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中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。 我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。 本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。 系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。 系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。 头条上的图文显示不太好，的可以加Q好友（8627437），进群下载。 第九讲 多边形 一、知识框图 二、重点难点分析 1. 平行四边形的定义可以应用在两个方面：一是由定义可知平行四边形的两组对边分别平行(性质)；二是只要四边形中有两组对边分别平行,那么这个四边形就是平行四边形(判定)。 2.平行四边形的性质:(1)边:对边平行且相等;(2)角:邻角互补、对角相等;(3)对角线:互相平分。同时平行四边形与三角形的稳定性不同,平行四边形具有不稳定性。 3.平行四边形的判定方法大致分为三类:(1)根据边判断;(2)根据角判断;(3)根据对角线判断,具体见知识框图。 难点分析: 1.平行四边形可以看作由三角形旋转得到,以任意三角形的一边中点为旋转中心,将三角形旋转180°。所得的图形与原三角形组成平行四边形,由此特征可以得到平行四边形的相关性质。 2.在证明一个四边形是平行四边形时,如果已知一组对边平行,可以证明这组对边相等或另一组对边平行,如果已知一组对边相等,可以证明这组对边平行或另一组对边相等。 3.平行四边形的一条对角线将平行四边形分成的两个三角形全等,两条对角度相交将平行四边形分成四个小三角形,其中两对对顶三角形全等,这些全等三角形对研究平行四边形中的边角关系有很大作用。。 三、例题精选 例1如图，在□ABCD中，DB=CD，∠C的度数比∠ABD的度数大60°，AE⊥BD于点E，则∠DAE的度数为______．  解答： 利用方程思想，设∠ABD=x，则∠C=60°+x，∠DBC=∠C=60°+x； 由平行四边形邻角互补的性质：x+2（60°+x）=180°；解得x=20°， ∠DBC=80°=∠BDA。 ∠DAE=90°-80°=10°。 例2（2014·遵义）如图，□ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．  （1）求证：BO=DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长． 解答： （1）由SAA可证△DFO≌△BEO，因此BO=DO； （2）等腰直角△DFG，DF=FG=1，DG=； 等腰直角△DFO中，FO=DF=1；EF=2；在等腰直角△AEG中，GE=3，AE=3；AG=3， 因此AD=AG-DG=2 用平行线的比例性质就更直接。 例3、分别以□ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形△ABE，△CDG，△ADF．  （1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）； （2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由。 解答：设∠CDA是锐角，则∠DAB为钝角 （1）设∠CDA=x，则∠DAB=180°-x； 则∠GDF=45°+45°+x=90°+x 而∠EAF=360°-∠DAB-∠DAF-∠BAE=90°+x=∠GDF； 由SAS可证△GDF≌△EAF，得GF=EF。且GF⊥EF （2）同（1）的思路： ∠FDG=90°-x； ∠EAF=∠DAB-90°=90°-x 从而三角形全等；GF=EF且GF⊥EF。 平行四边形的题目中，利用角度等量代换，最后证明两个角相等的题目很多的。利用方程思想，设未知数，会使问题更直接。 提醒：题目问两条线段的关系的，除了长度相等以外，往往还有垂直或平行的位置关系，别忘记。 例4. 如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．  （1）求线段CF的长度；（2）求证：AB=DG+CE。 解答： （1）由勾股定理DE=4， 角平分线加CD∥AB，△ADF是等腰三角形，AD=DF=DE=4，这是个模型。 CF=CD-DF=5-4=1 类似的思路可以证明△ADG≌△FDM。 （2）利用补短法。 延长 GD到N，使DN=EC；  由SAS可证两个直角三角形△ADN≌△DEC； ∠NGA=∠EDC+∠DFG=∠NAD+∠DAG=∠NAG； AN=GN=ND+DG=CE+DG=CD=AB 例5、如图所示，在□ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于 F点，连接EF． （1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条？说明理由；（不再另外添加字母和辅助线） （2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？ （3）如果将条件'AB＞BC'改为'AB＜BC'，其它条件不变，EF、BC与AB的关系又如何？请画出图形并证明你的结论．  解答： （1）由平行线性质，∠DMA=∠MDC=∠ADM，因此AD=AM，AE是角平分线，因此△DAE≌△MAE，因此DE=EM； 又∠FCB=∠DAE=∠DCB=∠DAB； 同理，∠ADE=∠CBF；AD=BC 由ASA得△DEA≌△BFC；因此BF=DE=EM； EM=FB，且EM∥FB（同位角相等） 四边形EFBM是平行四边形。 （2）由（1）的证明分析可知：AB=AM+MB=AD+EF=BC+EF （3）BC=AB+EF。直接把ABCD的顺序依次下轮一个即可。 例6、如图在△ABC中AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF，求证EFBC。  |
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