【原】【不可能的谜题】- 数学智力游戏系列

不可能的谜题（The Impossible Puzzle）是一个数学问题, 乍看之下似乎没什么线索，无法作答，所以被称为“不可能的谜题”. 这谜题有很多个版本。这里用最原始的版本: 

教授在黑板上写下了两个正整数X和Y, 将其和告诉了学生S，积告诉了学生P。两人知道 1<X<Y<100，并发生了如下对话：

P：我不知道X和Y的具体值

S：我知道你不知道X和Y的具体值

P：那我现在知道了

S：那我也知道了

如果两人足够聪明，求X和Y。 

下面来来分析这个有趣的谜题, 并用选择 Wolfram 语言 求解出来: 

一、P说不知道X和Y的具体值

那么，那些情况下他能确定 X 和 Y 的值呢？当 P 得到的数的乘法分解唯一的时候。如15=3*5，16=2*8，而当他知道的数为诸如20的时候就不能确定了（20=2*10=4*5）。那我们做的第一步就是可以缩小数对的范围。

首先产生所有的 x、y 数对，用 Wolfram 语言来实现就是下面代码, 如果你对 Wolfram 语言还比较默认, 可以跳到解题的下一个步骤. 由于Table 多参数产生的列表是多层的，所以需要压平一层。

初学者看不懂Wolfram 语言中这些##&@@@#&不要紧，把它当成Flatten[#,1]& 就好了，两者在大多数情况下可以互换。此处采用这个写法是为了少打 5 个字符以节约大量时间。

p1 则是 P 第一次对话后剩余的可能的 x、y 数对。先用 GatherBy 按积相等进行分组，用 Select 挑选分组的长度不少于 2，即分解不唯一的数对。

二、S说我知道你不知道X和Y的具体值

S 只知道 x、y 的和，为什么却能知道 P 不能确定答案呢？无论 S 得到的数如何加法分解，每一对和分解的乘积的乘法分解不唯一，就能得出这样的结论。比如S得到了11，

11=2+9=3+8=4+7=5+6，

2*9=3*6，

3*8=4*6，

4*7=2*11，

5*6=3*10。

由于 S 足够聪明，他知道 P 的推理过程，自然能得出上面的 p1 表。换句话说，S 做出题设的结论，如果 S 得到的数的的加法分解数对全在 p1 表中的时候。于是可再次缩小数对范围。

下面是代码求解:

先对 p1 压平，按和相等进行分组，用 Select 挑选每组长度为所有分解长度的数组。可见此时 S 的值已锁定在 10 个值之内。

三、P说已经知道了答案

P 说已经知道了答案，那他是如何做到的呢？P 足够聪明，他知道 S 的推理过程，也就知道了 s1 的数对集合。说明在自己知道的数的乘法分解中，仅有一个数对在 s1 表中。据此可以再次缩小数对的范围。

先对s1进行压平，按积相等进行分组，用Select挑选每组长度为1的数组。

四、S说他也知道了答案

S 足够聪明，也得出了 p2 的数对集合，而且自己得到的数的加法分解中仅有一个数对在 p2 表中。让我们再来试试。

先对 p2 进行压平，按和相等进行分组，用Select挑选每组长度为1的数组。

可见此数对唯一，答案已然揭晓。

这道不可能的谜题最早是由汉斯·弗赖登塔尔得在 1969 年发表，而“不可能的谜题”这个名字是由马丁·加德纳所提出的, 加德纳可是 20 世纪下半叶, 美国数学科普界叱咤风云的人物, 除了他之外还有两位大师级的人物:艾萨克·阿西莫夫与卡尔·萨根. 

这些大师均已逝世, 未来我们会用一系列这些文章来纪念他们. 下面看来加德纳老先生著名的"水手分椰子"趣题: 

5个水手带着1只猴子来到一座荒岛，见岛上有大量椰子，他们便把这些椰子平均分成5堆。夜籁人静，一个水手偷偷起来拿走了一堆椰子，把剩下的椰子又平均分成5堆，结果多出一只椰子丢给猴子吃掉了，过了一会儿，另一个水手也偷偷起来，拿走了一堆椰子后，再把剩下的椰子平均分成5堆，结果还是多了一只，丢给猴子吃了。就这样一个多事的夜晚，5个水手都偷偷藏起一堆，重分了椰子，每次都多出一只椰子让猴子占了便宜。第二天一早，岛上依然平均堆放着5堆椰子。试问：原先的椰子最少要有多少只？

这道趣题解法很多, 您想尝试下吗? 有兴趣的请将答案发至 [e-mail], 我将在下一期数学智力游戏文章中将解答方法公布.