小时候的我,觉得椭圆就是一个普普通通的图形。直到我上了高中,接触了圆锥曲线,经历了一番摧残之后,我觉得我似乎认清了椭圆的真面目。而现在,我又碰到了椭圆积分,才发现我真的太天真了......所以,我现在对椭圆充满敬畏之情,不知道何时又会碰到与之有关的更为高深的知识。下面我们就从椭圆的周长开始,慢慢揭开椭圆积分的神秘面纱..... 1.问题的引入:椭圆的周长 如果我没记错的话求平面曲线的弧长应该是导数的基本应用之一吧。首先,我们来回忆一下计算平面曲线弧长的公式。 设一连续可微的平面曲线 C 的参数方程为: 我们取这个曲线 C 上的一段微元并记作 ds 。有勾股定理可得: 而: 带入 ds 的表达式有: 两边同时积分可得: 这就是有关参数方程的弧长公式了。我们先小试牛刀,计算一下圆的周长。 我们知道,圆的标准参数方程是(其中 R 为圆的半径): 则: 代入弧长公式有: 一切过程都十分顺利,那我们再来看看椭圆: 椭圆的标准参数方程大家肯定也不会陌生(其中 a 为半长轴长, b 为半短轴长): 我们仅计算椭圆在第一象限的部分的弧长,之后在乘以 4 就好了。但是第一象限部分的参数的取值范围会有变化,即在第一象限中 。参数方程的导数为: 代入到弧长公式中得到: 直到现在,仍一切顺利,我们在化简一下看看: ......嗯?这玩意怎么处理?到这一步会发现根号完全去不掉,原函数也找不到。到此,本文结束。 嘿嘿,开个玩笑。聪明的数学家们是不可能就此罢休的,于是他们又开始将上面的式子进一步化简: 其中: 叫做椭圆的离心率。 式还可做变量代换: 则: 则有变量代换后的积分: 还可以写的更有强迫症一点: 到现在,椭圆积分的雏形已经出现了。 2. 椭圆积分的诞生 经过 L.Euler 等数学家的研究,椭圆积分的知识体系渐渐完善,直到 Legendre的出现彻底彻底完善了椭圆积分的知识体系。 我们先观察 式,这个式子是椭圆周长的积分公式,而它可以被拆成两部分: 我们将拆开后的第一部分拿出来,并去掉积分上下限和系数得到不定积分: 再将第二部分拿出来,去掉系数和积分上下限得到另一个不定积分: 另外还有个一个不定积分: 这三个不定积分便是 Legendre 所总结得到的。若将上面的三个不定积分做变量代换: 则:
(这个我不知道怎么来的...) 上面的 分别叫做Legendre 第一类,第二类,第三类椭圆积分。 之后 Jacabi 又定义了三类 Jacabi 椭圆积分,是将 Legendre 椭圆积分里面的 换回 得到的,即: 参数 k 叫做椭圆积分的模。 特别的,当 或 时,这三类椭圆积分都称为完全椭圆积分,否则称为不完全椭圆积分,即: 完全 Legendre 椭圆积分: 完全 Jacabi 椭圆积分: 3. 椭圆的周长公式 椭圆并非没有周长,只不过没有精确值罢了。对于其周长公式,是一个无穷级数的形式: 其中:a 为半长轴长, 为椭圆的离心率。这个级数是由第二类椭圆积分展开所得到的。(可惜我不会展开)。可见,当离心率为零时,级数退化为圆的周长公式。 当然,椭圆的周长公式有几个近似公式:
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