【原】《高等代数与解析几何》书评

《高等代数与解析几何》书评

朱善军

【作者简介】同济大学研一学生，目前攻读偏微分方程方向。

众所周知，“数学分析”和“高等代数”是数学系的基础课程，一般都要教授两个学期以上。传统上认为，现代数学体系大体上分为分析、代数与几何，因此“高等代数”这门课程更是有着举足轻重的作用。尽管市面上有着各式各样的教科书，但是质量高的、具有启发意义的高代教材却是凤毛麟角。编书者总是可以从不同的视角去剖析“高等代数”课程里的内容和思想方法，并且将其中凸显出来的部分当作是其教材的写作特色。诚然，现如今的大多数高代教材往往注重讲授知识本身，似乎有想将所有知识全都写入教材的倾向，但是却很少谈及一些基本概念包括定理的来源以及引入的必要性。笔者近期阅读的《高等代数与解析几何上、下》，是由上海师范大学陈跃老师和裴玉峰老师所编著的新教材。

（陈跃、裴玉峰编著，科学出版社2019 年出版）

该本教材正是立足于希望能够解释清楚相关概念和理论来源的高代教材，并且试图将高等代数与解析几何有机地结合起来。

笔者在阅读此书的过程中，有诸多感想，另外也发现本书有不少特色之处。除了与编者在前言里所谈到的特色之处，在此我也想谈谈自身对本书写作手法和内容编排上的理解。

1、写作细节处理简要剖析

（1）与传统的高代教材内容编排方式不同，新教材将矩阵的相似与矩阵的Jordan标准型放在一起进行讲解。比如在文献[1]中，作者是将矩阵的相似放在上册讲解，而把矩阵的Jordan标准型放在下册讲授。新教材利用这样的安排方式，是为了将矩阵的相似标准型讲解得更加透彻。传统上我们会知道对角化矩阵总是可以相似于对角阵，但是对于非对角化矩阵情况如何呢？那么，对于一般的矩阵总是可以相似于一个“最简”矩阵，即矩阵的Jordan标准型。 

事实上，在新教材下册第9章第9.6节“从线性变换角度看若尔当标准型”也回顾了前面上册讲到的Jordan标准型，并且通过引入根子空间的概念来阐述Jordan标准型的几何解释。在这里可以体现出新教材对代数与几何进行有机结合，是本书的一大特色和亮点。在第五章中由于需要讲解Jordan标准型的一些理论证明过程，比较繁琐，因此作者巧妙地将一系列繁杂证明统统移至最后一节5.7节之中，这样的处理方式类似于华师大版《数学分析》中关于傅里叶级数一章的处理，有效避免了学生因过于复杂的推导过程而产生畏难情绪。

   （2）本书在处理行列式等内容时，有意将2、3阶行列式与n阶行列式分开写作。将2、3阶行列式放在第一章最开头位置，是为了给平面和空间解析几何提供工具，比如二维向量共线、三维向量共面、外积、混合积等都需要行列式作为计算工具，否则将很难展开叙述。对于n阶行列式的一般定义（见文献[1]、[3]），比较繁琐，学生往往很难记忆。因此作者本人处理n阶行列式的基本定义时，是从“按行、列展开法则”出发来给出定义的。

尽管定义方式有所区别，但是作者尝试着从新的行列式定义出发去证明传统的等价定义。值得注意的是，为什么作者会想到用“行列式按行和按列展开法则”作为其定义方式？事实上，这正是由第一章介绍的2、3阶行列式的计算公式推广而来，因此对学生来说这样的定义方式显得不那么突兀。另外需要指出的是，作者在用新的行列式定义对行列式一系列性质展开证明时，最常使用的证明方法是数学归纳法。实际上，作者在第二章这正是为后面大量使用归纳法埋下了伏笔。

（3）本书在处理齐次线性方程组、克拉默法则、多项式根与系数的关系、正采用了从特殊到一般的写作技法n 2.6

2、对一些基本概念的引入给与了必要的解释

新教材与大多数教材（如文献[1]、[2]、[3]）与众不同的一点是，其将一些

（1）本书巧用“为什么”开头展开文章小节

例 1：为什么要把特征矩阵化为对角矩阵？

例 2：为什么要引入线性空间？

以例 2 为重点说明，来简要剖析一下作者对概念引入的写作方式。一般而言，线（也称向量空间8

对于函数而言，我们把一个函数写成其他函数线性表示的形式，将会把复杂的计算都归结为简单的加法与乘法运算。比如，我们可以计算及e²的估计

（2）借助数学史来解释重要概念来源

现如今大多数高等代数教材的编写者或者代数能力很强，或者几何水平很高，因此常以居高临下的视角来写作基础教材

陈跃老师研究的方向是代数几何史

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4：逆矩阵。19

而言，可以看成是一元一次方程ax=b的推广。在a≠0 情况下，对于后者而言， 其方程解为

凯莱发现对于矩阵方程 AX =β，其解也具有上面的类似表达式。

主轴定理3n

3、本书注重课程交叉并结合多门课程知识点展开叙述

涉及为后续学习做好了铺垫；其二，通过其他学科知识的介绍，也能帮助学生更好地体会高等代数在数学学习中的实际应用

（1“初等数论”的引进为多项式理论教学打好基础

（如文献[2]

整数（初等数论）	多项式（高等代数）
辗转相除法	辗转相除法
最大公因子	最大公因式
算术基本定理	因式分解定理
素数	不可约多项式
……	……

实际上，初等数论中关于整数的相关结论可以部分“迁移”到多项式理论中来，因此从某种程度上说，“初等数论”的引进为多项式理论教学打下良好基础。

（2“常微分方程”的引入为相似矩阵提供应用依据

（见文献[1]（5.4

“求解线性常微分方程组的基本思路也和解线性方程组一样：先设法消元， 形成只含一个未知函数导数的一阶微分方程，然后再用分离变量法求解，而这个消元过程正是通过相似矩阵来完成的。”

4、代数与几何相得益彰，二者结合再显神威

平面高等代数与解析几何关联的方式是将高等代数的知识点与上述主要内容搭建起利用行列式来阐述向量共线和共面；借助行列式来表示外积进而求体积；行列式也用于平面方程的一系列计算；利用正交矩阵来实现对二次曲面方程的化简是独到之处在于作者却将一些代数对象赋予了更加深刻的几何解释。

引入根子空间的概念来阐述若尔当标准型的几何解释Jordan 标准型而言我们是从纯代数的相似角度下进行考虑。通过对  矩阵作初等行列Jordan标准

读一本书要将自己想象成作者本人，如果是你来写你能写得出来吗？为什么要这样写？” 

【参考文献】

[1]樊恽，刘宏伟. 线性代数与解析几何教程（上，下）.北京：科学出版社，2009.

[2]姚慕生，吴泉水，谢启鸿.高等代数学（第三版）.上海：复旦大学出版社，2016.

[3]同济大学应用数学系.高等代数与解析几何（第二版）.北京：高等教育出版社,2016.

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