高中数学：集合中的易错之处

集合是现代数学的基础，它与高中数学的许多内容有着广泛的联系，作为一种思想、语言和工具，集合的知识已经渗透到自然科学的众多领域。它是高中阶段数学的第一个内容，集合概念抽象，符号术语多，对于初学集合的同学来说，常常因为概念不清晰，理解不透彻，解题思路不严谨，容易造成错误。针对学习中的薄弱环节，本文列出易忽视之处，希望能帮助同学们加深理解，提高学习效果。

1. 忽视代表元素的属性

例1. 集合，，则（    ）

A.   

B. 

C.  

D. 

错解：由

解得或

选B

分析：注意到两个集合中的元素y都是各自函数的函数值，因此，应是和这两个函数的值域的交集，而不是它们的交点。由于，，所以，选C。

 

2. 忽视元素的互异性

例2. 已知集合，，若A＝B，求实数x，y的值。

错解：因为有意义，所以xy>0，从而，故xy＝1

又由A＝B得或

所以或

分析：由于同一集合中的元素不同（互异性），而以上解法中，当时，，分别使集合A，B中出现了相同元素，故应舍去，所以只能取。

 

3. 忽视空集

例3. 若集合，，且，求实数m的值。

错解：因为，所以或

即或

分析：上面的解法中漏掉了即的情形，因为空集是任何非空集合的真子集，所以或或m＝0。

 

4. 忽视补集的相对性

例4. 已知全集，集合，则_________；若全集为，则__________。

分析：补集是相对于全集而言的，当全集发生变化时，补集也随之变化。显然，在全集的条件下，

在全集为I＝R的条件之下，

 

5. 忽视语言转换的等价性

例5. 设全集，集合，，则（    ）

A.   

B. 

C. （2，3）

D. 

分析：容易错选A，原因是将集合M看作直线上的点的集合，实际上应除去点（2，3）。集合N是坐标平面内不在直线y＝x+1上的点的集合，所以是坐标平面上除去（2，3）以外的点构成的集合，它的补集，应选B。

 

6. 忽视特殊化法的片面性

例6. 设集合A，B是两个非空集合，我们规定，根据上述规定，则（    ）

A. M   

B. N  

C. 

D. 

错解：特殊化法。取，

则

故选A

分析：这种特殊化法对原题作了的前提假定，缩小了原题中B集合的取值范围，如，

则

而是

实际上，对规定有两种理解：

，或

所以

而

故

所以

选D

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