一文轻松看懂交互作用

前几天的文章，我们聚焦在回归分析，今天来看看在回归分析中常常要研究的一类难点问题——交互作用的探究。

交互（interaction），字面上不太好理解，但是从数学表达上却很简单。

如果想要研究两个自变量如X1和X2的交互作用，通常的做法就是将两个变量相乘，即X1*X2，然后把乘积项纳入到回归方程。

操作起来很简单，但交互项的纳入对于回归系数的解读却带来了新的问题。

以一个很经典的例子来说明。

含交互项的回归方程

我们想通过线性回归研究教育程度、性别对个人收入的影响，首先，不纳入交互项的回归方程为：

其中，Y表示收入，X1表示“教育年限”（定量变量），X2表示“性别”（分类变量，用”0“为女性；“1“表示男性）。

通过估计以上回归方程X1和X2的回归系数，β1和β2，即可定量地衡量出教育程度、性别对收入的影响。

比如，β1的含义即为：控制性别后，教育程度每增加一年，个人收入增加的量。

这是我们前面讲过的，很好理解。

现在，我们希望考虑”教育程度“和”性别“的交互作用，因此将把两个变量的交互项纳入回归方程，即为：

其中，X1X2代表交互项，这里也属于多重线性回归的范畴，因为我们可以令X3=X1X2，将其视为一个新变量，则上式就可以看做是拥有三个自变量的一般线性回归。

思考：现在方程中X1的回归系数β1还能按照上面的含义来解读吗？

我们尝试做一下。

要衡量X1对Y的作用，归根结底，是要看，当X1变化一个单位时，Y怎么变化（明白这一点很基础也很重要）。

因此，我们可以这样来做：

当X1=0时（代入有交互项的方程，下同），

当X1=1时，

用下面的式子减上面的式子，即可得到当X1变化一个单位时，Y的变化情况：

由此，可以发现，加入交互项后，X1（即教育程度），每变化一个单位（比如增加一年），收入的变化不仅取决于β1，而且还取决于β3和X2。

因此，我们不能再直接将β1解读为教育程度对收入的影响。

同理，β2也不能直接解读为性别对收入的影响。

在这样的情况下，到底应该如何来对这三个回归系数进行解读呢？思路其实很简单，诀窍就是分别让X1和X2等于0。

上面我们已经计算过X1=0时，  ，由此可见，β2的含义就是，在X1=0时，X2每增加一个单位，Y的增加量。

结合各个变量所指代的含义，我们可以这样说：

对于教育程度为0的人（X1=0），β2表示男性的收入比女性高多少（记住X2表示性别，所以X2变化一个单位，从0到1，就是指从女性到男性）。

同理，我们想考察β1的含义，就让X2等于0.

当X2=0时，  。从而，我们可以将β1解读为：对于女性人群，教育程度每增加一年，其收入的增加量。

由此来看，加入交互作用后，回归系数（β1和β2）的解读需要加入一定的限定条件，比如”教育程度为0“、或者特定为“女性人群“。

这实际上是出于简单的数学考虑：因为让一个变量等于0，我们就可以消除交互项，然后单独地分析另一个变量的效应，这种思路特别方便，大家不妨在自己的研究中使用。

说完β1和β2，那β3怎么解读呢？严格而言，β3才是真正交互项的系数，才是做交互研究最关注的部分。

交互项回归系数的解读

上面我们讲了β1的含义是”对于女性人群，教育程度每增加一年，其收入的增加量“。很自然的想，那对于男性人群，教育每增加一年，收入增加多少呢？

前面我们计算了，X1从0变化到1时，

我们知道，X2表示的是性别这个变量，X2=1代表男性，那如果我们直接把X2=1代入上式呢：

由此，我们就得到了：对于X2=1（即男性人群），当X1增加一个单位时，Y的变化量为（β1 + β3）。

因此，可以把（β1 + β3）解读为：对于男性人群，教育程度每增加一年，收入的增加量。

把男性和女性放在一起对照看一下：

β1：对于女性人群，教育程度每增加一年，其收入的增加量。

β1 + β3：对于男性人群，教育程度每增加一年，其收入的增加量。

现在，β3（即交互项的回归系数）的含义是不是一目了然。它表示，教育程度每增加一年时，男性和女性收入增加的差值。

代入具体的数字看起来会更容易。

比如，我们让β1 = 200；β2 = 300；β3 = 50，就可以很清楚地看到：

对于女性来讲，教育程度每增加一年，收入会增加200（β1 的含义）；

对于男性来讲，教育程度每增加一年，收入会增加250（β1 + β3的含义）。

而β3就表示，同样增加一年的教育程度，收入的增加量，男性比女性多50。

这多出来的50就衡量了性别和教育的交互作用。

理清了这三个系数的意义，我们再来看交互作用的真正含义，就会更加明朗：

交互作用实际上影响的是一种关系，什么关系？X1和Y的关系，或者X2和Y的关系。

此话怎讲？我们看，当不加入交互项的时候，无论男性还是女性，教育程度增加一年，收入的增加量是一样的，都为β1。

这里的β1 可以视作教育程度对收入的影响，实际上是两者相关关系的量化。

但是，加入交互作用后，教育程度增加一年，收入的增加量，男性和女性就不一样了，一个是β1 + β3，另一个是β1。

不难发现，教育程度对收入的影响随着性别的变化发生了变化。

所以，从本质上看，交互项衡量的了性别对【教育程度与收入关系】的影响。用括号括起来就是希望大家能看的更清楚：性别和教育的交互项影响的既不是教育程度也不是收入，而是它们两者的关系。

如果数学基础不错，则可以将“【教育程度与收入关系】”理解为回归方程的X1（教育程度）的斜率（斜率的定义就是X1变化一个单位，对应的Y的变化量），所以，本质上，交互项影响的是斜率！

同样地，交互项因为是乘积的形式，所以它也衡量了教育程度对（性别与收入关系）的影响。

如何进行分析，做法其实完全一致，首先分别计算X2=0和X2=1时候，Y的变化量（代表了男女收入的差异）：

我们知道X2表示性别，所以，根据上式，可以将β3解读为：教育程度的变化，带来的男女收入水平差异的变化，注意这里说的是”差异“，即男性工资高于女性的那一部分（如果β3是负数，则表示男性工资更低）。

因此，综合来看，交互项是可以从两个角度去理解和解读的，这符合它进入回归方程的方式（X1X2）。

针对具体的问题，我们都可以采取上面说的这种”归零法“去分析和拆解，即分别一个自变量等于0，然后分析另一个自变量回归系数的含义。

同时，专门对于交互项的解读，我们要知道它刻画的其实是对回归斜率或者回归效应值（β）的影响。

比如教育程度和性别的交互，既影响了收入对教育程度的斜率，也影响了收入对性别的斜率。

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