH=90° ∴∠EFB+∠GFH=90° ∴∠EFG=90° ∵四边形AEFG是平行四边形, ∴四边形AEFG是矩形. 备注:梯形的底角可以指梯形中任意一个角,所以说“底角相等的梯形是等腰梯形”是不对的。 |
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