【原】第11届全国大学生数学竞赛初赛非数学类试题点评、视频解析、历届真题

考研竞赛数学 2020-10-09

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下面重新分析一下第十一届全国大学生数学竞赛初赛非数学专业竞赛真题，在学友反映一致很难，各赛区公布的成绩很不理想的情况下，在有些赛区几分可以拿到三等奖、十几分可以二等奖的，三十多分可以一等奖的情况下，六十分左右可以进入决赛的情况下，你还没拿到奖！看看到底是竞赛题确实很难，还是咱们的复习思路、复习方法有问题！看看竞赛题型、解题思路、方法与咱号一直强调的复习方法，复习内容和推送的推文内容是不是具有高度的一致性！以下简要分析一下题型、来源、方法，详细的探讨可以参见后面推出的视频解析！注意，推文中凡是有下划线的淡蓝色粗体文字都附带链接，点击可以直接访问相应推文！

填空题第1题：

该题属于最基本的极限计算题，不要洛必达法则，不要太累公式，只需要利用等价无穷小、四则运算法则和最基本的函数极限计算的一般思路完全可以计算得到结果！

填空题第2题：

首先这个题目是咱号2018年10月16日推送的“第五届河南赛区《非数学类》复赛试题”的一个填空题！它那里是3次，这里是2次，它那里是x+y，这里是x-y！借用完全一模一样的思路可以求得这里的积分结果。另外，其实求解这个题目用定积分描述曲边梯形的面积的一个描述形式完全一致，在2018年1月10日推送的《高等数学》课程推文“《定积分的几何应用》基本解题思路与参考课件节选”中，就例3计算定积分计算椭圆的面积积分描述形式和计算思路一致，只不过一个是定积分，一个是不定积分，涉及的思想是积分的换元法！而题目中方程参数方程的构建方法，则在2018年10月2日的《高等数学》课程推文推送的“《曲线的参数方程与极坐标方程》内容小结、题型与参考课件节选”中就专门讨论过，并给出了实例！

填空题第3题：

这个积分题更是一个一模一样的竞赛题，它曾经出现在“2002年江苏省普通高校高等数学竞赛（本科三级）的竞赛题”中。另外，这个定积分的计算题型，应该也是属于相对经典题型，被积函数具有一定的特定结构。依据特定结构和平常讨论的积分方法：分部积分法和万能公式法两个思路都得到正确的结果，详细探索过程参考竞赛试题解析视频。从第2题、第3题原题型，甚至原题的出现，这和咱们一直强调了各省、市、校的竞赛题题型都是一致的，不管是对于复习备考竞赛、考研，还是平时的课程学习都是通用的！所以对于平时咱号推送的竞赛真题要认真对待，动手练习，全部推送分布在公众号菜单“竞赛实验”菜单的“竞赛试题与通知”下的“其他试题”中！

填空题第4题：

已知微分表达式，求原函数！这是《高等数学》格林公式，或积分与路径无关内容讨论中必定讨论的一个问题，比如2018年5月18日推送的《高等数学》课程推文“《积分与路径无关及全微分方程》内容小结、题型与典型题”中，不仅给出了思路，而且给出了基本上完全一样的例题，如原函数（势函数）的计算部分的例4。同时对于标准答案给出的基于微分的形式不变性，积分因子，凑微分求解思路也进行了讨论并给出了例题。其实这个题目是一个思路相对固定的问题！通常的方法就是基于积分与路径无关，然后通过选取合适的路径，采用对坐标的曲线积分计算方法来计算得到原函数. 采用这个固定的思路完全可以计算得到这个题目的结果！

填空题第5题：

这个题目就基本上没有什么新意，属于一个最基本的多元函数几何应用的问题，而且也是咱们一再强调的，它是各类高等数学课程内容考试中考查重点！在“第六届全国大学生数学竞赛初赛非数学专业真题解析视频”中针对曲面两种描述形式，一般式和参数方程描述形式如何求曲面的切平面方程进行了专题性的探讨。相对来说，这里这个题目要简单得多！和第一个填空题极限题一样，应该是必拿分的问题！

第二题：

对于三重积分的计算一般思路与方法，在之前的真题在线课堂都进行了详细的分析与探讨，比如第四届、第八届、第九届、高等数学第二学期期末复习与提高在线课程进行了探讨，在第十届、《高等数学》解题思路与典型考题解析课堂中，更是完整探讨了三重积分的一般思路和各类可能的计算方法适用的题型与详细的应用步骤。另外，这个竞赛题与竞赛前两天，咱号推送的模拟综合练习题十二的第一大题的第3小题也非常类似，利用完全一样的解题思路与方法，我们完全可以得到这个竞赛题的三重积分积分结果。当然，对于三重积分球坐标适用的问题类型，考察方向，定限方法，求解具体步骤公众号在推送的《高等数学》课程推文中也进行了详细的探讨，具体参见以下两个推文：

从历届竞赛题中可以看到，二重积分的极坐标计算方法，三重计算的球坐标计算方法以及重积分的换元法，是经常考查的方法。对于它们的思路、方法与步骤，以及适用的问题类型，在历届有相关题型的真题解析视频中，都进行了详细的探讨，并且在推送的《高等数学》课程内容中也进行了专题性的讨论.

第三题：

这个题目出现在一些数学分析，或者数学竞赛辅导书中，也曾出现在“2017年河北省大学生数学竞赛（非数学类）的一个最后一个竞赛大题”。就题型和解题思想、方法来讲也是咱们经常遇到的问题，着手探讨思路有固定的思路与方法，基本理论依据为连接函数、导数、函数值的桥梁——拉格朗日中值定理，结合典型问题的求解思路，构建递推关系给出探索方向，得到验证思路与过程。

第四题：

这是一类典型问题，已知累次积分表达式计算积分！通常思路是回归积分原模型，交换积分次序重新构选累次积分表达式，或者分析积分模型中被积函数的特点与积分区域的图形特征，或者结合实际意义背景，重新选择合适的坐标系与计算方法完成计算。根据表达式描述形式可以直接归结为球坐标系下对面积的曲面积分模型，然后将问题归结为与“2011 年第三届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷”最后一个大题完全一模一样的问题！对于曲面积分的球坐标计算方法，公众号在推送的《高等数学》课程推文“《对面积的曲面积分基本计算方法及其应用》内容小结、题型与典型题”中至少有4个例题进行探讨，并且都给出了相应的累次积分表达式进行计算！

当然，对于相关内容，咱们在配套的在线课堂中推出的专题讲座：“专题教学：积分不等式证明和对面积的曲面积分计算”，通过一个对面积的曲面积分不等式证明题的求解思路分析、探索，以统一的描述形式，归纳、总结了积分建模、计算、应用的基本思想和模型，积分的基本性质与常用的计算性质，并基于积分建模的元素法、积分的各类性质和应用建模的思路与方法，探索了积分不等式证明的一般思路和对面积的曲面积分的十四种计算方法，同时以实例形式分析、探讨了两类曲面积分换元法，对高等数学教材和课程积分换元法进行了有效的补充。

第五题：

咱们一直说，高等数学绝大部分练习题和解题思想与方法都是适用于数学分析课程学习的，两个课程最大的区别就是数学分析更着重于理论，高等数学更着重于方法，考试内容上最大的区别是几个一致性！这个题目虽然多出现在数学分析的研究生入学考试题，或者出现在数学分析相关的参考书中的例题或练习题中！比如就曾经出现在北京大学、南京师范大学的硕士研究生入学考试《数学分析》科目的初始试题中。

但是就其解题思路与方法来说，完全依靠高等数学教材中包含的知识点和方法就足够了，而且是属于基本的、经常强调的内容！考察的就是一个多项式函数根的描述、基于幂级数的唯一性的系数比较和常规的极限计算方法，对于求得系数的极限的计算，则对于两个方法都是咱们课后练习，或者咱号推出的专题练习中的原题，比如2018年10月28日的推文《高等数学》习题2.2参考解答节选给出的第一个题目的第(3)小题和2018年11月1日推送的习题解答2.4的12题！

第六题：

该题看上去可能稍微复杂，但是究其思路上面来讲应该还是比较直接的，看到包含导数的等式就是求解微分方程！经过问题的不断转换一般可以至少拿到6分以上！如果时间充分，则一般可以通过咱们强调的解题“套路”，不断改写给出的和咱们中间推导得到的表达式，依据一般判定函数有界的思路与方法，基于最基本的理论依据，应该还是容易得到该题的验证过程的！其中关键是对不定积分描述和原函数的变限积分描述形式的理解！

以上是对该套竞赛题的一个初步点评，借助于以下的解析课堂的详细点评与解题思路、方法、步骤的探索、分析，从中可以看到咱们一直强调课程学习、考研、竞赛复习内容、参考资料的选择原则、复习方法、方向的确定！当然，也可以借鉴咱们之前推送的一些推文来具体了解：