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本文是笔者十几年数学竞赛教学的经验谈，笔者主要在中国教初高中阶段的数学竞赛，相当熟悉。也曾家教过几位美国和加拿大国家队队员，对美加体系有所了解。 名词解释： TST 选拔国家队的考试 USAMO 美国数学冬令营 TSTST/CMO/冬令营 选拔上述队伍的考试 IMOSL 国际数学奥林匹克的题库 题目分四个板块以数字标记难度 例如A1代表最简单的代数题 C9代表最难的组合题目，一般用这套编号来描述题目难度，即使不是IMO题目 写在前面的话：我执教以来，经常有人问我竞赛需要什么样的资质，每周应该学多久，应该看什么书，每次座谈会大家问的东西都非常的多，我前五年能答得上来，现在愈发感觉无法回答了。 一个小原因是：同样是问“怎样能学好数学竞赛”，其实大家的“学好”目标是完全不一样的。如果简单以考试来论，小奥和联赛一试只要花力气就能学好，联赛二试需要你有一定的智力和学习时间，从冬令营开始， 对创造性思维有极大的要求。 一般进入tst的学生不再局限于数学竞赛，而往往希望能学好高等数学，对数学有更深的理解，这就对抽象思维有很高的要求。 所以问的人目的不同，回答也不同。 更大的原因是：提问者的资质各不相同，而我现在观察到的能走通的学习道路实际上非常之多，已经不敢妄言了。我以前觉得有点笨/自觉性弱/创造力弱的学生拿不了imo金牌，十几年来都被一一打脸了。其实有个学生家长总结的很好,他采访了很多imo金牌的师兄师姐，每个人讲出来的学习经验方法都有挺大差异。（所以你可以看到我和我的学生的学习心得都是有冲突的 我现在的理解教育类似于园艺，先观察自己的素质，再根据目标做少量的修剪。比如一个直的树根，万万不要模仿上届冠军去扭成弯的，去找找直的成功案例，做少量调整就好：） 地球是圆的， 但对搞地理的人更精确的说法是地球是一个坑坑洼洼的椭球体。希望大家读完此文后能根据自己的情况对学习数学竞赛有一个更精确的认知，对自己有一个更好的定位。 基于以上原因， 全文目标定位是获取imo金牌，所选用的学生案例也全是imo金牌得主，（有一个imo银牌的例子）这样歧义和误解比较少，但是我想对学习数学竞赛的人（无论目标定位如何）应该都有帮助。 获取imo金牌最重要的素质？ 1兴趣/毅力 首先，兴趣是必须的，（十几个学生中我没观察到例外）数学竞赛不是必修科目，我也不理解没兴趣为什么要学。数学是一门很艰难需要高度主动思考的学科，没有兴趣几乎无可能在头昏脑胀之时去主动思考，这样日积月累，即使学生本身有极强的毅力，记住了大量的题目，仍然会缺乏创造力。体现在比赛上就是不会做新题难题，从USAMO/CMO开始就会遇到极大困难。 总的来说，兴趣是必须的。被迫学习一门需要高度自主性的学科无法成功。但是，兴趣是可以培养的，对于小的学生，兴趣来源越复杂，可能只是简单的好胜心/学习让我妈开心/求知欲。 好胜心强就多多考试，体验成就感。 懂事的孩子应该多跟他聊聊数学的应用和将来的规划。 求知欲强的孩子家里就应该多放书，上课要侧重启发性。（上完课之后，知道的和不知道的都增加了）我比较推崇从小就看看一些数学小册子，另外，高中的组合思考题目可以从很小开始做，激发兴趣也能开拓思维。 但是要牢记，学习的每一段时间驱动力可能互不相同，但一般随着孩子长大，会越来越独立越注意本身，越依赖于本身自发的兴趣。 毅力也是非常重要的。（有两个反例 这里有个误区是觉得有兴趣就能坚持学，不是这样的，有兴趣只是让你学习时多数时间比较快乐。 当你单纯从数学有趣进一步到“我要学好数学”这个目标时，你要制定计划，要完成一些任务，这都并不快乐。 做出一道难题是非常快乐的，但做不出不快乐。 还有后文提到的反复模拟考，做反直觉的题目，都很不快乐。 我有两个学生比较缺乏毅力：） 都属于有人监督愉快的做数学题，无人监督则专心玩游戏的类型。靠伟大的母亲从5-15岁监督学习，也都拿到了imo金牌。 我个人觉得比较理想的情况是孩子自己想学，自己制定学习计划，家长监督完成比较好一点，从初中到高中，逐步放手。 2聪明/悟性高（有两个反例） 我这里要严肃地指出，很多鸡汤都是瞎扯，聪明就是有巨大优势。自然规律并不主动迎合人类的政治正确。 做的比别人更快，解法更简洁更优雅，有大量原创的想法都算聪明的孩子。要单独指出的是，有一些孩子，解答非常繁杂反应看起来也很笨拙，然而思考的深度很深，提出的解答更具有一般性和可推广性，其实也是极为聪明的。 当然，在中国美国TST以及imo目前的赛制中，对后一类不太有利。（无论难题简单题一律7分，考试更侧重于技巧性而非一般性，美国的初阶段考试强调速度和准确性）所以后一类学生获得imo金牌普遍更晚。 聪明的孩子应该更早接受有难度的训练开发思维，要适当“跳级”，否则长期想一些简单问题反而变蠢了。另外值得一提的是这类学生因为难以融入同龄人圈子和思维能力太强经常出现心理问题。 一种是过于成熟，会提前有很多大学生的烦恼，要注意开解。 另一种是过于幼稚，这种往往是家里过于大包大揽，本身跟高年级学生在一起被过于迁就造成，我觉得要适当去参与社会活动。 悟性高的学生主要表现是学习理解总结能力强，这类学生首先学东西快，其次自己虽然缺乏原创性想法，但是可以跟人交流中学到大量原创想法并理解总结，自己也慢慢有很多想法。 这一类比较适合多学点知识开拓知识面，多跟同学交流。一定要注意培养成勤学好问爱交朋友的性格。我早年有一个学生悟性很高不过很羞涩，现在想想还是不太对。（其实对任何人交流想法都很重要） 天才学生一方面学得快，另一方面想法多，解TST/IMO中真正的难题优势很大。普通学生可能要做非常多的题目，并掌握极多的知识才能匹敌。 两个反例都是极为勤奋，做了无数的竞赛题目，提前学了大量的大学高等数学知识，在高三最后一年获得了imo金牌。 另外还有一个学生，只是零零散散地跟着我上了一年课，我个人觉感觉不是很聪明。但是据说从初一到高三，一大半时间都在全中国各地上课，也是高三最后一年拿了imo金牌。 剩下的都找不出共有的特点了：） 我个人觉得就中美选拔体制而言，心理素质相对比较重要。 如何选择合适的课程或书籍？ 现在的环境我不太推荐书，以前中国初次普及数学竞赛组织了大量数学教授写了很多不错的书。但是近年的书籍平均质量不佳，美国的情况也类似。当然如果你很会挑，有一些书还是很棒的。 书的另一个问题是时效性差，所以题典型的书最好不要看，知识性的书老旧一点可以接受。 几本经典的知识性的书至今仍然是优秀的数学书籍，不过作为竞赛书籍缺点是与现在的考试重点有一定偏差。 书还有一个问题是要遵守一定的规则，比如出一本imo问题集，则必然使用官方解答。而在我看来，官方解答追求严谨而忽略解释，并不适合中学生学习其中的思路。 总之，我只建议： 1买知识性的书，而且最好作为辅助教材或者字典使用。 2买趣味性的书 这里要单独提到一本书《陶哲轩教你学数学》 我觉得很有趣，我问了我几个得金牌的学生，他们也觉得很有趣，然而很多人觉得读不下去。我觉得这本书即使你觉得没趣也可以买，至少可以看看这个星球上最聪明的人（极大概率是）是怎么思考问题的，顺带搞明白绝世天才也是有思考过程的，并不是没有逻辑地疯狂跳步。 选课的话主要看学生自己的感觉，无论是喜欢老师还是喜欢周围的同学，都可以。 知识性的课，最低的听课标准是复习后可以复述所有知识点证出所有定理；好一点就是明白知识点之间的关联，知道大概怎么用；能举一反三去拓展定理的范围那是最棒的啦。 讲题目的课，最低标准是可以当天复习笔记后把多数例题证出。 另外，不宜做过难（自己独立思考难以有进展）的题。但是可以听一点过难的课。 听课比较理想的状态应该是比较有兴趣又有点难受，（头昏脑胀）听完后感觉会的和不会的都增加了。大脑总是在舒适区呆着难以进步。 各大竞赛考试的特点和准备工作？ 1有一定知识的学生准备联赛一试 amc和aime前半部分 对有一定水平的学生主要考察速度，正确率而非难度。严格按照考试时间模拟是非常有价值的，一定要卡表完全模拟考试时的紧张心态去反复练习，提升会很大。一般在会做的前提下经充分练习考试做出80%是不难的，再往后刻意练习提高的空间也不大。 2准备联赛二试，aime后半部分 这一部分考试主要是考察思维，但与后面考试不同的是他要求掌握的程度不高，考察很常规。 平时做题时注意多多总结常规套路就行，考试时把思维收束到一个比较常规的范围内（太特殊的套路肯定不是标答） 联赛二试很强调书写，多研究往年的评分标准很有意义。还有一点是注意改卷任务很重，所以书写过于注重严谨忽略可读性是不对的（多写注释分段提高可读性），平时多把自己的解答交换给水平相当的同学看看，保证到时候阅卷老师能读懂意义重大。 aime有点特殊是可以猜答案：） 时间不够了就多蒙吧。数学直觉好总能对几个，另外 aime后面题目难度增加很快，不用强求全做。 3准备冬令营/usamo考试（进入正经的竞赛了，前面都是热身玩票） 第一次进入这一阶段的学生是非常开心的。一方面，无论在中在美，升学问题解决了一半。另一方面，从这一段起的考试是只考察会不会，（考试时间长达270分钟）题目很灵活知识范围相对前一阶段大为扩大。 跟着老师好好学新增的知识，做真题，从最初学习时就注重难题，注意深度思考讨论就能有优势。（反之，长期训练难度过低没有做好铺垫此阶段就很痛苦了）从这次考试起主要考察实力和心态，临时准备的效果不佳。 如果这一阶段不觉得开心，基本不适合学数学，混个大学做别的会更有意义。 4能比较稳定做出冬令营/usamo4道题的学生冲刺国家队 终于到了我最喜欢的话题了。（奥林匹克就是要追求卓越啊！！！！！） 首先为啥没有imo呢，那是因为在强国进国家队比imo金可难多了，TST考题无论难度深度远超imo。（但是，考试是无常的，选出的金牌实力选手考imo失误也是常有的事，大家不要苛责） 为了说清怎么准备，首先要打个比方考试都考些什么。 最初你学了A,考试老老实实问A1-2 (联赛一试，amc） 后来你学了B，考试略有变化问B3-4（二试，aime） 再后来你学了C，考试问C5-9 （冬令营1245题） TST中每天第三题基本考D10,E8这种。。。。 完全不会做第三题能不能进国家队呢？理论上是能的，两国的TST把所有一二题都做出来分数足以进队。但是： 1人类是一定会失误的。我教了十几个imo金牌，没有不失误的。非我的学生里有一位韦东奕，他也并不是不失误，而是实力远远超出TST考试范围，拿了TST满分。（要注意，满分经常不是运气好，而是实力过强容错率高，想歪了一道题照样能用技巧手撕掉。） 2这样的选手很明显imo只能拿28分，在强国队伍里只能算不拖后腿，有的年份会被领队嫌弃。 3奥林匹克精神！！！ 回避难题不是我们的作风！学数学就是为了有突破有创造，在一些人人会做的问题上下功夫有什么意思！ （注：笔者的观点始终是学以致用，现在世界的趋势明显是有原创性想法的人极其有价值，而能跟着理解想法的人是不太稀缺的。） 那么怎样做出跨度这么大的第三题呢，三个方案： 1天才 这个世界上确实存在学了ABC就能举一反十做F9的人。 可惜这种天才我只见过4个，教过2个。如果有这种智力，一定要好好做数学推动整个人类文明地进步啊！ 2增加自己的知识储备，一般就是学微积分，复变函数，多项式，生成函数，组合数学，大学图论，概率论这些以求有额外的知识可用。一般到这个阶段大学都定好了，多学点高等数学很好的，也很有趣。（这个阶段一般看很多竞赛水题，已经完全没有乐趣了。） 3多多做各种新思路的题并总结，开阔你的思路，积累多了。一道F9可能结构类似D3， 构造类似D7，如果你深刻总结其共性，就能做出来。 这也符合一般的认知规律，类似的东西，越来越难的一些东西都深刻理解总结了，慢慢就能有所突破。 科学的进步也是如此，我读书时初看伽罗华理论，觉得这人匪夷所思异想天开。后来读书多了，明白他们那时也是大量的讨论班，想法从D1,D2.....然后伽罗华比较天才D10突破了一下变成E1。所以看到难题并不用灰心，慢慢积累慢慢思考就好。 一般就慢慢按上述2，3条做慢慢积累上几年可能就突破进队了。。。要反复指出的是会做第三题比只会做一二高好几个台阶，根本不属于同一个阶段，虽然可能都是IMO金牌。 5竞技心态培养 低年级的时候，学生基本属于玩票性质，考试也就随便考考，心态问题不大。但到高年级，一般学生已经投入了海量的时间和心血，而考试又往往与升学/荣誉相关，此时考试实力提升往往又到了瓶颈。（以IMO为例，3，6题往往比1，2，4，5难非常多，6题选手需要远强于4题选手的实力，还得预留出充足的时间）心态就变得很重要。 竞技心态培养主要是从小参加大量的竞技性考试（玩票不算），认认真真地去考，多多总结反思成功和失败的经验。 作为家长，在这个过程要扮演好成年人的角色，多多引导。 6最后要特别指出刻意准备考试的危害： 花费大量时间准备联赛amc时，实际上是在反反复复做一些自己完全会的问题，没有任何有难度思考，既磨灭思考水平也磨灭兴趣。我的建议是最好等到自己水平足够时，认真准备一次（以后不用再考了），这一次的成就感勉强可以追平兴趣的损失。 准备进国家队时，要花好几年反复做一些散乱在各个知识点的题目。当达到一定高度时，要刻意做一些非常反直觉的很难题目。我认为对兴趣非常不利，所以我建议尽量压缩这一阶段的时间，不要把战线拉得太长， 如果实在不想准备，提前去大学或者做一些别的事情都是很好的：） |
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