辅助线作法“倍长中线”在中学几何计算与证明中的应用

在初中几何计算与证明的过程当中，辅助线作法非常多，而“倍长中线”是其中最重要的一类之一。今天我们就花点时间，认真学习一下“倍长中线”。如果你是中学生或中学生家长，看完它，以后遇到此类问题或许将迎刃而解。我们把“倍长中线”的辅助线类型大概分为三类。分别是倍长中线、倍长经过中点的线段和延长相交证倍长。下面我们举例细说。

倍长中线

所谓中线，是三角形的顶点和对边中点连线的线段。如下图，若D是三角形ABC边BC边的中点，则线段AD叫做三角形ABC底边BC的中线，也可以简单的把线段AD叫做三角形ABC的中线。一个三角形明显有3条中线。

所谓“倍长中线”，就是在几何计算和证明的过程当中，如果出现三角形中线，在不添加辅助线的情况下，如果问题无法获得解决，此时应该首先考虑用把中线延长一倍即“倍长中线”，以构造“8”字型全等。如下图，若D是边BC中点，延长AD到E使得DE=AD，连接BE，则△ADC和△EDB可利用“SAS”证明全等。此时下图的阴影就是刚才上面所说的“8”字型全等。倍长中线的精髓就是构造这个“8”字型全等。

上面的方法说的再多，讲的再详细，理解的再透彻。但和做题比起来就是两码事了，方法可能感觉很简单，但运用起来就不一定了，下面我们给出具体的例题，大家一定要在具体的例题当中去理解“倍长中线”。

例1: 如图，在△ABC中，AD是边BC的中线，若AB=6,AC=4,则AD的取值范围是_____________.

分析：倍长中线构成“8”字型全等，如下图，在三角形ABE中，AB=6,由△ADC和△EDB全等可知BE=AC=4.在△ABE中由三边关系可知：6-4<AE<6+4,即2<2AD<10,因此1<AD<5。由此可以发现，我们通过“倍长中线”。把已知线段和所求线段都转化到了三角形ABE当中。进而把问题解决。

大家想一下，若把例题中的条件改为，AB=6,AD=4.其它条件不变。求AC的取值范围，思路是完全一样，可以尝试做一下。

答案是2<AC<14

倍长经过中点的线段

所谓的倍长经过中点的线段，是指在图当中没有中线，因此只需要把经过线段中点的线段延长1倍以构造“8”字型全等。具体情况我们在例题中说明。

来看下面一道例题

例2 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过D作DE垂直于DF分别交边AB、AC于E、F。连接EF。求证：BE+FC>EF.

分析：如图，线段DE和DF在图中不是以中线形式存在的，此时再说“倍长中线”明显不合适，除非连接EC，此时线段ED才可以说是三角形EBC的中线，但图中并没有连连接EC。此时如果把ED或FD延长一倍，只能叫：倍长经过中点的线段（也就是线段ED经过线段BC的中点D）。但是我们仍然把这中情况它归为“倍长中线”的范畴。

这道题的具体做法如下：

倍长ED后，由绿色“8”字型全等，可得BE=PC,DE=DP。由已知条件DE和DF垂直可得FD是EP的垂直平分线，由垂直平分线性质可知EF=PF，这样就把要证的三条线段转化到右边的黄颜色三角形FPC中，由三角形三边关系可知FC+PC>FP，等量代换后是FC+BE>EF.

我们进一步思考，如果增加条件，若角A是直角，此时黄颜色三角形FPC可证是直角三角形，因此三角形FPC三边的关系满足勾股定理，转化就是就是BE平方+FC平方=EF平方，这也是勾股定理那一章常考的题型。

例3 关于倍长经过中点线段，我给出一条三角形的性质，这条性质的证明也是要用到倍长经过中点的线段。看下图，已知AD是角平方线，E是边BC中点，EF和AD平行。求证：AB+AF=FC.

这个是三角形的一条重要性质，希望大家能够记住。

证明此结论，倍长FE后，由三角形全等对应角相等、平行后同位角和内角角相等、角平方线、对顶角相等可得到里边多个角相等，进一步可以证明绿色三角形是等腰三角形。即可得到结论。

延长相交构造倍长

所谓延长相交构造倍长是指：如果我们把中线或经过线段中点的线段倍长，则要牵涉证共线或者证点在某条线上，为了不证共线或者证点在某条线上（这样麻烦），直接延长中线或经过线段中点的线段使其与线相交后再证明相等，是一种间接的倍长中线。

我们通过下面例题加以说明：

例4 三角形ABC和三角形CDE均是等腰直角三角，AB=BC,CD=DE，M是AE中点。求证：三角形BMD是等腰直角三角形。

分析：辅助线如下，此时如果倍长DM至F，需证明F在直线AB上，因此我们选择直接延长DM交直线AB于F，然后再证“8”字型全等，图中的AB和DE平行，这个“8”字型全等是比较好证的。然后可得M是FD中点。这中情况我们称作：延长相交构成倍长，本质还是把经过中点的线段延长了一倍。在“8”字型全等基础上，可得三角形FBD是等腰直角三角形，后面再得三角形BMD就简单了。

上述三种做法尽管有区别，但本质都是把中线或经过中点的线段延长了一倍，因此我们都把它叫做“倍长中线”，在具体的问题中大家要具体分析。多做题多总结多运用。

学以致用

下面一道题留给大家思考

例5。如下图，四边形ABCD是正方形，三角形BEF是等腰直角三角形，BE=EF，连接FD，P是FD的中点，连接EP,PC。证明：PE=PC

提示的辅助线作法如下：

从左到右，图1是“8”字型全等，图2是两块阴影全等，但是钝角相等不好证明，需要延长EF和CD相交借助于同位角来证，图3阴影是等腰直角三角形