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有人说数学是当之无愧的科学女王，如微积分这一数学史上的伟大创造，它对当时的数学发展、科技进步和实际应用都起到了不可磨灭的作用，至今仍闪烁着灿烂的光辉，还有像泛函分析、拓扑学、突变理论、非标准分析等纯粹数学中的精华，它们的科学体系无论是从本身结构的完美程度，还是从它们的逻辑体系的严密性以及发展空间，对其他科学的指导作用都是有目共睹， 也有人说数学是科学的奴仆，因为数学语言为其他科学的发展提供了工具，如20世纪初科学革命中相对论和量子力学这两项最伟大成就，都是以数学为基础和工具来对复杂物质世界宏观领域和微观领域的规律性描述，而随着计算机科学的进步和发展，上至天气预报，下至污水处理，连超市进货的周期数量，公共交通线路的规划设计，甚至是国家的安全防卫都要用到数学，数学的多样性的巨大应用确定了其仆人的不可代替性， 但是曾任世界学术圣地普林斯顿高等研究院院长，在2008年因在霍奇结构的变分、阿贝尔积分的周期理论方面的工作以及对复微分几何的贡献而获得沃尔夫奖的知名数学家P.A格列菲斯并不这样认为，在普林斯顿高等研究院新数学楼落成仪式上，他发表了名为《数学—从伙计到伙伴》这个让世界震撼的演讲，相信看完这篇文章，会让你对数学与科学之间的关系，为什么要学习数学有一个更加清楚的认识. 称呼问题与语言 我是一名数学家，这意味着像别的数学家一样，我陷于一种进退维谷之窘境，窘境之一是企图用比喻来解释数学，这有过于简单化的危险，另一窘境是对广大的公民（这包括我们大部分的科学同行）来说，数学是一不可理解的沼泽之地，对数学界和对数学不大理解的社会来说，这是一个很大的问题，所以今天我决定用通俗语言——如果你们允许，我对我的同行只说几句行话，让我从似乎很重要的两个方面入手， 首先，数学与科学间有着根本的不同，其次是最近几年数学与其他学科之间的关系发生了根本性变化——大部分是好的，考虑这个变化的一种方法是看一看对数学的叫法，数学一直被称为是科学的女王，在许多人的眼里，无论如何数学总有些难以企及，有一种自命不凡的暗示，仿佛说数学家不需要别人，也还有种把数学看成蓝天的观点，仅为自己而在空中进行练习，实际上，数学家G.h. Hardy曾说过数学之实践归于艺术形式为最佳， 数学也被称为科学的奴仆，也就是大量的能工巧匠为科学框架提供工具，有时教务长把数学系看作'服务系'，无论是女王还是奴仆看起来都不合适，数学没有这么高于或低于其他学科，却是在他们里面或环绕着他们，它正成长为一完满和相互影响的伙伴，我的任务就是要使你们相信这个，而且证明这不仅对数学是健康的，而且对传统上很接近数学的物理以及对离数学很远的商业，心理学及健康方针分析学也同样是健康的， 另外一种看待数学的办法是把它当成一门语言，我们在学校的每一年都学习它，就像我们每年都学英语一样，每当研究一门科学数量化时，那么它就必须依赖数学这门语言，但并不止于此，因在量子电动力学的工作而获得1965年的诺贝尔奖的物理学家费曼曾说：'要是没有数学语言，宇宙似乎是不可描述的'， 也许这方面最著名的例子是有关牛顿，他想要理论框架来表示在重力作用下物体的运动，这包括开普勒的行星运动法则，这种渴望驱使他形成了万有引力定律和微积分，那是科学史上伟大的成就之一，另一个用数学作为合适语言的例子是有关爱因斯坦的传说，他花了数年时间试图形成引力实际上只是空间的曲率这种可能性，但他不知道如何从数学上加以表达，一天他求助于密友格洛斯曼说: '你必须帮助我，否则我会发疯的'，格洛斯曼告诉他黎曼有关弯曲空间的工作依赖于更早的高斯和罗巴切夫斯基的工作，大部分基础研究已经完成且正待使用，这才使首先是物理学家只是必要时才是数学家的爱因斯坦松了一口气，从而他得以继续进行广义相对论的研究， 但数学和物理学的联系变得更深了，另一个诺贝尔物理学奖获得者温伯格谈到了不可思议的巧合，他说这是不可思议的，当一物理学家得到一思想时，然后却发现在他之前数学家已经发现了，其中一个著名的例子是关于群论的，群论是由法国数学家伽罗瓦在19世纪早期发明的，目的是要解决一个纯粹为数学内部的问题，该问题是要如何发现多项式的根，这是一个抽象的追求，群是表达对称概念的数学方式，从上世纪后半叶，群论这个课题已得到充分的发展，当物理学家在本世纪上半叶发现群论时，他们发现这正是他们所需要的用于统一伟大的能量守恒定律，动量守恒定律，自旋守恒定律，电荷守恒定律等等，这些定律是我们周围世界对称性的反映， 今天在科学中，这个微妙的法则是一个基本的概念，例如，它表明由于相当复杂的原因，关于基本粒子你能问的最基本问题是它反映了哪个对称群，在这里，重要的方面是伽罗瓦的动机完全是数学内部的，只是努力去解决代数中一个有趣的问题，我们能够猜测的只是，要是这位天才不是由于决斗而早死于21岁的话，他可能会完成更多的东西. 数学的力量 过去数学家被指责生活于象牙塔之中，沉溺于他们自己的猜想的抽象美之中，实际上，我们必须求助于抽象，例如，我们知道在几何中，我们研究无限小的点，无限窄的直线和完全圆的圆周——即理想的对象，理想的概念与帕拉图一样古老，与我们周围世界的流行概念没有什么关联， 但是我认为抽象并不总是坏事，实际上，它是一个具有巨大的潜力和用处的领域，另一个这样看的方式是说，数学家只关心内在的一致性，即他们绝对忠实于他们自己游戏的法则，而他们又受到批评，因为他们的游戏关心的不是世界本来的样子，而是关心世界可能的样子，现代理论家建立自然界的模型依赖于理想化的数学基础，但是我也认为世界也并非是它所显现的样子， 例如谁能想象当我接近光速时，看着窗外质量竞变成无穷大？事实上，谁会关心呢？当然，数学家会关心，而且要是历史是向导，别的人最终也会关心——通常是在数学家完成之后的数年或数十年，研究相对论的基本工具黎曼几何，在爱因斯坦需要它之前的60年已经出来了，Lie群至少在30年之后才在粒子物理中得到应用，数学中一个'比现实还现实'的优美例子是正电子的发现，狄拉克是发现电子运动的正确方程的英国物理学家和数学家，他的这一发现主要是基于对称性的考虑，但是，结果完全没有料到的事情发生了：Dirac方程预示着存在一个除了负荷外，每个方面都与电子一样的粒子，以前从未有人观察到这个假设中的'反粒子'，但是很自然地，实验家们开始去寻找它，不久之后就发现了正电子，这是物理学的胜利，我说这也同样是数学的胜利， 我愿更详细地描述一个更现代化的这种现象的例子，因为我想这表明数学和科学之间的有效合作关系能产生多么强大和意想不到的回响，大约在1950年，一个训练成数学家的名为豪普特曼的科学家对晶体的结构这个迷产生了兴趣，从20世纪之初化学家就知道当X射线穿过晶体时，光线碰到晶体中的原子而发生散射或衍射，当他们把X-射线胶卷置于晶体之后，X射线会使随原子位置而变动的衍射图案处的胶卷变黑，化学家的迷惑是他们不能准确地确定晶体中原子的位置，这是由于如同别的电磁线一样，X射线可以看作是波，因此他们有振幅和相位，这个衍射图只能探清X射线的振幅但不能探测相位， 化学家们对这个问题困惑了40多年，是豪普特曼的才华认识到这个事情能形成为一个纯粹的数学问题，这问题有一个非常优美的解，这里我必须向听众中的数学家说几句，而请其他人原谅，电子密度函数是三周期的，且大略地说，通过测量，我们能决定它的Fourier系数的绝对值，豪普特曼的见解是电子密度函数有一特点，这就是它是带有很小支集的非负函数，由此他从强度能够推断出相位，对我们大家来说要点是豪普特曼的洞察力指出了用分离出足够多的信息以决定相位信息的办法，然后他能够继续下去以决定晶体的几何， 这个结晶学家只看过物理现象的影子，但他用大约已存在100年的古典数学证明了从影子来再现实际的现象是可能的，豪普特曼在一次谈话中，回忆说在1950年以前，他的工作被看成是荒谬的，而他本人也被当作一个大傻瓜，事实上，在他一生中只上过一门化学课——大学一年级的化学，然而由于他用古典数学解决了一个难倒了现代化学家的谜，而在1985年获得了诺贝尔化学奖. 数学的用处难以预计 Armand Borel教授说过数学仿佛是冰山：在水面之下是纯数学领域，隐藏于公众视野之外，水面之上为尖点，那是我们称为应用数学的可见部分，许多人只看见这个尖点，但他却没有意识到如没有水底下大得多的部分，它是无法存在的， 下面是这方面的一个良好的例子：在几十年前，一个名叫科马克的工程师寻找一个不经手术而能准确确定一个体内物体的位置和密度的方法，在那时只有X射线是可以利用的，而它们只给出二维信息，假定在平面上有一密度不均匀的物体，我们不能看见里面的阴影部分，但是通过用射线穿过它，来看一下从另一边出来多少，我们能测量出沿一条直线的物质总量，问题是从该信息重现物体内部的密度， 结果，这个问题的数学解已经历了许多年，可以追溯到名为Radon这位数学家的工作，由于 Radon的解答，科马克明白了把X射线从许多不同角度照射，你就能够决定体内目标的位置和形态，因而导致了CAT扫描，即人体器官的三维图像，而这一原理已被扩张为磁共振图像MRI，分辨率更高，在这两个技术中，本质上我们只是大量测量1-维的度量，然后应用数学技巧来重造三维图像，更近的PET扫描即正电子发射层面X光照相术，也是利用这一相同的技术发展而成，它可以测出代谢作用以及人体结构，这次应用了Dirac的反粒子，顺便说一下，发射层面X光照相术中的数学使用了一种算法，那是在20世纪60年代分析苏联的通讯密码而产生的 ， 科马克对Radon变换的应用已远不限于医学，正如他自己所注意到，在古人类学中，它已被用于某个生活在大约290万前的Ples夫人，对 Pless夫人耳室的CAT扫描证实了其他方法认为是对的结论：我们的曾曾曾直至第N代曾祖母是直立行走的，Radon技术也被用于海洋学，在这里它能用来决定海洋的温度，这不仅仅是一个学术上的问题，因为海洋的温度极大地影响陆地上天气模式，传统的用于测量比方说为300平方公里这样大的区域的方法是，把温度计从船上扔到水中，然后船只沿格子来回行驶，船只速度是这么慢，以致在测量完成前温度已发生了变化， 然而，利用声音发射器及探测器，海洋学家能够测量出依赖于水温的声音波动的速率，通过许多次的发射及探测后，很快他们就有足够多的信息来使用 Radon技巧，为完成这个不平凡的事情，用老办法他们需要一个能行驶接近3000节(海里/小时)的船只，有多得多的技术可以利用 Radon问题， 但我在这里就只提两个，1938年，一个美国天文学家使用它来测量靠近太阳的恒星的速率分布，在1958年，一个澳大利亚的天文学家利用它来描述一张月球亮度分布图，顺便提一下，科马克大夫在1979年获得了诺贝尔医学奖. 数学突破内部障碍并与科学之间的共鸣 现在我要说到当今数学是健康的理由之一，即内部障碍的突破，二次大战后，数学的显著特征是一股强有力的在极狭小分支专业化倾向，其一结果是许多数学领域被深入探讨了，另一结果是许多年来数学家们在交流上有很大困难，即使是在不同的分支的同事之间，这种隔阂依然存在，但正被另外一种倾向，即有趣的问题贯穿众多分支的方式所表达的倾向化所补充，虽然该倾向始于数学本身， 没有比用杨-米尔斯能更好地阐述了，它们是试图推广麦克斯韦方程的一组方程，麦克斯韦用电磁理论统一了电和磁现象，结果表明麦克斯韦方程及其推广有着优美的几何，他们的研究吸引了来自根本不同领域像拓扑学，代数，微分几何，代数几何及偏微分方程的数学家，这表明了现代数学的一个基本特征——分散的'地下发射场'中形式上僵硬的组织已让位于更灵活得多的结构，我们的目标正开始围绕着有趣的问题和学科分支进行组织，现在我要谈谈这些问题中最有趣者之一——弦论，
弦论之所以如此命名是由于物质的基本单位形状像细小的振动的弦而不是粒子，弦论大为受到重视的原因之一是第一次把引力纳入到在微观水平上的宽广的物质描述，广义相对论阐述了引力，但却在无穷小距离时失效了，长期以来，人们认为对引力的量子论作些改进就可以解决相对论无法纳入的时空奇点，而一些科学家发表了文章证明：在弦论中，时空能光滑地从一个拓扑演化( evolve)到另一个，其间没有遇到任何形式的奇点，为弦论可能得到第一个一致的引力量子论提供了重要的新证据， 根据我今天讲话的目的，我想看看弦论是如何超过传统的数学物理引导一群理论物理学家深入数学，是迷人的，一个结果是弦论对数学与对物理学一样产生着影响，实际上，物理学已经作了一系列的引人入胜的有关数学的语言且这些预言已开始被证实. 新的应用 直到现在，我谈的大部分是数学和物理科学之间的深刻的相互作用，这里我想把这扩张到新的领域，数学正对整个其他学科作出了许多贡献，这样改变了我们做的几乎所有事情，同时这些学科中的一些正用有趣的新型问题向数学家发出了挑战，这些问题又导致了新的应用，越基本的数学其用处更广， 一个极其丰富且具有挑战性领域的好例子是流体力学，该学科的主要基础是一组称为Navier- Stokes方程的方程组，这些方程描述流体的流动，流体包括空气、液体甚至一些固体，数学家正使用Navier-Stokes方程研究令人惊奇的广泛的现象：飓风，从心脏中流出的血液流，穿过筛孔状地板的油，燃料在汽化器中的混合，在空气中飞行的飞机，从液体中形成的晶体，在熔化反应器中的深绿玉髓矿石，星系，云，风及流的运动，你能想象得到为什么那么多种类的科学家对Navier- Stokes方程感兴趣， 然而流体的运动是如此复杂，以致它还不能在理论上完全理解，或者有完整的计算机仿真，而且流体流动的一些现象不能被测量，因此研究者把理论模型，计算机仿真和实验结合起来，由于高速计算机的迅猛发展使得这些技术成为可能，这些技术是新的，且使用了数学许多分支的方法，在科学和实际当中，特殊兴趣是试图——然而还没有成功——去理解湍流和混沌现象，混沌现象是数学中引起公众注意的一个方面，它是说一个小变化就可产生巨大的效果，例如相对来说没有多少氟利昂分子就能急剧加大我们大气层中的臭氧洞就是一例，另一个混沌例子是把油加到水里后产生的优美和复杂图案，当然只是加上少量油， 数学在全新领域的强有力应用的另一个例子是控制论，它是动力系统的一个分支，举个例子，高性能飞机过去通常主要用风洞试验及其类似的试验来设计，之后就建造一模型，某个富于冒险的试飞员被要求去试飞，看他飞行得怎样，由于现代控制论，设计和性能的统一是有效得多了，因而更多的试飞员活下来，成了祖父母， 关于称呼的讨论，我想你们同意区分纯粹和应用研究不再有益处了，也许区分有目标的和由好奇心驱使的研究也是无益的，情况反而是，许多我们过去称为'纯粹'的有趣的数学工作起源于非常实际的研究，而纯粹研究工作的结果在将来某一天很可能会回到实际中来. 计算机与生命科学 我提到了计算机，这里我想强调的是现在计算机所做的远不止于棘手的数学问题，他们允许科学家做那些上一代人以前无法想象的事情，一个强有力的新的用处是计算机建模，这导致许多科学和技术领域的巨变， 建模所做的是用计算机仿真来代替昂贵的实验，我们说过在飞机设计中，风洞是那种马和小马车走路的办法，形状的实验是由计算机完成的，这些模型再加上计算的方法对那些实际检验太复杂的理论打开了门，诸如蛋白质是如何折叠和开折的，或者石油是如何流过带孔的岩石而进入地下深处的，再一次，从许多协同作用中能得到许多益处，当知识在数学和计算机科学之间快速流动时， 我提到过传统上数学被应用于物理科学，它为这些科学提供了理论框架和数值工具，在过去数学的一些领域特别是统计学，在生命科学中很有用处，但一般来说不是处于很重要的水平，今天这正发生着变化，由于新技术和计算机，数学最后开始能处理生物器官的复杂性，特别地，数学那种独一无二的认清模型和组织能力正开始渗透到神经网络这样的基本系统，我们已经提到数学对CAT扫描和MRI的重要性， 同样，流体动力学已导致肾脏，胰脏，耳朵和其他器官的计算模型，人类心脏模型甚至导致了人造心脏装置的改进，作为Duke大学的教务长，我注意到感激的病人慷慨地支持该校的医学中心，对我们数学来说，现在还没有，但是也许将来会有，另外一个伙伴关系是数学家和生物学家正一起探寻着DNA复制的机制，已经知道DNA是以绞着打结的形式存在着，且在复制期间必须解开， 真是巧合，数学包含一个称为纽结理论的分支，纽结论与概率论和组合学一起正帮着生物学家理解DNA系列的复杂3-维力学，由于计算机的新威力，一个产生了深刻波动的领域是传染病学，对艾滋病作了巨大的努力以建立数学化模型，该模型证明了HIV并不是像其他大多数传染病的病原体那样传播，这些模型的复杂性是如此巨大以致现在最快的计算机对它们也无能为力，因而数学家面临着应用他们学科简单化的威力这一挑战. 经济学 数学对经济学最有价值的贡献之一是一般平衡模型，它试图预言自由市场行为，由于这方面的工作而使肯尼斯·阿罗赢得了诺贝尔奖，该模型的威力鼓舞着对整个经济学领域进行总体数学化， 罗索斯基讲述了有关的描述其要点的有趣故事，当阿罗获得诺贝尔奖时，他是哈佛大学的教授，而 Henry是当时哈佛的教务长，把这消息告诉了数学系中一个著名的同事，这位同事要了一份阿罗的著作，看了之后他说那些数学是很基本的，能够为哈佛的一年级大学生所完成，当然，他只部分正确，那些数学不是高深的但这不是要点，正如许多类似的突破，阿罗的成就是把两个领域结合起来， 它比它的各个部分之和的力量要大，我想多说些在工业上使用的计算机建模，这方面变化的影响是如此之大，以致没有使用建模的工业很快就落后了，由于数学模型、计算机硬件和数学算法的巨大进展，使得这方面的发展极快并富于竞争力，一个例子是微处理机芯片的设计，这是用数学特别是离散数学方法完成的，在试验回路板时常见的任务是把工具移到几百或几千个点中，且在每点上进行钻或检查，为使所需的时间最小就是所谓的推销员旅行问题，即用最小长度的道路拜访图中所有顶点，图论和计算复杂性的进展已经产生了达到此目的的简单方法，对有关牵涉到几万个点的问题，新算法快到只要最优方法的百分之一， 基础数学的另一个领域——有限域的研究已导致在计算算法上的应用，例如，电话公司的最新难题是要建立一个高效及自动系统，即使用尽可能少的电线来传递声音信号，而当该系统出现故障时，能很快重新给信号定线路，在数学上，这可以用一个图来计算，该图有顶点，这就是电话局，这些顶点由边连结，这就是连接电话局的电话线，许多数学家已经引导把深刻的基础数学用到像这样的难题，
类似地，纽约市使用了组合最优化技术重新制定它的卫生工作人员计划，这样一项技术就可节省2500万美元而且还提供更好服务和更方便的工作计划，美国航空公司只需更少的飞机和操作人员便可来完成相同数量的飞行，这是由于他们的计划采用了先进的组合技术，他们也能更好地对坏天气作出反应. 小波与模型论 数学中最有趣的一个方面是，我们是多么经常听到在技术上的突破，尔后发现它在数学上的根源是多么古老，我想到了强有力的使用小波来压缩数据的技术，而小波是来自古老的调和分析，耶鲁大学的研究者发现他们实际上能压缩和贮存任何种类的图像或声音，这只需使用数学生成的看起来像小波的形状，他们发现他们能使联邦调查局的3亿个指印减至1/20，而且也能通过将电话传送指印所需的时间从20分钟减至1分钟，仅仅用光存贮盘将使纳税人节省2500万美元， 我想以数学已成为某个新伙伴的最有魅力的一个领域模型论来作结尾，模型论这个词首先在20世纪70年代引入，这是数学的一个分支，与计算机视觉，语言识别，符号处理和人工智能部分有关，它的支持者现在认为它可能包含着有关思维本身的普遍理论的胚胎，因此你能够明白数学正和一些发展很快的伙伴同行， 从很实用的观点来看，模型学家一个典型的难题是设计一个能把语言变成书写文字的机器，如果我们每个人对每个词发出的声音都一样的话——即产生相同模型的声波那么这将是很容易的，但实际上不可能，因而这也就不容易了，当我说Ski这个词时，它不会产生与你说Ski时一样的语图，我们的语音机器必须足够自动化以来识别当我们说Ski这个词时声音中的本质部分，过去，理论家尝试模仿人脑建一个巨大复杂的计算机，但在现实中这个方法失败了，计算机对逻辑输入的反应是极好的，但像哈佛大学的研究者David Mumford现在相信人脑与计算机有着本质上的不同， Mumford写到，我们大脑所看到的通常不是模糊的原始的感觉信号，而是充分应用记忆、期望和逻辑的灵敏的重造，对 Mumford来说，我们用模型识别来思想，且模型识别远非标准逻辑，我想起了船体设计，计算机使我们走到没有它我们就远无法达到的地步，然而，它还需要美学价值和用处的完美结合，Mumford承认模型论要达到完满的理论还有长路要走，但他认为它比任何别的都更成功， 因此，我们发现数学作为生物和行为科学的伙伴，正推动着仍处于原始状态的宽广和有魅力的理论. 问题 我尽力要说的一个要点是数学对社会来说是极其有用的，假如这是真的，人们就会想到我们作为社会就应强有力地支持导致新应用的研究，且对数学有兴趣的学生就会全力以赴，今天情况并非如此，数学界还须有效地向公众及其所选的代表表明：数学不同于科学，我们没有设计什么新产品或治愈疾病，然而我们对工程和医学的影响是重大的，但数学界长期处于显著的隔离状态， 以致公众对我们所做的一切理解得少而又少，数学家的训练不仅面窄，以致不能允许他发展成为既有广泛的兴趣又有广博的知识，而这两项都为我今天所描述的工作所必须，而且有巨大的压力要他们尽早专业化，以便在该专业申请到资助和得到使用权，我描述的协同伙伴关系展现了新的机会，在本领域和本领域外的知识趋势是很积极的，且正出现一个以前没有的内部的和外部的观点的平衡，但我们不习惯向别人作出对我们学科的解释，更不用说推销了，如果我们希望得到更多更好的支持， 那么作为团体和社会，我们必须做得更好，特别地，我们必须培养出更好的数学教师，我认真地说促使我决定成为数学家的，在我的职业上最重要的人是lottie Wilson，她是我很久以前的高中数学教师， Wilson夫人让别人理解她的课有两个本质的特征，她明白数学的崇高和神秘，她还知道得到正确答案是无法用别的来代替，我记得当我在哈佛大学教书时，小学分让我烦透了，在大学一年级微积分课程上的学生，希望在仅仅开始解决问题或得到一些合理但却不正确的答案的考试上得到小学分， 有一天我向他们说：'假定最终你将成为医生，如果你的诊断只是部分正确，那么你的病人将会满意吗？'，这评论并没有得到好的回报，但是其要点是严肃的：数学是一有确定答案的科目，且学生在「得到正确的答案」能得到真正的满意，但是我们教师必须更好地传授我们这一科目的优美和实用， 做数学实际上是有乐趣的，这至少对数学家来说是如此——是保留的秘密，而且我总是惊奇发现我们是多么经常地使用'优美的'这个词来描述我们满意的工作，我想起数学家Jacques Tits与人类学家谈论早期人类用火试验的评论：一个人类学家提到这些人是出于渴望更好的烹调的驱使，另一个认为他们追求可依靠的热源， 而Tits说他相信是由于对火着迷才使火在人类的控制之下，我相信最好的数学家是会对火着迷的，而这是好事，对社会来说是幸运的，因为他们的迷恋最终提供了我们大家都需要的好的烹调的可靠的热源. 如果这篇文章对你有所感触 |
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