公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。 开号宗旨:为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台,提升教学能力,促进专业发展。本公众号致力传播数学文化,发表教研成果,交流教学经验,探讨数学问题,展示解题方法,分享教学资源,为服务高中教学作贡献。 邹生书,男,1962年12月出生,本科学历,理学士学位,中学数学高级教师,黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月,在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等,二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。 公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式,一般只接受word文档格式的电子稿件,文稿请认真审查,防止错漏,确保无误,文责自负。 投稿邮箱:zoushengshu@163.com; 商务联系:13297228197。 定角定高三角形周长最小值试题的 几个漂亮解法和一般性结论 四川成都郑朋源 陕西渭南魏拴文 甘肃省兰州市 王 冰 湖北阳新邹生书 湖北省阳新县高级中学 邹生书编辑整理 1.问题的提出:三角形周长最小值问题 16.已知M,N是直线3x 4y-10=0上两点,O为坐标原点,若∠MON=600,则∆MON的周长的最小值为_____ 【说明】这是武汉市2020届高中毕业生五月质量检测理科数学第16题。 2.问题的转化:定角定高三角形周长最小值问题 分析:显然题目明摆着一个定角∠MON=600,另外,本题还隐藏着另一个定值——定高。由点到直线距离公式易知三角形的顶点O到对边MN的距离为定值2,由此可见,这是一个解析几何搭台的平几最值问题。这个问题就是经典的三角形定角定高三角形周长最小值问题,于是问题转化为: 【题目】在∆MON中,若∠MON=600,边MN上的高OH=2,求∆MON的周长的最小值。 3.问题的解决:三个漂亮解法 解法1:用余弦定理和均值不等式求解 郑朋源提供 解法2:化折为直 巧作外接圆 用几何法求解 魏拴文提供 如图,在直线MN上截取MA=MO,NB=NO, 连接OA,OB.作∆OAB的外接圆, 设圆心为D,半径为r,连接DA,DB. 过点D作DE垂直AB于点E. 设点F是弦AB所对优弧上一点,连接FA,FB. 由MA=MO知∠OMN=2∠OAB, 同理∠ONM=2∠OBA, 所以∠OMN ∠ONM =2(∠OAB ∠OBA)=1200, 所以∠OAB ∠OBA=600,所以∠AOB=1200, 则∠AFB=600,从而∠ADB=1200,则∠ADE=600, 所以DE=0.5r. 因为OH⊥AB, DM⊥AB,所以OH DE≦OD, 即2 0.5r≦r,解得r≧4,所以AB=√3r≧4√3, 当点H与点M重合时等号成立, 此时OA=OB可得OM=ON时等号成立。 而AB=AM MN NB=OM MN ON, 故∆MON的周长的最小值为4√3. 解法3:化折为直 正切函数 权方和不等式 甘肃省兰州市 王 冰 提供 延长NM至A使MA=MO, 延长MN至B使NB=NO, 连接OA,OB. 过点O作直线MN的垂线,垂足为H, 由点到直线距离可得OH=2. 由MA=MO知∠OMN=2∠OAB, 同理∠ONM=2∠OBA, 所以∠OMN ∠ONM =2(∠OAB ∠OBA)=1200, 所以∠OAB ∠OBA=600, 设∠OAB=θ,则∠OBA=600-θ。 于是∆MON的周长为 L=OM MN ON=AM MN NB=AB=AH HB 4.定角定高三角形周长最小值问题的一般性结论 【命题】在∆MON中,∠MON=θ为定角,底边MN上的高OH=h为定高,则当OM=ON时三角形周长最小. |
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