|
16、17世纪毕达哥拉斯主义：在16、17世纪，数学是最成熟的自然学科。这时期许多思想家与数学家受柏拉图、毕达哥拉斯及神学的影响，认为自然界现象不仅互相联系，而且按照统一规律运转，这个统一的基础就是数学，这是毕达哥拉斯主义的继续。M·克莱因说，他们认为“上帝是按数学方式设计了大自然的”。
在17世纪前后的200年间，一批优秀的科学家在这一思想的鼓舞下，不断去寻找大自然的数学规律。哥白尼、第谷·布拉赫、开普勒、伽利略、帕斯卡、笛卡尔、牛顿等都不止一次的谈到上帝通过他们的数学方式使宇宙以和谐。开普斯试图用五种几何模型（正4,6,8,12,20面体）论证宇宙的构造，但没有成功。伽利略说“上帝在自然界规律中令人赞美的体现出来的并不亚于他在圣经中所表现的”，对此莱布尼兹补充说“世界是按上帝的计算创造的”。文艺复兴时的重要人物达·芬奇认为，数学作为真正科学可以把沉默强加于争辩者之舌，意即数学逻辑严密，是绝对真理。伽利略曾将宇宙看成是一部用数学语言写成的巨著，并认为“数学知识不但是绝对真理，而且像圣经那样，每句每行都神圣不可侵犯的。实际上数学更优越，因为圣经还有许多不同的意见，而对数学真理，则不会有不同的意见。”毕达哥拉斯学派学说实际是用数学规律取代上帝并创造宇宙使之和谐的学说。
17世纪唯理论数学观：唯理论虽有唯物、唯心之分，但他们的认识论却有共同点，就是重视数学演算与逻辑推理，强调演绎法；认为包括数学在内的科学是人们理性或“天赋观念”的产物；只承认科学的普遍性与必然性，否认感性认识的真实性。莱布尼兹是后来数学基础研究中逻辑主义的先驱。他从自己的认识论出发，将真理分成两部分：事实真理与理性真理，并认为前者是偶然性真理，后者是必然性真理。对于理性真理，他又分为两种：原始真理和逻辑真理。对前者，他认为不可能也不需要证明。对后者则采用他的“不矛盾原则”，数学真理就属于逻辑真理。同时，莱布尼兹还相信真理的先天性，他说：“无可争辩的是感觉不足以使人看出真理的必然性，而因此心灵有一种禀性来从自己内部把这些必然性真理抽引出来……，必然真理的原始证明只来自理智，……而对于一个普通的真理，不论能有我们关于他的多少特殊经验，如果不靠理性认识它的必然性，靠归纳是永远也不会得到对他的确实保证的。”对数学，他说“全部算术和全部几何学都是天赋的和以潜在的形式存在于我们心中，所以我们只要注意地考虑并顺次序安排好那已在心中的东西，就能在其中发现他们，而无需乎任何凭经验或凭旁人的传统学到的真理。”
显然，从唯理论派看来，数学的真理心是主观的，它既不来源于客观实际，也无须回到实践中去接受检验，它是“天然的合理的”，是“天赋的真理”。同这种认识论相联系，唯理论者在方法论上是演绎主义者，他们片面的否定或贬低归纳法的作用，认为科学真理都像几何学一样，是从几个先天的公理中演绎出来的，演绎法是科学产生、发展的唯一方法。但这一观点受到归纳主义者的反对，其理由主要有二：第一，演绎推理的根本规律是同一律（A=A），它的本质是同义反复，不可能给人以任何新的知识；第二、演绎推理的正确性依赖于其大前提的正确性，而大前提的正确性又依赖于另一个大前提的正确性，如此单纯依赖演绎法，必然陷入无穷到退的逻辑陷阱中。
17、18世纪经验论数学观：在唯理论产生的同时，也产生了它的对立面—经验论。经验论也有唯物与唯心之分，但他们的认识论也是相同或相似的，这就是重观察与实验，强调经验与归纳法，只承认感性知识的真实性，认为科学知识是感觉经验的组合物，否认科学知识的必然性和普遍性。英国的唯物经验论代表人物洛克认为在经验之前根本不存在人脑所固有的“天赋观念”。他指出人的心灵就象一张白纸，没有任何天赋的东西，犹如儿童和白痴不知道数学和逻辑规则一样。但他在知识论分类问题上，表现出一定的不彻底性，他将经验分成两类：由感觉引起的外部经验和由反省引起的内部经验。与此对应，将知识也分为两类：关于具体事物的知识和关于抽象概念的知识。而数学和“道德”一样是抽象概念的知识，它来自和外部毫无关系的“内部反省”。按洛克的见解，数学观念只是一种“样式”，而“样式”是一种并不独立存在的“观念”。他说：“复杂样式观念和关系观念都是原本，他们不是摹本，不是按照任何一种真实存在的模型形成的，心灵并不期待他们和一个模型契合”。虽然洛克也谈到了数学的实在性，但他所说的实在性是一种“观念”的存在。他虽然反对莱布尼兹的“天赋”观点，但却将心灵看成独立的精神实体。这反应了洛克对数学，从而对数学的真理性持有唯心主义立场。稍后的休谟继承与发展了这一立场。
休谟是英国唯心经验论的代表者，也是不可知论者（又叫怀疑主义者）。他断言科学的对象不应是经验之外的客观事物，因为它们是否存在是不可知的；科学的对象应是感觉经验事实。和洛克一样，他将知识分成观念的知识与实际的知识，除此之外就是“诡辩和幻想”。他认为观念知识是先验的，而实际知识是后验的，数学是观念知识。他说：“属于第一类的有几何，代数，三角诸科学；……总而言之，任何断言，凡是有直觉的确定性或解证的确定性都属于前一种。……这类命题，我们只凭想象作用，就可以把他们发现出来，并不必依据宇宙中任何地方存在的任何东西……。至于人类理性的第二对象（实际的事情）就不能在同一方式下来考究；而且我们关于他们的真实性，不论如何明确，而那种明确也和前一种不一样。各种事实的反面总是有可能的。”作为经验论者，他们是这样解释数学问题的先天性和必然性的：数学命题所表明的只是概念的关系，而与客观事实完全无关。比如，即使宇宙中不存在任何圆或三角形，欧几里德所解证的真理也会永远保持其正确性和明白性。可见，他们是通过对数学命题的客观性的否定来解释数学的必然性和先验性的。
在方法论上，经验论者强调归纳法，片面的否定或贬低演绎法。如，洛克曾明确的说“知识不是由公理得来的”，但这个观点却受到演绎主义者的反对，理由是：已有的经验并不能保证对以后的经验有必然性。如欧洲人从只看到过白天鹅而归纳出“天鹅是白的”错误结论。但归纳主义者休谟认为：归纳知识的必然性既不可能有逻辑根据，也不可能有事实根据，仅仅是一种心理上的“信念”，即过去“经验”的多次重复，在人们的心理上造成的一种“想像”；“信念”和“想象”虽不可靠，但对人类的认识还是必须的，没有他们就没有科学。但演绎主义者反问“如果将数学在内的科学建立在主观‘信念’和‘想象’的基础上，科学岂不太不可靠了吗？”
18世纪先验论数学观：德国数学家康德不同意关于经验论与唯理论派关于数学知识的分类（两者虽然分类不同，但都应该是将数学看成一种逻辑知识），他认为科学知识必须具备两个特征：一为普遍性与必然性，一为能扩大内容给人以新知识。他从分析判断和综合判断出发，将知识分成三类：1、由先天分析判断得出的分析命题；2、由后天综合判断得出的经验命题；3、由先天综合判断得出的综合命题。分析命题虽具有必然性与普遍性，但不能扩充知识，经验命题虽能扩充知识，但没有必然性与普遍性，只有先天综合命题兼有两种特点（如过两点有一直线），是真正的知识，数学就是这一类，同时还认为“严格的数学永远是先天判断，而非经验判断”。对于先天综合命题的必然性，康德说“只能是理性所给予的”。先天只能来自于理性，而理性又涉及到感性。对于感性，康德认为只有“空间（外感观形式）”和“时间（内感观形式）”两种纯粹形式，他们都是先天的概念。因此，就有：几何学是关于空间的知识，由于空间具有先验性和直观性，所以几何命题是先验综合判断；同样，算术是关于时间的知识，时间具有先验性和直观性，所以算术命题也是先验综合判断。康德所谓的“直观”就是所谓的“直觉”，纯数学是来源于理性，是人类理性活动的结果，纯数学是建立在直觉基础之上的学科，是人先天综合能力或观念所赋予经验世界的。康德这种“直觉创造了数学”的思想对后世数学哲学影响很大，现代直觉主义就继承了该思想。
康德关于两种判断的思想（分析判断、综合判断）对以后的西方哲学也有一定的影响。在不趋于极端的情况下，是对认识论的一个贡献。康德关于空间与时间既有“客观经验的实在性”也有“先验的理想性”。这种关于时空二元论的思想，在一定程度上比柏拉图、笛卡尔、莱布尼兹和休谟的一元论是一进步，他将数学建立在先验、纯直觉的基础之上，也就无法回答知识为什么会有客观必然性的问题，非欧几何与集合论宣告先验论数学观的破产。
|
