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从轨迹的角度寻找点的位置，可使问题变得一览无余、一目了然，因直观所以简单。 1.(2016北京卷)在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1, y1)，点Q的坐标为 (x2, y2) ，且x1≠x2 ，y1≠y2 ，若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”。下图为点P、Q的“相关矩形”的示意图。  （1）已知点A的坐标为（1,0）， ①若点B的坐标为（3,1），求点A、B的“相关矩形”的面积； ②点C在直线x=3上，若点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式； （2）⊙O的半径为√2，点M的坐标为(m, 3）。若在⊙O上存在一点N，使得点M、N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围。 分析： （1）①易得面积为2。 ②由相关矩形的概念及正方形的性质可知，当相关矩形为正方形时，对应两点的所在轨迹为y=x+b或y=-x+b。  由此将A(1, 0)代入y=x+b或y=-x+b得所求直线为y=x-1或y=-x+1。 （2）这里包含3个轨迹：①M、N所在轨迹为直线y=x+b（或y=-x+b），②由M(m, 3)知M点所在轨迹为直线y=3，③N在圆O上。所以当直线y=x+b在下图黄色区域内平移皆符合要求（圆的两条切线之间），符合条件的M点范围即为黄色区域与直线y=3的公共部分。  如下图，易得1≤m≤5。（亦可代入A、B坐标求直线的表达式得M点坐标范围）  当M、N在直线y=-x+b上时，如下图，同理可得 -5≤m≤-1。  2.(2016年义乌卷)如图1，新定义：直线l1、l、l2，相交于点O，长为m的线段AB在直线l2上，点P是直线l1上一点，点Q是直线l上一点．若∠AQB=2∠APB，则我们称点P是点Q的伴侣点； （1）如图1，直线l2、l的夹角为30°，线段AB在点O右侧，且OA=1，m=2，若要使得∠APB＝45°且满足点P是点Q的伴侣点，则OQ=_________；  （2）如图2，若直线l1、l2的夹角为60°，且m=3，若要使得∠APB＝30°，线段AB在直线l2上左右移动． ①当OA的长为多少时，符合条件的伴侣点P有且只有一个？请说明理由；②是否存在符合条件的伴侣点P有三个的情况？若存在，请直接写出OA长；若不存在，请说明理由．  分析： （1）如下图，由∠AQB＝2∠APB＝90°（定线对定角）知Q点轨迹为以AB为直径的圆（定线对定角），由∠AOQ＝30°知圆心M到直线l的距离为1，即圆M与直线l相切，得OQ＝√3。  （2）①由∠AQB＝2∠APB＝60°，知点P的轨迹是以AB为弦点C为圆心的两段圆弧（定线对定角），其中∠ACB＝60°，只存在一个P点即当圆弧与直线l1相切时。 如下图，当直线l1与上段弧相切时，易求得OA＝2√3。  如下图，当直线l1与下段弧相切时，易求得OA＝3+2√3。  ②符合条件的P点变化情况只要看直线l1与两段圆弧的交点（不包括A、B点）个数变化，如下图。  观察易知，当直线l1与下圆相切时，求得OA=3-2√3。 如下图，当直线l1与上圆相切时，求得OA=2√3。 先见森林，再寻树木，用轨迹定位法确定点的位置。其好处是：第一，直观明了简单易解；第二，全面严谨不易遗漏。 轨迹定位法相关阅读： 先见森林再寻树木：轨迹定位法确定点的位置(1) 先见森林再寻树木：轨迹定位法确定点的位置(2) |
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