前言 PREFACE 姜姜老师 专注初中数学压轴 定时更新最干货的初中数学压轴题型讲解。如需要本堂内容的word电子版本,请添加微信:QGCZSXYZ(全国初中数学压轴) 河南中考数学作为统考的大省,也是中考人数最多的省份,竞争非常的激烈,相交于全国中考数学而言,河南的中考数学在选填压轴的线段求解过程中还是很有深度,包括线段求解,折叠为背景下的分类讨论,这个过程中需要运用的几何工具非常的重要,大家可以好好研究这几道题目,也是在全国引用非常高的题目。 实操真题讲解 1、(2020·河南)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为 1 . 【分析】 方法一:连接CH并延长交AD于P,连接PE,根据正方形的性质得到∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=2,根据全等三角形的性质得到PD=CF=√2,根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论. 方法二:设DF,CE交于O,根据正方形的性质得到∠B=∠DCF=90°,BC=CD=AB,根据线段中点的定义得到BE=CF,根据全等三角形的性质得到CE=DF,∠BCE=∠CDF,求得DF⊥CE,根据勾股定理得到CE=DF=√(2√2)²+√(√2)²=√10,点G,H分别是EC,FD的中点,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论. 【解答】 解:方法一:连接CH并延长交AD于P,连接PE, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=2√2, ∵E,F分别是边AB,BC的中点, ∴AE=CF=1/2×2√2=√2, ∵AD∥BC, ∴∠DPH=∠FCH, ∵∠DHP=∠FHC, ∵DH=FH, ∴△PDH≌△CFH(AAS), PD=CF=√2, ∴AP=AD﹣PD=√2, ∴PE=√AP²+√AE²=√(√2)²+√(√2)²=2, ∵点G,H分别是EC,FD的中点, ∴GH=1/2EP=1; 方法二:设DF,CE交于O, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD=AB, ∵点E,F分别是边AB,BC的中点, ∴BE=CF, ∴△CBE≌△DCF(SAS), ∴CE=DF,∠BCE=∠CDF, ∵∠CDF+∠CFD=90°, ∴∠BCE+∠CFD=90°, ∴∠COF=90°, ∴DF⊥CE, ∴CE=DF=√(2√2)²+√(√2)²=√10, ∵点G,H分别是EC,FD的中点, ∴CG=FH=√10/2, ∵∠DCF=90°,CO⊥DF, ∴∠DCO+∠FCO=∠DCO+∠CDO=90°, ∴∠FCO=∠CDO, ∵∠DCF=∠COF=90°, ∴△COF∽△DOC, ∴CF/DF=OF/CF, ∴CF²=OF·DF, ∴OF=CF²/DF=(√2)²/√10=√10/5, ∴OH=3√10/10,OD=4√10/5, ∵∠COF=∠COD=90°, ∴△COF∽△DOC, ∴OF/OC=OC/OD, ∴OC²=OF·OD, ∴OC=√(√10/5)×√(4√10/5)=2√10/5, ∴OG=CG﹣OC=√10/2﹣2√10/5=√10/10, ∴HG=√OG²+√OH²=√(1/10)+√(9/10)=1, 故答案为:1. 【点评】 本题考查了射影定理,勾股定理,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键. 2.(2019·河南)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3/5a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上,则a的值为 3/5或 √5/3. 【分析】 分两种情况:①点B′落在AD边上,根据矩形与折叠的性质易得AB=BE,即可求出a的值;②点B′落在CD边上,证明△ADB′∽△B′CE,根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值. 【解答】 解:分两种情况: ①当点B′落在AD边上时,如图1. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠B=90°, ∵将△ABE沿AE折叠,点B的对应点B′落在AD边上, ∴∠BAE=∠B′ AE=1/2∠BAD=45°, ∴AB=BE, ∴3/5a=1, ∴a=3/5; ②当点B′落在CD边上时,如图2. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=a. ∵将△ABE沿AE折叠,点B的对应点B′落在CD边上, ∴∠B=∠AB′E=90°,AB=AB′=1, EB=EB′=3/5a, ∴DB′=√B′A²-√AD²=√(1-a²), EC=BC﹣BE=a﹣3/5a=2/5a. 在△ADB′与△B′CE中, ∠B′AD=∠EB′C=90°-∠AB′D, ∴△ADB′∽△B′CE, ∴DB`/CE=AB`/B`E 即√(1-a²)/(2/5a)=1/(3/5a) 解得a1=√5/3,a2=-√5/3(舍去). 综上,所求a的值为5/3或√5/3. 故答案为5/3或√5/3. 【点评】 本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质.进行分类讨论与数形结合是解题的关键. 3.(2018·河南)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为4√3或4 . 【分析】 当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况: ①当∠A'EF=90°时,如图1,根据对称的性质和平行线可得:A'C=A'E=4,根据直角三角形斜边中线的性质得:BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的长; ②当∠A'FE=90°时,如图2,证明△ABC是等腰直角三角形,可得AB=AC=4. 【解答】 解:当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况: ①当∠A'EF=90°时,如图1, ∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称, ∴A'C=AC=4,∠ACB=∠A'CB, ∵点D,E分别为AC,BC的中点, ∴D、E是△ABC的中位线, ∴DE∥AB, ∴∠CDE=∠MAN=90°, ∴∠CDE=∠A'EF, ∴AC∥A'E, ∴∠ACB=∠A'EC, ∴∠A'CB=∠A'EC, ∴A'C=A'E=4, Rt△A'CB中,∵E是斜边BC的中点, ∴BC=2A'E=8, 由勾股定理得:AB²=BC²﹣AC², ∴AB=√8²-√4²=4√3; ②当∠A'FE=90°时,如图2, ∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°, ∴∠ABF=90°, ∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称, ∴∠ABC=∠CBA'=45°, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴AB=AC=4; 综上所述,AB的长为4√3或4; 故答案为:4√3或4; 【点评】 本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质,并利用分类讨论的思想解决问题. 4.(2018·河南)如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,点F为射线AD上一动点,△A′EF与△AEF关于EF所在直线对称,连接AC,分别交EA′、EF于点M、N,AB=2,AD=2.若△EMN与△AEF相似,则AF的长为 1或3 . 【分析】(分两种情形①当EM⊥AC时,△EMN∽△EAF.②当EN⊥AC时,△ENM∽△EAF,分别求解. 【解答】 解:①当EM⊥AC时,△EMN∽△EAF, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC=2,∠B=90°, ∴tan∠CAB=BC/AB=√3/3 ∴∠CAB=30°, ∴∠AEM=60°, ∴∠AEF=30°, ∴AF=AE·tan30°=√3·√3/3=1 ②当EN⊥AC时,△ENM∽△EAF, 可得AF=AE·tan60°=3, 故答案为1或3. 【点评】 本题考查翻折变换,矩形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 5.(2017·河南)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为1/2√2或1 【分析】 ①如图1,当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点,于是得到结论;②如图2,当∠MB′C=90°,推出△CMB′是等腰直角三角形,得到CM=√2MB′,列方程即可得到结论. 【解答】 解:①如图1, 当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点, ∴BM=1/2BC=1/2√2+1/2; ②如图2, 当∠MB′C=90°, ∵∠A=90°,AB=AC, ∴∠C=45°, ∴△CMB′是等腰直角三角形, ∴CM=√2MB′, ∵沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′, ∴BM=B′M, ∴CM=√2BM, ∵BC=√2+1, ∴CM+BM=√2BM+BM=√2+1, ∴BM=1, 综上所述,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为1/2√2+1/2或1, 故答案为:1/2√2+1/2或1. 【点评】 本题考查了翻折变换﹣折叠问题,等腰直角三角形的性质,正确的作出图形是解题的关键. 6.(2017·河南)如图,在等边三角形ABC中,AB=2cm,点M为边BC的中点,点N为边AB上的任意一点(不与点A,B重合),若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上,则BN的长为√3/2或√3cm. 【分析】 ①如图1,当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点,于是得到结论;②如图2,当∠MB′C=90°,推出△CMB′是等腰直角三角形,得到CM=√2MB′,列方程即可得到结论. 【分析】 如图1,当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时,于是得到MN⊥AB,BN=BN′,根据等边三角形的性质得到=AC=BC,∠ABC=60°,根据线段中点的定义得到BN=1/2BM=√3/2,如图2,当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A,C上时,则MN⊥BB′,四边形BMB′N是菱形,根据线段中点的定义即可得到结论. 【解答】 解:如图1,当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时, 则MN⊥AB,BN=BN′, ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC,∠ABC=60°, ∵点M为边BC的中点, ∴BM=1/2BC=1/2AB=√3, ∴BN=1/2BM=√3/2, 如图2,当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A,C上时, 则MN⊥BB′,四边形BMB′N是菱形, ∵∠ABC=60°,点M为边BC的中点, ∴BN=BM=1/2BC=1/2AB=√3, 故答案为:√3/2或√3. 【点评】 本题考查了轴对称的性质,等边三角形的性质,菱形的判定和性质,分类讨论是解题的关键. 7.(2016·河南)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为 3√2/2或3√5/5 . 【分析】 根据勾股定理,可得EB′,根据相似三角形的性质,可得EN的长,根据勾股定理,可得答案. 【解答】 解:如图, 由翻折的性质,得 AB=AB′,BE=B′E. ①当MB′=2,B′N=1时,设EN=x,得 B′E=√(x²+1). △B′EN∽△AB′M, EN/B`M=B`E/AB`,即x/2=√(x²+1)/3 x²=4/5 BE=B`E=√(4/5+1)=3√5/5 ②当MB′=1,B′N=2时,设EN=x,得 B′E=√(x²+2²), △B′EN∽△AB′M, EN/B`M=B`E/AB`,即x/1=√(x²+4)/3 解得x²=1/2,BE=B′E=√(1/2+4)=3√2/2, 故答案为:3√2/2或3√5/5. 【点评】 本题考查了翻折的性质,利用翻折的性质得出AB=AB′,BE=B′E是解题关键,又利用了相似三角形的性质,要分类讨论,以防遗漏. 姜姜老师基于之前发过的内容整理了一套《最全相似模型》专项习题突破的资料,后续内容也会持续输出,亲爱的同学们家长们可以持续关注! 有任何问题欢迎私信评论,姜姜老师将第一时间回复。 |
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