[遇见数学创作小组] 作者: 心如止水 心如止水,Java程序员。善于把复杂的数学知识,简洁易懂地表达出来 昨天在做《数学分析解题指南》,某个公式忘记了,怎么样也想不起来,就去群里问了一下,有位同志说: 我很赞同他的说法,但这不禁让我想起了关于关于数学教育的一个问题:进行大量的解题训练是必要的吗? ▌合格的数学爱好者,首先要是一个解题高手不知道从什么时候起,批评各种解题训练(以「奥数」为典型),成了一种政治正确,好像不批评几句奥数就不是一个关爱学生的、有良心的长者。 我的同事就对解题训练非常不屑,他送孩子去上奥数班,却和老师打好招呼,不参加考试。 我对于奥数和应试教育不了解,专家们的批评大概是有理有据的,但这种风气也许不该刮到数学爱好者的圈子里,因为对于我们来说,夸夸其谈数学思想是更加容易的。 金庸小说里有一个厉害的角色叫「王语嫣」,每当别人用出一个招数,都能够头头是道的点评一番,比谁知道的都多,但却没有实际功夫。 3
当你听到诸如此类的批评时,应该要明确的意识到这种矫枉过正的风险。 你到底是要当王语嫣还是要当乔峰呢?换句话说,你到底是想当一个怎样的数学爱好者?是在酒桌上可以夸夸其谈的那种吗? 如果不是的话,那么这一周你做了几道题呢?
在我看来,合格的数学爱好者,当然要探寻数学思想,固然不应只是一个解题高手,但他必须首先要是一个解题高手 10,在此之前空谈数学思想是没有意义的,因为熟练才是创新的基础。 人的大脑就像一台计算机,有内存条(工作记忆 working memory)和硬盘(长期记忆 long-term memory),计算机的内存要比硬盘小得多,但是速度却快很多,所以计算工作只能在内存上进行,如果内存被占满了,那么运算的效率就会急剧下降,电脑就会变得很卡,无法操作。 大脑中的计算机也是一样的道理,思维只能在工作记忆中运行,认知心理学的研究表明,人的工作记忆最多只能有 7 条。 用尽浑身解数而不得解的时候,是工作记忆已经被占满了,皱起的眉头是大脑向你发出的警告。 这个时候你可能无奈的已经翻起了书,这就相当于在利用虚拟内存,翻了半天之后,终于找到之前那个例题了,终于松了一口气,赶紧复习一遍,把这个方法给用上去,与此同时,却发现旁边的那位已经把题做出来了。 好气啊!这家伙难道偷偷加了一个内存条吗? 并不是,工作记忆最多只有 7 条 2,但高手可能只用到 3 条就把问题解决了,另外的可以用来自由的发挥数学思想,用更有创造性的过程,更快的解决这个问题,而新手却不得其解。 根本原因在于大脑的「组块化」机制,虽然工作记忆的条数是被严格限制的,但是可以通过「封装」来绕过这个限制。 就拿学习开车来举例子吧,刚从驾校出来,第 1 次上路的时候,心里是非常紧张的,每一个操作在内心中都要默念一遍,生怕出错,最后还是发现忘记系安全带了,这个时候认知过载了;一年之,新手已经变成了一个老司机,这个时候熟练的上车,一切动作都自动完成,还能悠闲的点上一根烟,边抽边开。(这样会被处罚哦!) 内存条并没有增加,而是调用的机制改变了,「开车」这一系列动作被封装成了一个「组块」,这就是「组块化」。 而且这个机制并不是虚无缥缈的,通过大脑核磁共振可以发现,经过长期的训练,处理对应信息的大脑区域密度明显增高了,其实这是我们身体中的一种普遍的机制 —— 维持稳定。 你一定有过锻炼之后浑身酸痛的经历,这就是因为肌肉承受不住锻炼带来的损伤而出现了撕裂,而休息之后由于身体具有维持稳定的机制,被撕裂的肌肉会被重新修复,修复之后的肌肉纤维就比之前更加粗壮。 1 当你再看到数学高手时,先别急着去惊叹他的才华有多么不可思议。你应该想到的是,哇,这家伙的肌肉真强壮呀,他肯定下了不少苦功吧。而只不过他的肌肉在大脑里,你又没有透视眼,没法直接看得到而已。 ▲ 图自 pixabay 对于数学思想的领悟应诞生于熟练解题之后,就像「在写十四行诗时,如果每个单词都要查字典,那么这首诗将永远无法完成」。 引用一位数学老师的话:
▌为什么我痛恨高斯?小的时候,经常会被别人这样表扬「这么难的题,你还能做出来啊,真是聪明」,表扬带来的内心喜悦,今天想起来依然是挥之不去。 看数学书的时候,也会经常感慨数学家的智力是如何高超,几何原本就好像一台数学机器一样,定理到公理,一条条的铺好,分毫不差。 翻开数学天书中的一条条证明,你是否也曾掩卷长叹?我真的是没有做数学的天赋啊! 等等?!先别急,你是真的没有数学天赋吗? 「以大多数人的努力程度之低, 根本还轮不到拼天赋」,这句话谁不知道呀?可是数学题我就是不会做,你又作何解释呢? 在这里我要问一句?遇到一个百思不得其解的数学题,你是怎样的心情呢?是一点悲伤还是一点不知名的愁? 5 如果是,你的「固定型思维(fixed mindset)」已经害了你。 在认知心理学等社会科学领域,得出可靠结论是不容易的,因为变量太多,但这个结论却接受了双盲实验的考验: 「成长型思维(growth mindset)」比「固定性思维」更有利于学习和提升。 先不去争论是否存在天赋,或者说天赋对于人的影响到底有多么大,只是相信「任何事情都是一门技能,都可以通过努力得到提升」,学习成绩都可以得到提高。这已经得到了大规模对照研究的证实。 难道这不是常识吗? 并不是。虽然很多人表面上认同努力,而反对天赋论,但落到实际上却不是这样。 了解一个人,不应该看他说什么,而应该看他做什么,表面上说一套,实际上做另一套,这种事情也是时常发生的。 刚刚的那个问题就很典型,就算有很多人以为努力更重要,但他们做题的时候,仍然会为做不出来。认知和实践出现了断层,既然能力是靠练习提升的,「做不出题目」就算不需要高兴的大跳,起码也应该是平和的。 因为那就是练习的常态:对于一项技能的练习来说,只有存在困难才存在提升。如果你已经轻松的解决了练习题,这说明应该换到一个更难的地方。 就好像健身一样,锻炼完之后肌肉没有酸痛是不正常的,说明重量没加够。 儿时会经常的被表扬「聪明」,其实这也是一种「固定型思维」的灌输,表扬孩子的时候请告诉他:「你能做到这一点,真的是很努力啊~」。而不要说「你能做到这些真是聪明啊~」。后面那种表扬真是会害人的。 选一个好老师也是非常重要的。我说「在学术上成就斐然的教授,在教学上可能是一塌糊涂」,在教学上一塌糊涂的体现之一就是:总让你感觉到「哇,太厉害了」。 对于这一点,最令人印象深刻的案例莫过于「冯·诺依曼的微积分课」:
高斯是一个不世俗的数学天才,他的才华是毋庸置疑的,但我依然对他完全没有好感 9。因为我不是一个「王语嫣」,喜欢对各家各派的武功品头论足,我喜欢是真正能教给我武功的人,高斯是最杰出的数学家之一,但他可能不是个好老师。 当你阅读高斯的著作时,你只会惊叹于他的才华横溢,而对于具体的探索路径一无所知。
据说这是高斯最大的缺点,也正因如此,他与同时代数学家的关系都不怎么好。在这里我不想对高斯的动机作出其他的评价,但我们可以用脚投票去选择一位更好的老师:在数学圈里与高斯风格截然不同的就是——欧拉。 拉格朗日曾说「读读欧拉,他是所有人的老师」,连高斯也说,「读欧拉的作品乃是了解数学的最好途径」。 挑选教材最重要的是根据水平做出选择,但选择一位平易近人的作者也是不可忽视的。 真正的好老师应该让学生有这种感觉「这个老师是一个努力而有方法的普通人」,而不是「这个老师是个天才」。 ▌创造力与形式化能把数学讲得简明易懂,并不是一件容易的事情,高度形式化令人挠头的数学是长期发展的结果,那些复杂的概念并不是「大厦」,严丝合缝的一层一层搭建的,相反,往往是修修补补慢慢改出来的。
微积分学就是最典型的案例,从牛顿、莱布尼茨、欧拉时期,再到柯西、康托,后又到勒贝格,微积分学符号是越来越怪,外行是越来越看不懂。之所以这样,并不是数学家故意搞坏,只是因为在应用的过程中发现了问题,不断进行修补。
分析学的大厦是自下而上建立的,但教科书又不得不自上而下的去讲述,这就导致教科书的头几章常常是令人非常头痛,不知所云。 数学书不同于其他的书籍,最开始的囫囵吞枣和不求甚解,以及之后的反复阅读和温习,是非常有必要的。 依靠数学史的轨迹去学习数学,这种教学方式被称为「再创造」 12,这种方法的价值在于:兼顾了创造性和学习效率。 首先它并不是直接「学」,而是还原到当时的历史场景中去感受一个概念诞生的背景,「知其然,但也知其所以然」。其次也并不妄图从头创造一遍历史,那简直是痴人说梦 12。纵然站在历史的高点往前看,「再创造」也是极其困难的,到最后还是要学习前人发明的高效方法。虽然如此,但这个思考的过程中就已经收获了创新能力。 初学者很难在一开始就通过「再创造」的学习方法。首先,越是严肃的数学读物越需要坚实的数学知识,这对于初学者来说是不现实的;其次,特殊教科书为了数学的美感,会把很多重要的细节给丢失掉。
正因如此,优秀的导师是可遇不可求的,如果你遇到了一位,那就庆幸和珍惜吧。 ▌参考资料[ 1 ] 《刻意练习》 [ 2 ] 《科学学习》。「效率与创新」的图,摘自该书同名章节。 [ 3 ] 《高手:精英的见识和我们的时代》 [ 4 ] 《魔鬼数学:大数据时代,数学思维的力量》 [ 5 ] 改自《开场白》歌词 [ 6 ] 摘自小说《天龙八部》 [ 7 ] 《微积分之屠龙宝刀:笑傲极限、连续、导数、积分法》 [ 8 ] 《数学的源与流》 [ 9 ] Quoted in G F Simmons, Calculus Gems (New York 1992):He is like the fox, who effaces his tracks in the sand with his tail. [ 10 ] 改自《计算机科学反思录》 [ 11 ] 《一个数学家的辩白》 [ 12 ] 《数学教学理论选讲》:当然这并非让我们去机械的重复历史,但新一代不可能恰好从前人所终止的那一点上继续下去。 [ 13 ] 动图来自《学习观》 [ 14 ] 数学分析教材的配图来自:www.zhihu.com/question/24286040/answer/35220352 |
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