高中物理：动量和能量的综合应用

例1、（1）如图，木块B与水平桌面的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后，留在木块内，将弹簧压缩到最短，现将子弹、木块和弹簧（质量不可忽略）合在一起作为研究对象（系统），此系统从子弹开始射入到弹簧压缩到最短的整个过程中，动量是否守恒。

（2）上述情况中动量不守恒而机械能守恒的是（    ）

A. 子弹进入物块B的过程

B. 物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量达最大的过程

C. 弹簧推挤带着子弹的物块B向右移动，直到弹簧恢复原长的过程

D. 带着子弹的物块B因惯性继续向右移动，直到弹簧伸长量达最大的过程

答案：（1）不守恒；（2）BCD

解析：以子弹、弹簧、木块为研究对象，分析受力。在水平方向，弹簧被压缩是因为受到外力，所以系统水平方向动量不守恒。由于子弹射入木块过程，发生剧烈的摩擦，有摩擦力做功，系统机械能减少，也不守恒。

例2、在光滑水平面上有A、B两球，其动量大小分别为10kg·m/s与15kg·m/s，方向均为向东，A球在B球后，当A球追上B球后，两球相碰，则相碰以后，A、B两球的动量可能分别为（    ）

A. 10kg·m/s，15kg·m/s

B. 8kg·m/s，17kg·m/s

C. 12kg·m/s，13kg·m/s

D. －10kg·m/s，35kg·m/s

答案：B

解析：① A与B相碰时，B应做加速，故p_B′＞p_B，即B的动量应变大，故A、C不对，因A、C两项中的动量都不大于p_B＝15kg·m/s。② A、B相碰时，动能不会增加，而D选项碰后E_k′＝  故不合理。

例3、在光滑的水平地面上，质量m₁=0.1kg的轻球，以V₁=10m/s的速度和静止的重球发生正碰，重球质量为m₂=0.4kg，若设V₁的方向为正，并以V₁’和V₂’分别表示m₁ 和m₂的碰后速度，判断下列几组数据出入不可能发生的是（    ）

A. V’₁=V’₂=2m/s

B. V’₁=0，V’₂=2.5m/s

C. V’₁=－6m/s，V’₂=4m/s

D. V’₁=－10m/s，V’₂=5m/s

答案：D

解析：A选项为完全非弹性碰撞，碰后共速；B选项为非弹性碰撞，碰后动能比碰前小；C选项为完全弹性碰撞，碰后动能与碰前相等；D选项碰后的动能比碰前多，不可能。

例4、当A追上B并与B发生正碰后B的动量增为，则A与Ｂ的质量比m_A：m_B可能为（    ）

A. 1:2

B.1:3

C.1:4

D.1:6

答案：BC

解析：由动量守恒定律，碰撞后A球动量必为

由题意分析有：_，

据此可排除选项D。

对选项A不妨设M_A=m 则M_B=2m

则又即

碰撞前

碰后

此时，显然不符合动能关系，故A也排除。同理可验证选项B、C满足动能关系，因此正确答案为选项B、C

例5、光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以V₀=6m/s的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物块C静止在前方，如图所示。B与C碰撞后二者粘在一起运动，在以后的运动中，当弹簧的弹性势能达到最大为         J时，物块A的速度是       m/s。

解析：本题是一个“三体二次作用”问题：“三体”为A、B、C三物块。“二次作用”过程为第一次是B、C二物块发生短时作用，而A不参加，这过程动量守恒而机械能不守恒；第二次是B、C二物块作为一整体与A物块发生持续作用，这过程动量守恒机械能也守恒。对于第一次B、C二物块发生短时作用过程，设B、C二物块发生短时作用后的共同速度为V_BC，则据动量守恒定律得：   （1）

对于第二次B、C二物块作为一整体与A物块发生持续作用，设发生持续作用后的共同速度为V，则据动量守恒定律和机械能守恒定律得：

m_AV₀      （2）

（3）

由式（1）、（2）、（3）可得：当弹簧的弹性势能达到最大为E_P=12J时，物块A的速度V=3 m/s。

例6、质量分别为m₁和m₂的小车A和B放在水平面上，小车A的右端连着一根水平的轻弹簧，处于静止。小车B从右面以某一初速驶来，与轻弹簧相碰，之后，小车A获得的最大速度的大小为v。如果不计摩擦，也不计相互作用过程中的机械能损失。求：

（1）小车B的初速度大小。

（2）如果只将小车A、B的质量都增大到原来的2倍，再让小车B与静止小车A相碰，要使A、B小车相互作用过程中弹簧的最大压缩量保持不变，小车B的初速度大小又是多大？

解析：（1）设小车B开始的速度为v₀，A、B相互作用后A的速度即A获得的最大速度v，系统动量守恒m₂v_o=m₁v m₂v₂

相互作用前后系统的总动能不变

解得：

（2）第一次弹簧压缩最短时，A、B有相同的速度，据动量守恒定律，

有m₂v₀=（m₁ m₂）v_共，得

此时弹簧的弹性势能最大，等于系统总动能的减少

同理，小车A、B的质量都增大到原来的2倍，小车B的初速度设为v₃，A、B小车相互作用过程中弹簧的压缩量最大时，系统总动能减少为

由ΔE＝ΔE'，得小车B的初速度

例7、如图，质量为M的障碍物静放在水平光滑地面上，一质量的球以速度v₀冲向障碍物，若障碍物弧面光滑且最低点与水平地面相切。求小球能沿着障碍物弧面冲上多大高度？（弧面为1/4圆弧）

答案：

解析：由于水平方向不受外力作用，系统在水平方向上动量守恒，可以求出两者共同的末速v（因为最后运行到最高点时，两者的速度相同）： mv₀＝（m＋M）×v 。再用能量守恒定律：初动能＝末动能＋小球势能变化，可以求出小球上升高度h。

例8、如图所示，在同一竖直平面上，质量为2m的小球A静止在光滑斜面的底部，斜面高度为H=2L。小球受到弹簧的弹性力作用后，沿斜面向上运动。离开斜面后，达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞，碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度，球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点，O点的投影O´与P的距离为L/2。已知球B质量为m，悬绳长L，视两球为质点。重力加速度为g，不计空气阻力。求：⑴ 球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小；⑵ 球A在两球碰撞后一瞬间的速度大小；⑶ 弹簧的弹性力对球A所做的功。

解析：⑴ 由碰后B刚好能摆到与悬点O同一高度，应用动能定理或机械能守恒定律可得：

⑵ 利用弹性碰撞公式，设与B碰前瞬间A的速度是v₀，可得v_A= v₀/3，v_B= 4v₀/3，可得及

⑶ 由A平抛的初速度和水平位移，可求得下落高度是L。A的初动能等于弹力做的功，A上升过程用机械能守恒：=

例9、有两个完全相同的小滑块A和B， A沿光滑水平面以速度v₀与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示。

（1）已知滑块质量为m，碰撞时间为Dt，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小；

（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，物制做一个与B平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析A在下滑过程中不会脱离轨道），

a. 分析A沿轨道下滑到任意一点时的动量P_A与B平抛经过该点时的动量P_B的大小关系；b. 在OD曲线上有一点M，O和M两点的连线与竖直方向的夹角为45°，求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度。

解析：（1）mv_A＋mv_B＝mv₀，1/2mv_A²＋1/2mv_B²＝1/2mv₀²，解得：v_A＝0，v_B＝v₀，对B有：FDt＝mv₀，所以F＝，（2）a. 设该点的竖直高度为d，对A有：E_kA＝mgd，对B有：E_kB＝mgd＋mv₀²，而P＝，所以P_A<P_B

b. 对B有：y＝gt²，x＝v₀t，y＝x²，在M点，x＝y，所以y＝，因轨迹相同，所以在任意点它们的速度方向相同，对B有：v_xB＝v₀，v_yB＝＝2v₀，v_B＝v₀，对A有：v_A＝＝2v₀，所以v_xA＝v_xBv_A/v_B＝v₀，v_yA＝v_yBv_A/v_B＝v₀。