- | 锐角三角函数 | 任意角三角函数 | 图形 |
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| 正弦(sin) |
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| 余弦(cos) |
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| 正切(tan或tg) |
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| 余切(cot或ctg) |
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| 正割(sec) | secA=c/b |
| 余割(csc) | cscA=c/a |
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展开全部表格参考资料来源:现代汉语词典. 倒数关系:①;②;③ 商数关系:①;②. 平方关系:①②;③ 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及与的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值 (1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π+α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值。这样,就得到了诱导公式二。 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值。这样,就得到了诱导公式四。 诱导公式的应用: 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。 二角和差公式
证明如图:负号的情况只需要用-β代替β即可.cot(α+β)推导只需把角α对边设为1,过程与tan(α+β)相同.
三角和公式
口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦.
二倍角公式 三倍角公式
证明: sin3a =sin(a+2a) =sin2a·cosa+cos2a·sina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sina cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cosa-3cosa sin3a =3sina-4sina =4sina(3/4-sina) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina×2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]×2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a =4cosa-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°) =4cosa×2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]×{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得: tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a) 四倍角公式 sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sina-1)] cos4a=8cosa-8cosa+1 tan4a=(4tana-4tana)/(1-6tana+tana) 五倍角公式
n倍角公式 应用欧拉公式:. 上式用于求n倍角的三角函数时,可变形为: 所以 其中,Re表示取实数部分,Im表示取虚数部分.而 所以
(正负由所在的象限决定)
证明: 由于,显然,且 故有:
详见词条:正弦定理 在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R.则有: 正弦定理变形可得:
详见词条:余弦定理 对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC,有: 也可表示为:
sin²α=[1-cos(2α)]/2 cos²α=[1+cos(2α)]/2 tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)] c0+c1x+c2x+...+cnx+...=∑cnx (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)+...+cn(x-a)+...=∑cn(x-a) (n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数。 泰勒展开式又叫幂级数展开法 实用幂级数: e= 1+x+x/2!+x/3!+…+x/n!+…,x∈R ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)x/k, x∈(-1,1) sin x = x-x/3!+x/5!-…+(-1)x/(2k-1)!+…, x∈R cos x = 1-x/2!+x/4!-…+(-1)x/(2k)!+…, x∈R arcsin x = x + x/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)…+(2k+1)!!×x/(2k!!×(2k+1))+…, x∈(-1,1)(!!表示双阶乘) arccos x = π/2 -[x + x/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)……], x∈(-1,1) arctan x = x - x/3 + x/5 -…, x∈(-∞,1) sinh x = x+x/3!+x/5!+…+x/(2k-1)!+…, x∈R cosh x = 1+x/2!+x/4!+…+x/(2k)!+…, x∈R arcsinh x =x - x/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) -(1×3×5)x/(2×4×6×7)…, x∈(-1,1) arctanh x = x + x/3 + x/5 + …, x∈(-1,1) 在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。 tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 傅里叶级数又称三角级数 f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx 本词条内容贡献者为:郎奠波 - 副教授 - 黑龙江财经学院
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