作者：程鹗玻恩1926年初出访美国时，他在波士顿收到来自英国的一篇论文，作者是剑桥的研究生狄拉克，一个从未听说过的名字。玻恩看了论文之后觉得非常意外，因为狄拉克为海森堡的矩阵理论提出了一个新颖的视角，而他出访前与约旦、海森堡合著的“三人论文”尚未问世，应该还没有人能明白那怪异的矩阵力学。 狄拉克出生于英国西南的海滨城市。因为家境贫寒，他起初只是在当地大学修习了实用工程专业，可是毕业时遭遇第一次世界大战后的经济萧条，没能找到适合的工作。后来他又回学校从头开始学习应用数学。努力终于得到回报，他赢得一项奖学金去剑桥攻读博士学位。 从小受父亲专横造成的心理伤害，狄拉克在孤独中长大，他不具备基本的社交能力。在剑桥读博，他过着独往独来、规律得如同机器人的生活，并养成了晚饭后出去散步，星期天到郊外暴步游走的习惯。
1927年，在乡间漫步的狄拉克 英国的大学是以学生自学为主，导师只是提供一定的指点。这对于既聪明却又性格孤僻的狄拉克来说如鱼得水，他在剑桥的学业急速长进。 他的导师是卢瑟福的女婿、物理教授福勒（Ralph Fowler）。在当时，福勒是剑桥唯一能勉强跟上量子理论蓬勃发展的理论家。海森堡完成第一篇矩阵论文后，他曾到剑桥短暂访问，和福勒私下谈论过他的新进展。应福勒的要求，海森堡拿到论文的校样后就给他寄了一份。福勒教授又将它转寄给正在度假中的狄拉克，他想让这个沉默寡言却聪明绝顶的学生先睹为快。 狄拉克起初并没有看出海森堡那复杂的数学背后有什么实际意义。直到十来天后的一个星期天，他去野外暴步游走，脑子里突然浮现出论文中一处不起眼的小片段——可能是一个问题。 海森堡发明的列表计算有个毛病：两个表相乘的结果与它们的顺序有关。在普通代数中，加法和乘法是“对易”的，例如2加3等于3加2；2乘3等于3乘2。但减法和除法没有这种对易关系。在海森堡的新法则里，两个列表相乘时如果彼此交换顺序却会有不同结果，这违反了乘法的对易性。 狄拉克直觉这十分荒唐。在邮寄给玻恩的论文中，他很不好意思地指出海森堡的计算法则可能会是新理论的一个隐患。 狄拉克此前其实已经见过不对易的乘法，不过没有意思到会是一个问题。他也不知道这正是剑桥前辈凯利发明的矩阵代数的一个特征，更不知道玻恩和约旦已经发现海森堡新算法是矩阵力学，代表位置与动量的矩阵相乘时不对易。它们不同顺序的乘积之差正好与普朗克常数成正比，意味着那是一个经典物理中不存在的量子现象。 狄拉克隐隐觉得这个位置与动量乘法的非对易关系似曾相识，一时却又想不起在哪里见过。那天晚上，他破天荒地烦躁，一夜无眠。挨到早晨图书馆开门，他马上去查阅经典力学的大部头著作，果然找到了一种叫做“泊松括号（Poisson bracket）”的数学构造，它在形式上与海森堡的不对易性颇为相像。 牛顿动力学的主题概念是“力”。在普通物理中，力被定义为“物体之间的相互作用”。但“力”是一句“空话”，因为“力”看不见摸不着，只是一种理论上假想的概念。牛顿之后，一些数学家试图将他的动力学脱胎换骨，代之以更严谨的数学描述。在欧拉（Leonhard Euler）、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和哈密顿（William Hamilton）等人长达一个世纪的持续努力中，经典力学终于被彻底改写，有了更具普遍意义的数学形式。 在新的表述中，力被势能取代。即物理体系由其动能和势能所组成的“拉格朗日量”或“哈密顿量”来描述。薛定谔所构造的波动方程便是采用了含有哈密顿量的形式。 泊松括号是法国数学家泊松（Simeon Poisson）相对于物理体系发明的一个表达方式，用以构造所谓的“正则坐标（canonical coordinates）”。它其实与海森堡的非对易乘法没有关系。 但狄拉克却敏锐地看出其中一个奇异的联系：海森堡的矩阵力学与哈密顿式的经典力学并没有太大差异。如果将经典力学中的泊松括号重新定义为含有普朗克常数的数值，就可以直接“量子化”为海森堡的力学。 这样一来，狄拉克就在经典物理和量子物理之间架起一座桥梁，终于可以为玻尔那喋喋不休却捉摸不定的对应原理提供一个数学基础。 与他的风格相符，狄拉克的博士论文有着言简意赅的标题——“量子力学”。这是有史以来第一篇以量子力学为题材的学位论文，而新量子力学才刚刚诞生，还未满周岁。 顺利赢得博士学位后，狄拉克又获得一份奖学金。在福勒的建议下，他决定留洋深造，到正在成为量子力学圣地的哥本哈根和哥廷根镀金。 1926年10月1日，玻尔在火车站迎接应邀来访的薛定谔。尽管这是他俩第一次谋面，玻尔却没有心思客套，他一碰头薛定谔就发出一连串的诘问。 玻尔的原子模型揭开了量子理论的序幕。十年之后，他的电子轨道、量子跃迁等新概念已经被海森堡、薛定谔他们的更新理论撕扯得支离破碎，被不客气地划入“旧量子理论”。取而代之的“新量子理论”便是矩阵、波动以及狄拉克那还没人看懂的新力学体系。 虽然薛定谔已经证明了矩阵力学与波动力学在数学上等价，但他和海森堡的分歧不仅没有消失，反而日益尖锐。在收到海森堡怨气满腹的来信后，玻尔邀请薛定谔就是期盼通过面谈能达成共识，将苏黎士的这位游侠也纳入自己的阵营中。 物理学有了数学工具使之成为可以定量分析的精确科学。无论是牛顿力学还是麦克斯韦电磁学，或者是爱因斯坦的相对论，它们都有各自引领风骚的数学方程。只要再加上必要的边界条件，其相关的物理问题均可以迎刃而解。 薛定谔根据德拜的建议为德布罗意波寻找到了数学方程，但他没料会带来更大的麻烦。如何理解那作为方程主体（变量）的波函数在物理学家中莫衷一是。很可能，这是物理学史上第一次出现严谨数学语言不足以描述出清晰的物理图像，他的波函数的物理意义却需要外加辅助性的“诠释”。 薛定谔不认同玻恩的几率诠释。他坚持波函数就是粒子的实在分布，运动是连续的波动过程而不存在所谓的量子跃迁。他应邀来哥本哈根的那几天里，玻尔日夜没完没了地向他“讯问”这个问题。其间，薛定谔病倒卧床，玻尔夫人玛格丽特精心照料，但固执地玻尔还是坐在床头一个劲地探讯：“可是…，你不可能真的会认为…” 薛定谔同样是然固执己见，他没有“归顺”玻尔。当他身心俱疲地离开哥本哈根时，犹如逃脱了鸿门宴。 作为玻尔的助手，海森堡近距离旁观玻尔和薛定谔的争执或交流，他明智地置身事外只做记录。在他的心目中，玻尔立场不坚定、与薛定谔的波动说颇有微词。他也觉得他已经找到了一个击溃薛定谔波函数的利器。 在薛定谔到来之前，海森堡研究了波动方程。他成功地计算出有两个电子的氦原子光谱。这是自玻尔提出原子模型以来一直未能解决、曾经让泡利做博士研究束手无策的大难题。 海森堡的成功计算也是新量子理论的第一个重大突破，他切身体会到了波动方程在实际运算上的绝对优势，不得不承认自己的矩阵在这方面望尘莫及。但他同时也发现氦原子的那两个电子的波函数非同一般。 按照薛定谔波动方程的图像，两个电子的波函数与一个电子的波函数不会有太大区别，它们都是电子在三维空间的分布。具有两个电子的波函数无非是质量、电荷的总和是一个电子的两倍，在形状上则会同时显现两个分立的波包。 然而，海森堡用来解决氦原子的波函数却没有那么直观。它是一个在六维空间中的分布：两个电子各有自己的三维空间。他也看出了这个结构可以直接推广到更多电子的原子，仅仅是波函数所占据的空间维数随之增多而已。铀原子有着92个电子，它的波函数就会有多达276个的空间维数。 这听起来似乎匪夷所思，但对于精通微分方程的理论物理学家并不突兀。在拉格朗日、哈密顿推广后的力学体系中，这样的抽象数学空间司空见惯。况且，数学家希尔伯特已经与之同步地提供了相应的数学工具——“希尔伯特空间”。 海森堡觉得，这样的空间只是一个数学上的便利，波函数并非是薛定谔心目中的物质分布，倒是与玻恩的诠释相当合拍，即波函数是电子各自在三维空间中出现的几率。众多的电子各有各的几率分布，它们互相分离但并不完全独立。在同一个波函数下，所有电子依照薛定谔方程随时间、空间演变，其几率既各自为政，又相互同步关联。 狄拉克来到哥本哈根后，在市区租了一个间住房，每天形单影独地按时上下班。傍晚，他往往随便搭乘一趟公交车到终点站，然后循原路步行回家，在宁静中领略这个陌生的都市。星期天，他依然如故地去郊外独自暴走。 玻尔已经见识过众多来来往往、性情迥异的年轻人，唯独瘦长、孤僻的狄拉克是他无法吃透的角色。他称狄拉克是“最奇葩的人”。与狄拉克对话，他一般只用“是”、“不”这两个单词来应答。有一次，他和人打赌看谁能迫使狄拉克说出第三个词汇，经过一番努力，狄拉克才终于回应了一个“不在乎”。 在学术上，狄拉克与玻尔正好是两个极端。玻尔的论文几乎没有数学公式，喜欢以冗长的句子没完没了地绕圈；狄拉克则巴不得整篇论文完全以数学方程示人，根绝日常语言的污染。即便是在讨论时，他也惜语如金，力求以最简短、最准确的语言来表达。 玻尔阐述问题语言复杂，常常把自己也搞得糊里糊涂。这时他会习惯性地抱怨不知道应该如何结尾，狄拉克就冷冰冰来上一句：我们从小就学会了，如果你不知道怎样收尾，就不应该急着开口说话。 在玻尔眼皮底下，几乎从不开口说话的狄拉克成绩斐然。他延续博士论文中对矩阵力学的研究，重新推出了更具一般性的“变换理论（transformation theory）”，为新生的量子力学提供了一个完备的数学根基。 在狄拉克的理论中，量子力学描述的是代表量子态的矢量在多维希尔伯特空间中旋转的行为规律。如果在这个空间中选取不同的正则坐标，就会出现不同的“表象（picture）”。这些表象既可以是薛定谔的波动方程，也可以变换为海森堡的矩阵代数。两个理论不仅互相等价，而且都只是这个更普遍的变换理论的特定表现形式。他还在他的论文引言中明确指出：在这个变换理论中，波和粒子有着完美的和谐。以粒子为出发点的表象经过一个哈密顿变换后就能自然地成为波动性的表象。 终于，狄拉克的变换使海森堡与薛定谔的原则性观点冲突成为了过眼云烟。 美中不足，狄拉克没能独享构建量子力学根基的荣誉。几乎同时，玻恩的助手、同样精于数学的约旦也独立地第完成了同样内容的论文。 狄拉克和约旦都是1902年出生。他们这一代的弄潮儿，泡利最为年长（1900年出生），海森堡比他师哥小一岁。1926年之所以不平凡，也正是他们这些25岁上下的年轻人在学术上相继展现出灿烂锋芒的缘故。 玻恩在1925年底去美国讲学时，约旦交给他一篇自己刚刚完成的论文。作为导师、《物理学杂志》的编辑，玻恩应该审阅后让他的论文立即发表。但玻恩随手把稿件放进行李箱，准备在旅途中阅读。直到大半年之后，他才又在箱底发现这篇被遗忘了的文稿。 那正是量子力学日新月异的几个月。狄拉克独立发表了和约旦内容同样的论文，而约旦的论文因为耽误了时间，不再具备发表的意义。
1920年代的约旦 爱因斯坦在完成玻色-爱因斯坦统计后，他没有意识到他的这个新量子统计——尤其是玻色-爱因斯坦凝聚，会与泡利随后提出的不相容原理矛盾。按照玻爱统计，粒子在低温时会凝聚到能量最低的态，泡利却指出电子互不相容，不可能有两个电子同时占据同一个量子态。 海森堡在构造氦原子的波函数时，他发现如果将其中的两个电子互为交换，波函数的数值会改变正负号。正是这种“反对称”可以阻止两个电子进入同一个量子态，从而满足泡利不相容原理。 狄拉克随后做了推广。狄拉克指出，量子化的粒子其实有着迥然不同的两类：在波函数中交换时不发生改变的属于完全对称——这是遵从玻色-爱因斯坦统计的“玻色子”，它们的自旋量子数是整数；而包括电子在内的另一类粒子，它们的自旋量子数是半整数，在波函数中交换时呈现反对称，即不遵从玻色-爱因斯坦统计，需要另一个完全不同的统计规律。 在狄拉克之前，意大利的费米（Enrico Fermi）已经发表了同样想法的文章。尽管费米的论文相当粗糙，也没有细致地分析波函数中的对称性，但狄拉克还是尊重费米优先。所以有了“费米-狄拉克统计”之称，相应的粒子则叫做“费米子”。 费米也是一个1901年出生的年轻人。他曾经是玻恩的学生，在人才济济的哥廷根自惭形秽，他想急流勇退。荷兰的埃伦菲斯特听说后，特地嘱咐学生乌伦贝克去探望。乌伦贝克劝费米一定要在见过埃伦菲斯特之后再决定是否放弃物理生涯。受此鼓励，费米于是加入埃伦菲斯特的研究组，在那里重整旗鼓，终于成为一代宗师。
1924年埃伦菲斯特（右3）与他的学生合影：左2是古德斯密特，右1为费米。右2是最先提出电子自旋的克勒尼希。左3廷贝亨（Jan Tinbergen）后来成为第一届诺贝尔经济学奖获得者 在风风火火大闹量子世界的年代中，海森堡也有着他自己的烦恼。担任玻尔的助手本来是他梦想成真，但随着时间的推移，他却感到这个职务有着难以摆脱的负担。他无法像狄拉克那样按时上下班，因为玻尔会随时出现在他的办公室或寓所，常常几小时几小时地连续讨论如何诠释量子理论，有时会争辩到深夜，甚至通宵达旦。他能够在哥本哈根解决氦原子的光谱问题，则是因为那时的玻尔得了重流感，有两个月没有上班。 海森堡始终无法忘怀在柏林与爱因斯坦的那一席交谈，他越来越渴望有一点自己静心思考的时间。 |
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