中考数学压轴题分析：半角模型

等腰直角三角形的直角内含有一个45°的角，形成了倍半的关系。

这样的图形也会出现在正方形之中。

其实等腰直角三角形可以看成正方形的一半，而正方形有时候也可以看出两个等腰直角三角形拼成的图形。

等腰直角三角形中常常需要利用三线合一进行解题。主要是得到3个等腰直角三角形，进而得到边与角的等量关系。

【中考真题】

（2020·襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．

（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，

①求证：BD＝CF；

②推断：∠ACE＝　　    °；

（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；

（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EF/AF=1/3时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=16/3，求DF的长．

【分析】

题（1）的第①小问用全等即可证明。第②小问通过目测观察或者尺子一量就出来了。当然，要证明也不难。因为这里面有一个8字形。所以比较容易得到一个等量关系。

可以得到∠DAE=∠DCE，那么结论就出来了。

其实本质是四点共圆。

题（2）就是在题（1）②的基础上面用二次相似就可以了。当然，要用四点共圆说明也可以。

题（3）因为DP与AE垂直，所以可以考虑过点C作CG⊥AE，那么就可以得到一个8字形与一个A字形。有两个相似再加上等腰直角三角形的三线合一。进而可以得出边长的比例关系。

设GF=x，再表示出其它线段，表示出CK的长，进而得到x的值。就可以在△DPF中利用勾股定理得到DF的长度了。

当然，本题也可以像上图，连接EK。得到AK与EK是相等的，因为DK是AE的垂直平分线。在△DKC中设未知数利用勾股定理，可以求出AK、EK和EC的长度。再求出AE、DP和PF的长度就可以了。

【答案】（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACF，

∵AD＝AF，

∴∠ADF＝∠AFD，

∴∠ADB＝∠AFC，

∴△ABD≌△ACF（AAS），

∴BD＝CF．

②结论：∠ACE＝90°．

理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACD＝∠AED＝45°，

∴A，D，E，C四点共圆，

∴∠ADE+∠ACE＝180°，

∴∠ACE＝90°．

故答案为90．

（2）结论：∠ACE＝90°．

理由：如图2中，

∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACD＝∠AED＝45°，

∴A，D，E，C四点共圆，

∴∠ADE+∠ACE＝180°，

∴∠ACE＝90°．

（3）如图3中，连接EK．

∵∠BAC+∠ACE＝180°，

∴AB∥CE，

∴EC/AB=EF/AF=1/3，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a-16/3，

∵DA＝DE，DK⊥AE，

∴AP＝PE，

∴AK＝KE＝3a-16/3，

∵EK²＝CK²+EC²，

∴（3a-16/3）²＝（16/3）²+a²，

解得a＝4或0（舍弃），

∴EC＝4，AB＝AC＝12，

∴AE=√(AC²+EC² )=√(4²+12² )=4√10，

∴DP＝PA＝PE=1/2AE＝2√10，EF=1/4AE=√10，

∴PF＝FE=√10，

∵∠DPF＝90°，

∴DF=√(DP²+PF² )=√((2√10 )²+(√10 )² )=5√2．