 相关知识点 【注】没显示完整的公式请在公式上滑动显示！ 对面积的曲面积分直接计算法一般思路与步骤 设需要计算的曲面积分为 1、直角坐标系下的一般步骤第一步：画图，考察积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 在图形具有对称性，被积函数具有奇偶性条件下，借助“偶倍奇零”和轮换被积表达式变量化简、转换需要计算的积分模型. 第二步：被积函数定义在积分曲面上 特别强调，和曲线积分一样，曲面积分中的变量都定义在积分曲面上，所以满足积分曲面的方程. 因此，可以借助于描述曲面的方程等式，可以将描述积分曲面的等式代入被积函数，简化、转换积分模型. 【注】 同样以上两个步骤为也不是必须的 ，也没有必然的先后顺序，并且有时候应用它们不一定能够起到简化作用，所以一般考察对面积的曲面积分计算直接从第三步开始，除非后续步骤不能有效完成计算. 第三步：将积分转换为简单积分曲面上的积分，写出简单曲面的函数表达式 当一个曲面在相应坐标系下可以描述为一个变量（因变量）关于另外两个变量（自变量）的二元函数表达式时，则该曲面称为关于两个自变量的简单类型的曲面. 在一个坐标系中可能的简单曲面类型有三类. 比如在直角坐标系中，曲面可以分为
其中, , 分别为曲面在三个坐标面上的投影区域. 从图形上判定就是在曲面在坐标面上的投影曲面上（包括内部和边界）上任意取点，做垂直于坐标面的直线穿过曲面，交点有且仅有一个.  第四步：转换曲面微元为投影微元描述 基于“以平代曲”的基本思想，将曲面微元转换为投影微元描述.
其中为曲面在处切平面的法向量相对于轴的方向余弦.
其中为曲面在处切平面的法向量相对于轴的方向余弦.
其中为曲面在处切平面的法向量相对于轴的方向余弦. 第五步：转换积分模型为二重积分模型 将被积表达式中的和被积函数中的函数变量，分别用上面计算得到的面积微元表达式和描述积分曲面的二元函数替换，并将积分曲面替换为积分曲面在对应坐标面上的投影区域，从而对面积的曲面积分转换二重积分模型. 对应于简单 型曲面的二重积分模型分别为 第六步：选择合适的坐标系计算二重积分 【注】 简单曲面上对面积的曲面积分的计算步骤，也就是后面的三步，可以概括为六个字 “一投、二代、三换” ，即 一投：投影到型变量对应的坐标面上得投影区域； 二代：将被积函数中的因变量用二元函数表达式替换，使其成为自变量的二元函数表达式 三换：将面积微分换为投影区域微元和型变量表达式，将积分曲面换成投影区域，得到投影区域上的二重积分模型. 2、参数方程描述的曲面的曲面积分设在光滑曲面上连续，曲面由参数方程 描述，其中是一个平面有界区域， , , 具有一阶连续偏导数，令 不全为零，则曲面的法向量为 所以依据“以平代曲”的思想，可得面积微分为 如果令 则面积微元可写成 于是可得由参数方程描述的曲面的对面积的曲面积分计算公式 其中 视频解析 例题及参考解答 【注】没显示完整的公式请在公式上滑动显示！ 例：计算曲面积分 其中为球面 【参考解答】 【思路一】 曲面分为上下两个部分， 一投：两者的投影区域都为 二代： 三换：将描述曲面的函数求偏导代入面积微元，得 于是得 所以 【思路二】 积分曲面不仅关于三个坐标面对称，而且关于三个变量有轮换对称性. 由于 对于第一个积分，由积分曲面的轮换对称性，有 对于第二个积分，被积函数关于变量为奇函数，积分曲面关于面对称，所以由偶倍奇零的计算性质，得 第三个积分，由曲面积分的几何意义，就等于积分曲面的面积，所以 因此最终的积分为 相关推荐 全套高等数学内容小结，课件，典型例题、习题，专题练习和单元测试题，请点击公众号会话框底部菜单“高数线代 ”下的“高等数学概率其他 ”菜单. |
|
|
