经典 || 函数存在性问题—平四处理策略(对角法则)

9年级开门考复习--函数部分

坚持是一种品质，优秀是一种习惯；
不忘初心，成就学生梦想；
为孩子们节约更多的时间成本；
通过《课前导学》,帮助学生养成预习的习惯；
通过《精彩课堂》,帮助学生高效复习和总结；
初中的学习生活很短，也很有意义；
希望能够陪着你慢慢成长，畅游知识海洋。

——思达·学周

函数3个拓展公式

在我们分享函数模块内容时，我们要先熟悉一下函数的3个拓展公式：

（斜率公式，我在们小题里可以用，大题里使用会被扣分；在大题中如果实在没有其他的思路，那硬着也得用了，会扣1-2分，在时间允许的条件下证明这个结论，那就不会被扣分）

1铅锤高策略

在处理函数有关的问题，“铅锤高”策略是最基本的一种处理方式，这个策略可以解决哪些问题呢？在我们的课堂中有做一个总结，具体如下：

1.竖直线段问题：也是铅锤高的来源（如下图具体分析）
2.点到线的距离问题：（如下图具体分析）
3.面积最值问题：（如下图具体分析）
4.函数的交点问题：（这次复习没有讲到这一块，下次我们继续）
我们以下面这道基础题做切入：

策略分析

对于这个基础题目不用做（基础稍弱一些的同学，可以试试看再参阅讲解分析，效果会更好），只要想到它的解题思路就行了，那我以这个题目为例讲解“铅锤高”策略可以解决的问题：
1.面积问题；我们从最常见的类型说起

2.点到线的距离问题；由图1-3可知面积要最大，实际上线段PG要最大.

3.竖直线段长度：如图1-4中的PG长度我们就叫铅锤高，不知道各位同学对铅锤高的来源是否理解了。“铅锤高”问题一般我们转化为“一元二次方程”的最值问题，接下来我们具体来梳理转化的过程。

对于第2问的(2)小问，好多同学用线段相等去处理，实际上可以再深入一点
∵S△OCP=S△OCD，由同底同高可得，
∴点C是PD的中点，
按这样的方式去处理，计算量会小一些（计算过程略）

2平四处理策略

接下来我要和同学们分享的是平行四边形存在性问题的处理方式，这个知识点很多学生应该都有思路，只是有时计算量比较大，所以很多学生会放弃；也有部分学生是对于分类讨论没有思路，感觉很复杂放弃的，今天我们就平行四边形的2种常规方法（平移法+中点法）进行归纳，同时将这个方法升级一下，形成一个固定套路，这样有利于我们处理平四的存在性问题。

平行四边形的存在有2种类型:

①3定1动：3个定点，再找1个点使得构成平四；

②2定2动：2个顶点，在函数再找2个点构成平四。

3定1动--例题解析

课堂上是直接举例子说明，这里我们用实际的问题来分析

对于这个简单的题目，我们直接用“平移法”直接计算可知

2定2动--例题解析

2定2动的题型相对3定1动的题型复杂多了，我们以下面的这个题目为例子进行说明，从而比较三种方法优缺点。

方法一：平移法

所以，再把t的值代入M坐标中，求出结果即可。
为什么有2个t的值呢？因为除了往上平移外，还可以往下平移，如下图：

方法二：中点法

所以，再把t的值代入M坐标中，求出结果即可。
综上所述，这个题目M值存在的情况有4种，但在我们实际的做题过程中，我们往往会忽略掉某些答案，因为有时候对角线不好画，甚至画不出来，那这样的答案就会被忽略，拿不到满分.

注意:接下来我所讲解的这个对角法则，利用的是中点法的升级版，在这里我们姑且称作“对角法则”吧，直接一步到位进行分类讨论，甚至不需要画图进行说明，可以说是通杀平四的处理策略（当然这里会有画图进行说明）。

【题目】已知：平面内有O、D两点，在某函数上再找2点M、N，

使得这4个点构成的图形是平行四边形。

1.当OD为对角时：

2.当OM为对角时：

3.当ON为对角时：

综上所述：这样的平行四边形有4种情况，直接列方程套公式即可，不需要画草图按边或按角进行分类讨论，这样对于画不出草图的答案会被忽略，但“对角法则”可以规避出错的可能。

总结一下：平四的处理策略有3种方法
1.平移法：要注意点的对应性；
2.中点法：花草图要注意验算；
3.对角法：直接分类讨论，套公式计算，完美。

3垂直处理策略

存在性问题的探究--直角三角形存在性问题是比较常见的一种，他的处理方法很简单，就是先用字母表示出3条线段，再利用勾股定理列出3条线段的数量关系进行解答。

我们以下面这个题目为例

方法一:勾股定理

我们先用常规的套路，去解决直角存在性问题。我们先把抛物线和BM解析式先求出，因为比较简单，所以我直接把答案写出来（同学们可以用待定系数法试求下），抛物线解析式：y=-x^2+2x+3；BM解析式：y=-2x+6

①当∠PCD=90°时：

②当∠CPD=90°时：

注：对于这一题来讲，∠CDP不可能为90°，所以排除。

方法二:构造K字+相似模型

对于方法一来，距离公式整理出来的整式是一个2次方的式子，但如果P点二次函数上时，如果还用第一种方法，用距离公式整理出来会是一个4次方的式子，那计算量就提高了非常多，对很多学生来讲是一个挑战。
在这里我提供一种简便运算的方式：构造K字+相似（即我们常常讲的一线三等角模型）。具体如下：

①当∠PCD=90°时：

②当∠CPD=90°时：
∵PD⊥x轴，

∴CP⊥y轴
∴-2t+6=3，解得t=1.5
故：点M的坐标为（1.5，3）

对于这个方法，我想作一个延伸，在我们的课堂上有点了一下，但没有具体去解。
【题目】若在抛物线上找一点p，使得△BCP为直角，那结果会如何？

注：寻找∠P=90°时，是以BC为直径作一个圆，交于函数某个点（利用的是直径所对的圆周角是90°这个推论）。

方法三:利用K·K'=-1原理

两条直线相互垂直，那么这2条直线的k值相乘等于-1（即K·K'=-1），这个定理是高中才有的，所以大题慎用，初中阶段有些材料题会要求我们证明这个结论，具体的证明方面，下次有遇到时我们再详细说明（感兴趣的同学可以先试试，常规证明方法是旋转+K模型）。
我们回过头去，以原题目为例进行说明。

注：存在性问题，题目若有特殊条件或者特殊信息的，我们可以用特殊方法去做。
今天整理的函数存在性问题的3种处理策略（垂直、平四、铅锤高），完美收官；敬请期待有关等腰、相似等存在性问题的研究。

课 后 总 结

在这次开门考复习中，有很多“小学霸”说能不能把每次课堂额外补充的内容发给他，我只能弱弱的说有点难，因为课堂的补充和拓展是临时增设进去的，就没有办法打印成讲义了，所以从今天开始，以后每一周上完课后，我会把这一周里所学到的内容和额外延伸的部分知识点整理成文章，供同学们复习和总结，也希望通过一年的努力能够给到学生们帮助。那么，就开门考几何部分的复习，今天就先到这里，希望在复习过程中加入自己的体悟和思考；在平时做题中有更好的方法，或者有数学问题需要探讨，欢迎各位同学、家长、老师留言互动。
                                                                     思达·学周

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