流体力学辅导教案

流体力学辅导教案

课程名称：流体力学

学时：36（适用于土木、环境工程）

教材：水力学，中国水利水电出版社，迟耀瑜，1999年12月版

参考书：1.水力学，人民教育出版社，清华大学水力学教研组编，1981年7月版

2.水力学，高等教育出版社，成都科技大学水力学教研室编，1983年6月第二版

水力学是一门技术基础课，也是水利工程、土木工程、环境工程、交通工程、建筑工程等专业的必修课程。学习水力学课程必须具备物理学、理论力学和材料力学等基础知识。通过本课程的学习，要求能掌握液体平衡和液体运动的基本概念、基本理论和分析方法，能正确区分不同水流的运动状态和特点，掌握水流运动的基本规律，能解决实际工程中有关管流和明渠流的常见水力学问题，为今后学习专业课程、从事专业技术工作打下良好的基础。

第一章　绪论

《绪论》部分授课学时为2个学时。

基本要求：①正确理解液体的五种主要物理性质，重点掌握粘滞性的有关概念。②弄清连续介质和理想流体的概念，了解作用于流体上的力的分类及其各种力的含义。

基本概念：⑴连续介质　⑵液体密度　⑶液体容重　⑷液体的粘滞性、运动粘度、动力粘度　⑸液体的压缩性、体积压缩系数、弹性系数　⑹液体的膨胀性、体积膨胀系数　⑺表面张力、毛细现象　⑻理想液体（非粘性液体）　⑼实际液体（粘性液体）　⑽表面力、压应力（压强）　⑾质量力（体积力）、单位质量力

重点掌握：⒈连续介质的概念　⒉液体的粘滞性　⒊液体的压缩性、液体的膨胀性概念　⒋表面力、质量力（体积力）、单位质量力的概念

基本内容：

水力学是研究液体的力学性质的一门科学。水力学的任务是研究液体的平衡和机械运动的规律及其实际应用。

水力学是力学的一个分支，水力学符合力学三大定律，即质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。从学科的角度来看，水力学是介乎基础科学和工程技术之间的一门技术科学。一方面根据基础科学中的普遍规律，结合水流特点，建立理论基础，同时又紧密联系工程实践，发展学科内容。

水静力学、水动力学

水力学所研究的基本规律，有两大主要组成部分。一是关于液体平衡的规律，它研究液体处于静止（或相对平衡）状态时，作用于液体上的种种力之间的关系，这一部分称为水静力学；二是关于运动的规律，它研究液体在运动状态时，作用于液体上的力与运动要素之间的关系，以及液体的运动特性与能量转换等等，这一部分称为水动力学。

研究对象

自然界的物质一般有三种存在形式，即固体、液体和气体。液体和气体统称为流体。固体由于其分子间距离很小，内聚力很大，所以它能保持固定的形状和体积。它能承受一定数量的拉力、压力和剪切力。而流体则不同，由于其分子间距离较大，内聚力很小，它几乎不能承受拉力，抵抗拉伸变形；在微小剪切力作用下，流体很容易发生变形或流动，所以流体不能保持固定的形状。

液体与气体两者相比，液体分子内聚力却又比气体大得多，因为液体分子间距离较小，密度较大，所以液体虽然不能保持固定的形状，但能保持比较固定的体积。一个盛有液体的容器，若其容积大于液体的体积时，液体就不会充满整个容器，而具有自由表面。气体不仅没有固定的形状，也没有固定的体积，极易膨胀和压缩，它可以任意扩散直到充满其所占据的有限空间。而液体的压缩性很小。气体和液体的主要区别就是它们的可压缩程度不同，但当气流速度远比音速为小的时候，在运动过程中其密度变化很小，气体也可视为不可压缩，此时水力学的基本原理也同样可适用于气流。水力学虽以水为主要研究对象，但其基本原理同样适用于一般常见的液体和可以忽略压缩性影响的气体。水力学的基本内容不但在水利建设方面有着广泛的应用，并且在许多国民经济部门，如城市建设及环境保护、机械制造、石油开采和输送、金属冶炼和化学工业等也都需要应用水力学知识。

第一节      液体基本特征及连续介质

液体基本特征

液体与固体的差异是几乎不能承受拉力，抵抗拉伸变形；在微小剪切力作用下，液体很容易发生变形或流动，或者说，静止液体不能抵抗剪切应力。所以液体不能保持固定的形状并具有流动性；液体能保持比较固定的体积并具有自由表面；液体的压缩性很小。

连续介质

液体的真实结构是由彼此之间有空隙并在进行复杂的运动的大量液体分子所组成的聚集态。由于水力学的任务并不是研究液体分子的运动，而是研究整个液流的宏观机械运动，因此在水力学中引入了连续介质的假定，即认为液体是由连续的液体质点所组成，这些液体质点完全充满所占空间，没有空隙存在，其物理性质和运动要素都是连续分布的。引入连续介质假定有两个目的：①能摆脱复杂的分子运动，而着眼于实际所关心的宏观机械运动，②能充分利用连续函数这一数学工具，对液体的运动规律进行理论分析。工程上所研究的液体尺度远比液体的分子尺度大得多，这一假设对大多数液流的情况是适用的。必须指出，当所研究的液体尺度接近分子尺度时，如很稀薄的气体，连续介质的假设便不能适用。

第二节      液体主要物理性质

惯性

惯性

惯性就是物体所具有的反抗改变原有运动状况的物理性质。液体同其他物体一样，也具有惯性。惯性的大小用质量来度量。当液体受外力作用使运动状态发生改变时，由于液体的惯性引起对外界抵抗的反作用力称为惯性力。设物体的质量为Ｍ，加速度为a，则惯性力为  Ｆ＝－Ｍa  式中负号表示惯性力的方向与物体的加速度方向相反。

密度

密度是指单位体积的液体所含有的质量。液体的密度常以符号ρ表示，若一均质液体质量为Ｍ，体积为Ｖ，则ρ＝Ｍ／Ｖ  当液体为非均质时，则某点密度

               

密度随温度和压强而变化，但在常温常压范围内变化不大。

万有引力特性

液体在地球引力场内受到引力作用，其重力Ｇ为：

      Ｇ＝Ｍg

式中，g为重力加速度，其值取9.80m/s²。

容重：单位体积的液重叫容重，以γ表示。

     γ＝Ｇ／Ｖ＝ρg

工程上常采用水的容重γ＝9.80kN/m³、水银容重γ_m=133.3kN/m³为其计算代表值。

粘滞性

粘滞性

我们知道，液体在静止时，不能承受剪切应力，一旦液体受到切力作用时，会不断发生切向变形而流动，此时液体会显示出抵抗切向变形的能力，也就是液体处于运动状态时，液体质点间存在着相对运动，则质点间就会产生内摩擦切应力与作用切力相抗衡，这一性质称为液体的粘滞性。此内摩擦力又称为液体的粘滞力

粘滞性主要来自液体分子间的内聚力，是质点间的一种内在联系，粘滞力阻滞质点间的相对位移，并使其流速分布具有连续性。并且液体在流动时，必须不断克服其内摩擦切应力而消耗自身的机械能，这一现象是水力学研究的重点。粘滞性大小因液体而异，水的粘滞性远小于甘油。

动力粘度

表示粘滞性大小的物理量，用动力粘度μ表示，单位为牛顿·秒/米^２（Ｎ·s/m²）。又N/m²称为帕斯卡，简称“帕”，以“Pa”表示，则Ｎ·s/m²亦可写作Pa·s，称为帕斯卡·秒或帕·秒。

运动粘度

水力学中通常以运动粘度ν来表示液体的粘滞性大小，它与μ的关系为：

    ν＝μ/ρ

式中ρ为液体的密度。ν的单位为m²/s，它是运动量纲，故称运动粘度。又0.0001m²/s=1cm²/s，称作1“斯托克斯”。

水的粘度随温度而变化，温度上升其粘度减小。

压缩性与膨胀性

压缩性

液体的体积因压强的变化而改变，称为压缩性。液体压缩性的大小可用体积压缩系数β_p或弹性系数k来表示，其定义为：

           或  　　

式中，dp为压强增量，dV/V为液体体积变化率，式中负号是为了使β_p为正值而加。10⁰C时，水的β_p=4.76×10^-10m²/N，即每增加一个大气压强其体积压缩率dV/V≈1/20000，这一数值很小，故一般情况下可以不考虑水的压缩性。

膨胀性

液体的体积因温度的变化而改变，称为膨胀性。液体的膨胀性可用体积膨胀系数β_t来表示：

   

式中dT为温度增量。在20⁰C常温下，水的β_t=150×10^-6(1/⁰C)，故通常亦不考虑其膨胀性。在供热系统中，因水温变幅较大，如水在80⁰C和100⁰C时与4⁰C相比，其密度（体积）的变化率-Δρ/ρ(=ΔV/V)分别为2.82%和4.16%，为防止胀裂容器或管道，应给膨胀水体以出路。

液体表面特性

液体与气体间的分界面，即液体的自由液面，其表面特性在某些情况下应予考虑。

表面张力

自由液面附近的液体受到来自气体和液体内部的引力，但液体一侧的引力较大，在引力差作用下，自由液面的液体呈现出收缩和承受张力的性质，即具有表面张力特性。也就是说，由于受内、外两侧分子引力不平衡，使自由液面上液体分子受有极其微小的拉力。表面张力只存在于液体的自由表面，液体内部并不存在。表面张力以表面张力系数σ表示，是指在自由面单位长度上所受拉力的数值，单位为N/m，其值与液体种类及温度有关。

毛细现象

液体与气体、固体交界处，在液体的附着力、内聚力和表面张力作用下，液体自由表面可以沿固体壁面上升或下降，呈现凹（凸）液面，由于这一现象在毛细管中特别明显，称毛细现象。下面给出20⁰C时水和水银在洁净玻璃毛管中的毛细管高度近似计算公式：

  水      h=29.8/d    (mm)

  水银    h_m=－10.15/d  (mm)

式中d为毛管内径，以mm计。对水和水银来说，当d>20mm和d>15mm时，其毛细管高度可以忽略不计。

汽化性

汽化：液态转化为汽态称为汽化。

蒸发：汽化在液体表面上发生时称为蒸发。

沸腾：汽化在液体内部发生时称为沸腾。沸腾时，液体内部产生许多小汽泡，从而破坏了液体的连续性。沸腾时的温度称为沸点，此时蒸汽压强称为饱和蒸汽压，以p_v表示。水在沸点100 ^０C时的饱和蒸气压为1个大气压，饱和蒸气压越低，水的沸点越低。

空化：水力学称沸点低于100⁰C时的沸腾为空化。

空穴：运动液体各点压强不同，有的部位压强可能大大低于大气压强，因而会在常温下发生空化。空化处发生大量气体（或蒸汽）空泡，这一现象称为空穴。所以空穴发生在水流低压区。

空蚀现象：在发生空穴处的下游高压区，往往因空泡的溃灭引起过流壁面的剥蚀破坏，即所谓空蚀现象。工程中均需采取各种措施来避免这一现象或破坏的发生。

第三节      非粘性液体

在研究液体运动规律时，一般仅须考虑其惯性、万有引力特性和粘滞性。但由于粘滞性所产生的内摩擦切应力，使水流受力变得复杂，许多情况下难以进行理论上的分析研究和求解，为此引入非粘性液体或理想液体的概念。

非粘性液体（理想液体）

非粘性液体是没有粘滞性的液体，但它仍保留使液体流速具有连续分布的性质。

粘性液体（实际液体）

相对地，称具有粘滞性的液体为粘性液体或实际液体。

第四节      作用于液体上的力

作用于液体上的力很多，按性质可分为重力、惯性力、弹性力、内摩擦力以及表面张力等。它们分别对液体运动规律有着不同的影响。这些力按其作用方式分为表面力和质量力两类。

一． 表面力

表面力：表面力连续作用于液体的表面，表面力又可分解成垂直和平行于作用面的压力和切力。表面力如边界对液体的反作用力，再如液体质点之间的作用力在作用面上的表现。

压强：单位面积上的压力称为压强，又称为压应力。以p表示。

切应力：单位面积上的切力称为切应力。以τ表示。

下面给出它们的定义，如图所示液体平面Ａ上作用着连续分布的压力，在Ａ上任取一微小面积ΔA，其上压力的合力为ΔP，则某点压强的定义为：

   

若用作用面上总压力比上作用面积，则为作用面上的平均压强p＝P／A

同理某点切应力的定义为：

   

作用面A上的平均切应力τ＝T/A

二． 质量力

质量力（体积力）

质量力连续作用于液体质点上，其值与液体的质量成正比，对均质液体其质量力与体积成正比，故又称为体积力。

设某液体的质量为Ｍ、质量力为Ｆ，则单位质量力f为：

    f＝F／M    (m/s²)

f的矢量式为：

     f＝Xi+Yj+Zk

式中，Ｘ、Ｙ、Ｚ为单位质量力在坐标x、y、z上的投影。其单位为m/s²与加速度单位相同。

第二章             水静力学

《水静力学》授课学时为4个学时。其中第一至第四节为2个学时，第六、第七节为2个学时，第五节、第八节不作要求。实验学时为2个学时，实验内容为静水压强实验。

基本要求：①了解静水压强特性，等压面，绝对压强与相对压强，水头与单位势能等基本概念。了解压强测量的基本方法和压强的各种表示方法。　②会使用重力作用下流体静压强的基本公式求解任意点的流体静压强。③能正确绘制静水压强分布图和压力体图，能利用该图或基本公式求解作用于平面上和曲面上的静水总压力的大小，方向及其作用点。

基本概念：⑴静水压强的特性　⑵等压面　⑶势函数、等势面　⑷绝对压强　⑸相对压强　⑹真空压强、真空度　⑺压力中心　⑻压力体

重点掌握：⒈静水压强的计算，静水压强分布图　⒉绝对压强、相对压强及真空压强的关系　⒊用等压面的概念计算压强或压强差　⒋平面静水总压力的计算（包括任意形状的平面用公式计算及矩形平面用图解法计算）　⒌压力体的概念及曲面静水总压力的计算

详细内容：

水静力学的定义：研究液体在静止状态下的力学规律及其应用。

静止液体的特点：静止液体不能承受切力，其质点间没有相对位移，故不显示粘滞性，也不存在切应力。仅有压强与外力相平衡。因此，在研究水静力学问题时，理想液体与实际液体都是一样的。

第一节  静水压强的特性

静止液体质点间相互作用着垂直并指向作用面的静水压强，且某点的压强值与方向无关。即：①静水压强方向垂直并指向作用面，②压强值与方向无关。

在静止液体中M点附近取微分四面体为脱离体，为方便起见，可取成如图形式，即三个正交面与坐标面平行，棱长分别为dx、dy、dz，ABC为任意方向倾斜面，其面积为dA_n，其外法线n的方向余弦cos(n,x)、cos(n,y)、cos(n,z)。微分四面体MABC上受力包括表面力和质量力，其表面上的压强各为p_x、p_y、p_z、p_n，表面力为
　　P_x=1/2·dydz·p_x，……P_n=p_ndA_n

P_n在x轴向的分量

P_nx=P_ncos(n,x)=p_ndA_n·cos(n,x)=1/2·dydz·p_n

微分体的质量力为F，在x、y、z轴上的投影分量为F_x、F_y、F_z，则

F_x=ρdV·X=1/6·ρX·dxdydz

由x方向平衡条件

　　　　P_x－P_nx＋F_x＝0

即　　　1/2·p_xdydz－1/2·p_ndydz＋1/6·ρdxdydz·X＝0

当dx、dy、dz→０时，忽略高阶微量，有p_x＝p_n。同理：p_y＝p_n，p_z＝p_n

此即表明，当四面体无限缩小至一点时，各方向的静水压强均相等。

第二节      静止液体平衡微分方程式

一． 静止液体平衡微分方程式

　　在静止液体中任取一微分正六面体，由x、y、z方向的平衡得

　　

　　

　　

二． 等压面

等压面：液体中各点压强相等的面为等压面。如自由液面和不同液体的分界面等皆为等压面。

等压面具有下列性质：

１．    等压面亦为等势面。

２．    等压面上各点质量力与等压面垂直正交。

第三节      重力作用下静水压强基本方程式

当液体为绝对静止时，其质量力仅为重力，这是工程中最常见的情况。其静水压强基本方程式如下：

式中 p₀为表面压强；h为某点在液面下淹没深度，简称水深。该式表明，静止液体某点压强为表面压强与该点以上液柱重量之和。

由基本方程式还可得出以下几点结论：

1.      表面压强变化Δp₀时，液体各点压强均相应变化Δp₀值，这一规律叫作帕斯卡原理。

2.      式中p₀及γ皆为常数，故p与水深h成线性关系。

3.      等压面为水平面。

4.      两点间压强差等于两点间垂直液柱重量，即：

                  p₁-p₂=γ(h₁-h₂)=γΔh

应当指出，在应用上述规律时，液体应满足均质和连续条件。另外，如液体表面为自由液面时，p₀往往等于大气压强p_a，一个工程大气压强p_a等于98.0kN/m²。

第四节      绝对压强、相对压强、真空压强及其量测

一． 绝对压强、相对压强、真空压强

绝对压强 某点实际压强叫作绝对压强。以p_abs表示，即p_abs＝p₀+γh₀

相对压强  某点绝对压强p_abs>p_a时，则定义该点的相对压强p_r ：p_r=p_abs-p_a  

当p_abs中p_a= p₀ 时，p_r=γh。

真空压强 某点绝对压强p_abs<p_a时，则定义该点的真空压强p_v为：

     p_v=p_a- p_abs

工程上常称p_v为真空或负压，亦常用真空度h_v来表示某点真空压强的大小。

 h_v=p_v/γm(液柱) 式中γ为液体的容重。当p_abs=0时，p_v具有最大值，其最大真空度

h_vmax=p_a/γ=10m(水柱)。

二． 压强的测量

1.      测压管

当某点p_abs>p_a时，可用一上端开口，下端与液体相通的竖直玻璃管测量压强，如图。该管称为测压管。在测压管内液体静止后，可量出测压管内水柱高度h_A，则Ａ点压强：

p_Aabs=p_a+γh_A  及p_Ar=γh_A

此方法只适用于Ａ点压强不太大的情况。

2.      Ｕ形测压计

当某点压强较大或出现真空时，可以用Ｕ形测压计测其压强。

3.      Ｕ形差压计

如需测两点间的压强差值，可用Ｕ形差压计来量测。

第五节      液体相对静止

不作要求

第六节      平面静水总压力

挡水建筑物在计算其稳定和强度及水工闸门启闭力时，需考虑作用在受压面上的静水总压力，该力具有大小、方向和作用点三要素。在计算静水总压力时，又将其分为平面和曲面两种情况。本节介绍平面静水总压力。

1.       平面静水总压力

１.   静水总压力Ｐ的大小和方向

设任意形状的平面A承受水压力，该平面与水平面夹角为α，为方便起见，选A平面的延展面与水面交线OE为x轴，A平面上与OE垂直的OF为y轴，为了计算P的大小，将面积A分为无限多个微小面积dA。对任意dA_i，设其形心处水深为h_i，则dA_i上静水总压力为dP_i=γh_idA_i，由于平面上dP_i各皆垂直于作用面，作用面为平面，故各dP_i为平行力系，可用积分法求作用面的合力P

 

又h_i=y_i sinα，则

此积分∫_A  y·dA在理论力学中学过，为面积A对OX轴的面积矩。

由理论力学知，∫_A  y·dA＝y_cA，即面积A对x轴的面积矩等于面积A的形心距x轴的距离与面积的乘积。则

　　　　P=γsinαy_cA=γh_cA 　或P=p_cA

由此可知，静水总压力Ｐ的大小为受压面形心处的静水压强p_c与受压面积A之乘积。方向必然与受压平面垂直正交。形心点压强，可理解为整个平面的平均静水压强。这样，P的大小、方向已确定，下面继续推求P的作用点。

２.    静水总压力的压力中心

静水总压力的作用点，在水力学中称为压力中心。推导如下，由力矩原理知，合力对任一轴的等于各分力对该轴力矩的代数和。按此原理，取合力P对x轴的力矩可求出作用点距x轴的距离，即压力中心的y坐标值y_D，对y轴取矩，得压力中心的x_D。先对x轴：那么合力P对x轴的力矩应等于各微分面积上的压力γh_idA_i对x轴的力矩和。

由理论力学，分子∫_Ay_i²dA_i为平面A对x轴的惯性矩，以I_x表示。根据移轴关系，有I_x=I_xc+y_c²A，其中I_xc为面积A对通过其形心且与x轴平行的轴（叫形心轴）的惯性矩。代入上式则

　　　　

压力中心处水深h_D＝y_Dsinα

由此可以看出，压力中心Ｄ位于形心Ｃ的下方。这是因压强上小下大分布不均所造成的。

由于工程上受压平面一般均为对称图形，静水压强分布沿纵向对称轴左右对称，故D点必落在纵向对称轴上，无须计算压力中心的x_D值。表2－1为常见受压平面图形。

2.       矩形平面静水总压力的图解法

由于矩形平面的形状规则，在水工一最为常见。计算矩形平面上所受的静水总压力较方便的方法是利用静水压强分布图。

１.   压强呈三角形分布情况

当矩形受压平面上端与水面接触时，其静水压强呈三角形分布，推导如下：设矩形宽度为b，长度为L，在矩形平面上任取一水平微分面积dA_i=bdL_i（微分条），其上静水总压力为dP_i=γh_idA_i，对其进行积分，有

　　

式中，Ω_x为三角形压强分布图面积，也为单位宽度上的静水总压力。总压力P的作用线通过压强分布图的形心。

由上式可知，静水总压力P为三角形压强分布图面积Ω_x与矩形宽度b乘积。即P=1/2·γbHL，压力中心为2L/3处（从上端量起），如矩形受压平面为铅垂时，Ｌ＝Ｈ，则P=γbH²/2及y_D=2H/3

２.   压强呈梯形分布情况

当矩形受压平面的压强呈梯形分布时，如图2－13，据上述概念可以求出Ｐ值和压力中心位置：其结论依然成立。即静水总压力大小为压强分布图的面积Ω_x与矩形宽度b乘积。P=bΩ_x＝γ（h₁+h₂）Lb，其作用线通过面积图的形心。

第七节         二向曲面静水总压力

工程上，受压曲面多为二向曲面，如弧形闸门或圆形容器等，本节仅介绍二向曲面静水总压力的计算方法。

如图为一宽度b的弧形闸门ＡB及其压强分布图。由于曲面上压强互不平行，故不能像平面问题直接积分求解，通常的做法是在曲面上取微分面积dA，在其上作用有dP＝γhdA，方向垂直dA面，对dP的投影进行积分，即可求出Ｐ的投影分力P_x、P_z，然后合成。推导如下，dP＝γhdA 其x轴方向（即水平方向）和y轴方向（即垂直方向）的投影分量为

dP_x＝γhdA·cosθ＝γhdA_x　　　　dP_z＝γhdA·sinθ＝γhdA_z　

dP_x、dP_z为平行力系，可积分求合力：

水平分力：

由上式可知，此积分意义为垂直矩形受压面A_x的静水总压力，即：

　　P_x=γh_cA_x     或P_x=bΩ_x(Ω_x为垂直面A_x上的压强分布图面积)

垂直分力：   或P_z=γV_z

可见在水平方向的分量Ｐ_x，其计算方法同前面的矩形平面，垂直方向分量Ｐ_z可用压力体求解。V_z=bΩ_z称为压力体，它是由二向曲面周边向上作铅垂面，与自由液面或其延长面所围成的体积。Ｐ_z等于压力体内液体的重量，其作用线通过压力体内液体的重心，对均质液体则通过其形心Ｃ。Ｐ_z的计算关键是如何确定压力体的面积Ω_z。

关于Ｐ_z的方向，由图可知，当压力体内无水（或压强与压力体在曲面AB两侧），称为正压力体，Ｐ_z方向向上；反之，称为负压力体，Ｐ_z向下。上述结论应与曲面上压强方向相联系来理解。

由Ｐ_x和Ｐ_z可以求出二向曲面静水总压力Ｐ的大小和方向：

    　　　　方向

式中α为P与水平线的夹角。

压力中心Ｄ点位置，可以通过Ｐ_x、Ｐ_z矢量合成求出Ｐ的作用线，该线与二向曲面的交点即为压力中心Ｄ。

第三章             水动力学理论基础

《水动力学理论基础》授课学时为6个学时，其中第一、二、三节为2个学时，第四、六、七节为2个学时，第八、九节为2个学时，第五节和第十节不作要求。实验学时为2个学时，实验内容为水流能量转换试验。

基本要求：①理解描述流体运动的两种方法，流线和迹线的概念，掌握恒定流与非恒定流、均匀流与非均匀流、渐变流与急变流的定义及其区别。　②熟练掌握连续方程，能量方程，动量方程的基本形式，物理意义和应用条件，能单独或联立上述方程分析和解决具体的流体力学问题。

基本概念：⑴拉格朗日法　⑵欧拉法　⑶时变加速度　⑷位移加速度　⑸恒定流、非恒定流　⑹一元、二元、三元流　⑺有压流、无压流、射流　⑻流线　⑼迹线　⑽流管　⑾元流　⑿总流　⒀过水断面　⒁湿周　水力半径⒂流量　⒃断面平均流速　⒄均匀流、非均匀流　⒅渐变流　⒆急变流　⒇位置水头、压力水头、流速水头、测压管水头、总水头、水头损失　(21)水力坡度

重点掌握：⒈欧拉法描述水流运动的思想，流线的概念　⒉恒定与非恒定流，均匀与非均匀流，有压流与无压流的概念　⒊熟练掌握恒定总流的三大方程式（质量、能量、动量），特别是能量方程式，是水流的能量守恒方程式，要彻底理解方程式中各项的水力学意义，即各种水头的水力学意义。

详细内容：

液体流动时质点间发生位移、液体变形，在克服内摩擦力的同时消耗自身的机械能。动水压强的性质和分布规律也与静水不同，就性质而言，动水压强的大小和方向有关，为简化和实用起见，水力学采用了平均值的概念，即以三个坐标方向压强的平均值作为该点动水压强，因此动水压强又与方向无关而具标量性质。

水动力学理论是研究液体运动要素之间的内在联系及其随时空变化的规律。

第一节         研究液体运动的两种方法

研究方法对液体运动规律的研究，是十分重要的。目前有两种研究方法，即拉格朗日法和欧拉法。

拉格朗日法

拉格朗日法是从研究每个液体质点运动规律出发，而获得液流总体的运动规律，此法为熟知的质点系法。

由拉格朗日法可以得出质点运动的迹线。

欧拉法

欧拉法是研究液体运动空间各点运动要素的变化规律，是通过研究运动要素场的变化来获得液体运动规律。

运动要素是坐标和时间的函数，以流速为例，若令x、y、z为常数，t为变数，则可求得在某一固定空间点上，液体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况；若令t为常数，x、y、z为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的液体质点的流速的分布情况。加速度应当是坐标和时间的复合函数

等号右侧第一项表示某点流速随时间的变化率，称为时变加速度；其他各项则表示因坐标位置的改变而产生的加速度，称为位移加速度，这表明某点的加速度是时变和位移加速度之和。注意，我们以前对加速度的概念没有位移加速度，因为我们以前研究的是质点或刚体的加速度，是与拉格朗日的概念相同；而我们现在是用欧拉法研究空间点的加速度。

第二节         液体运动微分方程式、连续性微分方程式

非粘性液体运动微分方程式

由水静力学知，当微分正六面体受力不平衡时，必然产生加速度，故推导的静止微分平衡方程式变为下列形式：

由y、z方向亦可例出类似方程。

粘性液体运动微分方程式

对粘性液体来说，作用在微分正六面体的力，除质量力和动水压强外，还应有内摩擦切应力。下面直接给出在不可压缩条件下，粘性（实际）液体的运动微分方程式，此方程式又称纳维－司托克斯方程。

液体运动连续性微分方程式

如要使方程式封闭，必须补充一个方程式。此方程式由质量守衡定律推出。取一微分正六面体，形心处流速u的投影为u_x、u_y、u_z。设流体为恒定不可压缩（ρ=常数），则在dt时段内流入和流出六面体的液体质量相等。

由此即可推出恒定不可压缩液体的连续性微分方程式。其方程为

第三节         液体运动的分类

恒定流与非恒定流

恒定流与非恒定流的区别，在于运动要素的变化是否与时间有关。

恒定流：运动要素均与时间无关，仅为坐标的函数。即公式中对时间求偏导的式子                 皆为零。

非恒定流：运动要素变化与时间有关。

一元、二元、三元流动

一元流：运动要素仅随一个坐标或流程Ｓ而变化时，称为一元流。如很长的管道中的水流。

二元流：运动要素为两个坐标的函数时，称为二元流或平面运动。如溢流坝的泄流，沿坝轴线方向运动要素不变。

三元流：运动要素为三个坐标的函数时，称为三元流或空间运动。

有压流、无压流和射流

有压流：水流过水断面周界全部为固体边界所限定时，称为有压流。如管流。

无压流：水流过水断面部分被固体边界所限，并且具有自由表面，这种情况称为无压流。如渠道水流。

射流：过水断面周界全部与液体（水或空气）相接触时称为射流。如高压水枪。

第四节         液体束状流动基本概念

流线

本章一开始，我们就讲了描述液体运动有两种不同的方法，即拉格朗日法和欧拉法。拉格朗日法是研究个别液体质点在不同时刻的运动情况，欧拉法是考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况，前者引出了迹线的概念，后者引出了流线的概念。

某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，即迹线就是液体质点运动时所走过的轨迹线。

按欧拉法，在流速场中任一点，如Ａ点可以引出一条代表各点流速方向的曲线，此线即为流线。流线与迹线不同，它是某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。所以流线表示出了瞬间的流动方向，或者说，在流线上某点的切线方向就是该点的流速方向。流线的确定方法如下：

设在某时刻t₁流场中有一点A₁，该点的流速向量为u₁如图，在这个向量上取与A_１相距为Δs₁的点A₂；在同一时刻，A₂点的流速向量设为u₂，在向量u₂上取与A₂点相距为Δs₂的点A₃；若该时刻A₃点的流速向量为u₃，在向量u₃上再取与A₃相距为Δs₃的点A₄，……如此继续，可以得出一条折线A₁、A₂、A₃、A₄……，若让所取各点距离Δs趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是t₁时刻通过空间点A₁的一条流线。同样，可以作出t₁时刻通过其他各点的流线，这样一族流线就反映了t₁时刻流场内的流动图象，如果水流为非恒定流，当时刻变为t₂时，又可以重新得到在t₂时刻的一族新的流线，反映流场流动图象的流线也就改变了。所以对于非恒定流，流线只具有瞬时的意义。

流线具有如下基本特征：

①恒定流时，流线的形状和位置不变，非恒定流时则与此相反。

②恒定流时流线与迹线重合。　解释如下：如图，假定A₁、A₂、A₃、A₄近似代表一条流线，在时刻t₁有一质点从A₁开始沿着u₁运动，t₂时刻到达A₂，但恒定流流线形状、位置均不改变，故质点到达A₂点后沿u₂方向运动，以此类推，质点沿着A₁、A₂、A₃、A₄运动，即沿着流线运动，故流线与迹线重合。

③流线为一条光滑曲线，它不能折曲、分叉或相交，否则有悖于流线的定义。

流管、元流和总流

流管：在流场中任取一微分面积dA，由面积dA的周边各点引出的流线形成一管状曲面，即为流管。

元流：充满流管的一束液流称为元流或微小流束。按照流线不能相交的特性，微小流束内的液体不会穿过流管的管壁向外流动，流管外的液体也不会穿过流管的管壁向流束内流动。由于微小流束的横断面积是很小的，因此元流过水断面上各运动要素的分布可看作是均匀的，所以元流是一维流动。

总流：水流的整体或全部元流的汇合称为总流。也就是说，一定大小尺寸的实际水流就是总流。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。

过水断面、湿周、水力半径、流量和平均流速

过水断面：与元流和总流流线垂直正交的断面称为过水断面，分别以dA和A表示其面积，称为过水断面面积。过水断面可为平面或曲面。当流线互相平行时，过水断面为平面，否则就为曲面。

湿周：过水断面周界上具有内摩擦力存在的部分称为湿周。通常仅考虑水流与固体接触的周界长度为湿周，以χ表示。所以，湿周就是在过水断面上水流与固体边界接触的长度。举例：

水力半径：过水断面与湿周之比称为水力半径，以Ｒ表示，即R=A/χ  水力半径的大小表示在过水断面相等条件下，湿周对水流阻力的影响程度。水力半径越大，相同过水断面下，周界对水流阻力越小。

流量及平均流速：

1.          流量指单位时间流过过水断面的液体体积，以Ｑ表示，常用单位为m³/s。

设在总流中任取一元流，其过水断面积为dA，其上各点流速可认为相同，设为u，因过水断面垂直于水流方向，故单位时间内通过过水断面dA的液体体积为：udA=dQ，dQ即为元流的流量。故总流流量应等于无限多个元流的流量之和，即总流流量为：　　　　　　　　　　      

2.      断面平均流速：计算总流的流量时需要知道断面的流速分布，而一般情况下流速分布都较复杂，难以积分，而且在实际应用中，有时并不一定需要知道流速分布，只要了解断面的平均流速，因此引入过水断面上流速的平均值概念，　其定义为  由此可得总流流量为：Q=Av

均匀流、渐变流和急变流

根据流线分布形状沿流程的变化，可以将水流分为均匀流和非均匀流。

均匀流：流线为相互平行的直线，它为水流运动最简单的情况。恒定流是相对于时间的概念，而均匀流是相对于空间的概念。直径不变的直线管道中水流就是典型的均匀流的例子。均匀流的主要特性为：

1.          过水断面为平面，其大小和形状沿流不变。

2.          过水断面上流速分布，同一条流线上各点的流速，以及断面平均流速均沿流不变。

3.          过水断面上动水压强的分布规律与静水压强的分布规律相同。即沿水深为直线分布。这一特性书上有证明。

非均匀流：与均匀流相对应，当水流的流线不是相互平行的直线时，即为非均匀流。对非均匀流来说，可以根据流线间夹角α和曲率半径R的大小，将非均匀流分为渐变流和急变流。

1.          渐变流：当流线间夹角很小、曲率半径很大时，称为渐变流。

2.      急变流：急变流与渐变流不同，流线间夹角大或者曲率半径小，在宏观上就是水流变化比较剧烈，此时水流位移加速度及其所产生的惯性力不能忽略，因而过水断面上动水压强不按静水压强规律分布。例如书中p.50图3—13。实际水流见图3—14。

第五节         系统、控制体及控制体方程

不要求

第六节         不可压缩、恒定总流连续方程式

液体运动必须遵循质量守恒的普遍规律，液流的连续性方程式就是质量守恒定律的一种特殊形式。现推导如下：

今在恒定流中取出一段微小流束来研究。令过水断面1—1的面积为dA₁，过水断面2—2的面积为dA₂，相应的流速为u₁与u₂ 如图。由于恒定流中微小流束的形状和尺寸是不随时间而改变的，且通过微小流束的侧壁没有液体流入或流出。有质量流人或流出的，只有两端过水断面。

在dt时段内，从1—1断面流入的液体质量为ρ₁u₁dA₁dt，从断面2—2流出的液体质量为ρ₂u₂dA₂dt。由于液体是不可压缩的连续介质，ρ₁=ρ₂=ρ，根据质量守恒定律，在dt时段内流入的质量应与流出质量相等，即：   ρu₁dA₁dt=ρu₂dA₂dt

化简得    u₁dA₁=u₂dA₂　　或写作　　dQ＝u₁dA₁=u₂dA₂   

上式就是不可压缩液体恒定一元流微小流束的连续性方程。若将上式对总流过水断面积分

　　　　得Q=A₁v₁=A₂v₂　即：Q₁=Q₂

上式就是恒定总流的连续性方程。式中v₁及v₂分别为总流过水断面A₁及A₂的断面平均流速。该式说明，在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面所通过的流量相等。也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流走多少流量。

将连续性方程移项，得    v₂/ v₁=A₁/A₂

上式说明，在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面，其平均流速的大小与过水断面面积成反比。断面大的地方流速小，断面小的地方流速大。

连续性方程是水力学上三大基本方程之一，是用以解决水力学问题的重要公式，它总结和反映了水流的过水断面面积与断面平均流速沿流程变化的规律性。

对于分叉的管流，以分叉处为结点，则流入结点和自结点流出的流量之和为零。即： 如图所示，

则其连续性方程为：Q₂+Q₃－Q₁=0

即　Q₁= Q₂+Q₃

或 v₁A₁=v₂A₂+v₃A₃

第七节         不可压缩恒定流能量方程式

能量方程是水流运动必须遵循的另一个最基本的方程。能量的转化与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律，水流能量方程则是这一普遍规律在水流运动中的具体表现。从质量守恒定律推出的连续方程固然是水流必须遵循的基本规律，但它只给出了流速和过水断面之间的关系，是一个运动学方程。由于水流运动的过程就是在一定条件下的能量转化过程，因此流速与其他因素之间的关系可以通过分析水流的能量关系得出。先从最简单的理想液体元流情况入手。

理想液体（非粘性液体）元流能量方程式

今在理想液体恒定流中取一微小流束，并截取1－1、2－2断面之间的ds流段来研究。流段ds可看做横截面积为dA的柱体。沿其轴向受力有

①   表面压力pdA  

②        重力 dG·cosθ=γdAds·cosθ

由牛顿第二定律：

式中θ为dG与ds的夹角。又cosθ=dz/ds，加速度对于恒定流，所以，代入方程中，并且两边同除以γdAds，得出单位液重的关系

   

化简得　　　　　即：

对微小流束上任意两个过水断面有：

液体中某一点处的几何高度z代表单位重量液体的位能，p/γ代表单位液重的压能。在运动的液体中，液体还存在动能1/2·mu²，单位液重的动能为u²/2g。三项能量之和为单位液重的机械能。

结论：在微小流束内，不可压缩理想液体恒定流情况下，单位液重的机械能沿流可以相互转化，但总量保持不变。

实际液体（粘性液体）元流能量方程式

对于实际液体，由于存在粘滞性，运动时产生内摩擦力，单位液重的液体，由1－1断面流至2－2断面，必须克服内摩擦阻力而作功，同时要消耗机械能为代价（变为热能等转换掉），因此实际粘性液体的机械能沿流并不守恒，而是沿程不断减少

即   

如将1－1、2－2断面间的机械能损失以h_w^’表示，则得出实际液体元流机械能平衡方程式：

实际液体总流能量方程式

上式是元流能量方程式，是微分的概念，而总流是由无限个元流组成的，对元流进行积分即可得出实际液体总流能量方程式。

设微小流束的流量为dQ，每秒钟通过微小流束任何过水断面的液体重量为γdQ，将各项乘以γdQ，则由原来单位液重的微小流束能量关系转变为实际重量微小流束的能量关系，将其分别在总流的两个过水断面A₁及A₂上积分，（dQ=u₁dA₁=u₂dA₂）即：

 

上式具有三种积分类型，下面分别讨论：

１.   第一类积分：

只有在所取断面上水流为均匀流或渐变流时，则在过水断面上z+p/γ为常数，积分才有可能。

所以   

２.   第二类积分：

它为每秒钟通过过水断面A的液体动能的总和。由于流速u分布复杂，无法积分，故采用断面平均流速v来代替u，由于u的立方和大于v的立方和，即：

  

故不能直接把动能积分符号内的u换成v，而应乘以修正系数α才能使之相等。即：

      

式中，称为动能修正系数，其值取决于过水断面流速分布，分布越均匀，α值越接近于1，在渐变流时，一般取为α＝1.05~1.10，为计算方便，常取为α≈1.0

３.   第三类积分

引入单位液重平均机械能损失h_w的概念，即：

       

则：    

将上述三类积分代入，两边同除以γQ，得单位液重的总流能量方程：　

此为单位液重总流能量方程式，又称伯努利（Bernoulli）方程，它在水力学中应用最为广泛。应用时必须注意满足下列条件：⑴恒定流　⑵不可压缩　⑶质量力仅为重力　⑷1－1、2－2过水断面应为均匀流或渐变流，但1－1、2－2断面之间可以是急变流。

总流能量方程与微小流束的能量方程相比，形式相同，但不同的是在总流能量方程中的动能项是用断面平均动能来表示的，而h_w则代表总流单位重量液体由一个断面流至另一断面的平均能量损失。

第八节         伯努利方程各项意义及图示

伯努利方程各项意义

恒定总流的能量方程也称为伯努利方程，它是能量守恒定律在水力学中的具体表现，是水力学的三大方程之一，在水力学应用非常广泛。下面对能量方程进行进一步的讨论。

１.    能量意义

z―对水平基准面0－0的位置势能，简称位能；

p/r－由于液体的压强产生的压力势能，简称压能；

 －由于液体的运动产生的动能；

h_w－由于液体的粘滞性，水流克服内摩擦力做功而产生的机械能损失。

又z+p/r－总势能。

以上各项都是对单位重量的液体而言的。

若令　 表示单位液重的总机械能,  则伯努利方程可简写为：E₁=E₂+h_w

２.    水力学意义

由于伯努利方程各项均为长度量纲，故可用高度表示其各项值的大小，称为水头。则

Z—位置水头（以基准面0—0为基准）

p/r—压力水头

h_w—水头损失

z+p/r—测压管水头

令    称为总水头，则伯努利方程可写成：

H₁=H₂+h_w

恒定总流能量方程的图示

由于水头的量纲为长度，故上式中各项水头的沿流变化，可用几何图形表示出来，通过基准面0－0、位置水头线（z－z）、测压管水头线（p－p）和总水头线（H－H）可以将各项水头或运动要素的沿流变化清晰地显示出来。对于非粘性液体而言，因为不存在水头损失，故其总水头线为一水平线；而实际液体的总水头线为一单调下降的空间曲线；测压管水头线和位置水头线，根据具体情况而定，可为升降曲线或直线。

为了研究水流内摩擦阻力或水头损失的规律，了解沿程哪些位置单位长度的水头损失大，对实际流体总水头线引入了水力坡度Ｊ的概念。其定义为：

式中dH为微分流段的总水头差。

水力坡度（比降）表示单位流程的水头损失，由于dH=H₂－H₁为负值，故在式前加负号使Ｊ为正值。

伯努利方程应用条件

在解决大量实际水力学问题中，广泛应用恒定总流能量方程式，从该方程的推导过程中可以看出，应用时应满足下列条件：

1.水流必须是恒定不可压缩的连续介质。

2.作用于液体上的质量力只有重力。

3.在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流条件，但在所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。

4.在所取的两过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。

为了在应用能量方程时使计算简便和不致发生错误，应注意以下几点：

1.首先选取基准面和两个过水断面，两个过水断面1－1、2－2断面必须选在渐变流位置上，基准面的选择是可以任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须选取同一基准面。一般基准面选在1－1、2－2断面的下方，使z为正，便于计算。

2.能量方程中p/r一项，可以用相对压强，也可以用绝对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。一般采用相对压强即可。

3.在计算过水断面的测压管水头z+p/r值时，可以选取过水断面上任意点来计算，因为在渐变流的同一过水断面上任何点的z+p/r值均相等，具体选择哪一点以计算方便为宜。一般管流可取管轴线，明渠流可取水流表面。

4.不同过水断面上的动能修正系数α_１与α_２严格讲来是不相等的，且不等于1，实用上对渐变流多数情况，可令α_１＝α_２＝１，但在某些特殊情况下，α值需根据具体情况酌定。

5.伯努利方程只能求解一个未知数，经常与连续方程联立求解。并且1－1、2－2过水断面应选取与所要解决问题相关的位置，并使方程中的未知数最少。（见习题3－2）

6.当流量较小或过水断面较大，此时平均流速v较小，故流速水头与其他两项能量之和相比，往往可以忽略不计。

流程中途有能量输入或输出时的能量方程

以上所推导的总流能量方程，是没有考虑到由1-1断面至2-2断面之间，中途有能量输入水流内部或从水流内部输出能量的情况。抽水管路系统中设置的抽水机，是通过水泵叶片转动向水流输入能量的典型例子。在水电站有压管路系统上所安装的水轮机，是通过水轮机叶片由水流中输出能量的典型例子。如果所选择的断面1-1与2-2之间有能量输入或输出时，其能量方程应表达为如下形式：

上式中Ｈ_m为1-1至2-2断面间，通过外加设备使单位重量液体所获得或减少的机械能。当输入能量时，式中Ｈ_m前符号取“＋”号，输出能量时取“－”号。

对水泵而言，Ｈ_m项应取“＋”号，单位时间内原动机给予水泵的功称为水泵的轴功率Ｎ_p。单位重量的水从水泵实际获得的能量是Ｈ_m，而每秒钏通过水泵的水流重量为γQ，所以水流在每秒钟内实际获得的总能量是γQＨ_m。考虑到水流通过水泵时有漏损和水头损失，水泵还有机械摩损，所以水泵所作的功多于水流实际获得的能量。用一个小于1的水泵效率η_p来反映这些影响，则原动机每秒钟给予水泵的功，也就是水泵的轴功率N_p是

N_p单位：牛·米／秒＝焦耳／秒＝瓦特（１马力＝735瓦）

对于水轮机而言，Ｈ_m项应取“－”号，由于水流要使水轮机转动，在水轮机进口处的总水头必大于出口处。Ｈ_m是单位重量的水给予水轮机的能量，也称为水轮机的作用水头。

水轮机的功率又称水轮机出力，它是水轮机主轴发出的功率。单位重量水流给予水轮机的能量是Ｈ_m，每秒钟通过水轮机的水的重量为γQ，每秒钟内水流输出的总能量是γQＨ_m。由于水轮机中同样有漏损、水头损失以及机械摩损，水轮机出力要小于水流给水轮机的功率。用小于1的水轮机效率η_t来反映各种损失的影响，则水轮机的功率N_t为

第九节         不可压缩、恒定总流动量方程式

除了前面提到的连续方程和能量方程之外，解决水力学问题还有另外一个重要方程即动量方程。它是自然界动量守恒定律在水流运动中的具体表现，反映了水流动力量变化与作用力之间的关系。

在恒定总流取一流段作为有限控制体，其表面由两端过水断面和总流流管组成。通过分析控制体的受力情况和动量变化情况，可得动量方程：

即：作用于控制体上液体外力的矢量和等于由控制体流出的动量与流入的动量差。此为矢量式，可沿x、y、z进行分解。

可以证明β≥0。对均匀、渐变流β=1.02~1.05。实际中可取为１。

应用动量方程时，应注意以下几点：

⑴控制体原则上可任意选取，但实际上应尽量使其两端过水断面为均匀渐变流，这样可使方程中减少未知数，有利于求解。

⑵选好坐标方向，注意确定式中各项的正负。

⑶动水压强应以相对压强值代入。

第四章             水流阻力及水头损失

《水流阻力与水头损失》授课学时为6个学时，其中第一、二、三节为2个学时，第四、第五节为2个学时，第六、第七节为2个学时，第八节不作要求。实验学时为2个学时，实验内容为雷诺实验（演示）和圆管阻力系数测定。

基本要求：①正确理解沿程水头损失和局部水头损失的物理概念、了解雷诺实验的意义、过程，层流和紊流的主要特征以及液流型态的判别方法。　②了解紊流形成的条件，雷诺数的物理意义以及尼古拉兹实验的整个过程。掌握沿程阻力系数在层流，紊流的光滑区，过渡粗糙和粗糙区中的函数关系。　③熟记谢才公式，曼宁公式，达西公式，以及局部水头损失的表达式及具体应用。

基本概念：⑴局部水头损失　⑵沿程水头损失　⑶层流　⑷紊流　雷诺数⑸牛顿流体与非牛顿流体　⑹附加切应力　⑺粘性底层　⑻粗糙度　⑼水力光滑区　⑽过渡粗糙区　⑾粗糙区　⑿沿程阻力系数　⒀局部阻力系数　⒁糙率　

重点掌握：⒈层流、紊流的特征及判别方法　⒉雷诺数的表达式及物理意义　⒊沿程阻力系数在层流区，紊流的光滑区，过渡粗糙区和粗糙区中的影响因素和变化规律。⒋掌握谢才公式和达西公式进行水力计算　⒌会进行沿程水头损失和局部水头损失的计算

详细内容：

上一章介绍了伯努利方程，了解到水流在运动过程中，要不断地克服内摩擦阻力而作功，消耗了自身机械能而产生了水头损失，液体的粘滞性是产生内摩擦阻力的根源，因此必须从内摩擦阻力出发去研究水头损失的规律。水头损失与液体的物理特性和边界特征均有密切关系。本章介绍水头损失的影响因素及其计算方法。

第一节　水头损失的两种规律

影响水头损失的因素有液体的物理特性和边界特征，举例如下：

液体在固体平面上流动，产生均匀流，（分理想液体与实际液体，从流速分布上解释）单位重量的液体自一断面流至另一断面所损失的机械能叫做该两断面之间的水头损失，这种水头损失是沿程都有并随沿程长度而增加的，所以叫做沿程水头损失，用h_f表示。

再举液体流经圆柱体的例子，（分理想液体与实际液体，从边界上的质点动能与压能转换上解释）。由于边界条件的局部改变，使流速大小和分布在局部范围内发生急剧变化，水流强烈混掺，往往伴随产生旋涡区，使内摩擦力增加，产生较大的能量损失，这种能量损失是发生在局部范围之内的，叫做局部水头损失，用h_j表示。

某一流段沿程水头损失与局部水头损失的和称为该流段的总水头损失。所以实际液体总流能量方程式中的总水头损失，可表示为：

　　

如果液流边界纵向轮廓不变时，就会产生均匀流。（提问）  由均匀流的特性可知：沿程各断面上流速分布及断面平均流速保持不变。所以，均匀流时只有沿程水头损失，而且沿程的水力坡度Ｊ不变，总水头损失应为一直线。又因各过水断面平均流速相等，所以各过水断面上的流速水头也相等。由此可知，均匀流时总水头线和测压管水头线是相互平行的直线。

非均匀流分为渐变流与急变流，渐变流近似于均匀流，急变流与均匀流不同，其沿程各过水断面上的流速及流速分布不相等，所以非均匀流单位长度上的水头损失即水力坡度Ｊ也不相等，总水头线和测压管水头线是互不平行的曲线。

我们把水头损失区分为沿程损失与局部损失，对液流本身来说，仅仅在于造成水头损失的外在原因有所不同，这两种水头损失在液流内部的物理作用方面没有任何本质上的区别，都是由于液体的粘滞性作用而引起的。因为沿程和局部阻力之间的范围往往难以划分，因此在不影响总水头损失h_w的前提下，假定局部水头损失发生在断面变化的部位上，例如管嘴出流……。水力学正是在此假定的基础上，对h_f和h_j的规律进行研究，以最终解决总水头损失h _w的计算。以下各节分别对h_f和h_j进行研究，并得出计算公式。

第二节　沿程水头损失与阻力的关系

为了建立沿程水头损失与水流阻力的关系，下面对恒定均匀流进行分析。注意：下面的分析对有压流和无压流均适用。现以有压管流为例，如图，任意取出一段总流来分析。设总流与水平面成一角度α，过水断面面积为A,1-1至2-2段长度为ι。令p₁、p₂分别表示作用于断面1-1及2-2的形心上的动水压强；z₁、z₂表示该两断面形心距基准面的高度。作用在该总流流段上有下列各力：

⑴动水压力：作用在断面1－1上的动水压力Ｐ_１＝Ａp₁，作用在断面2－2上的动水压力Ｐ_２＝Ａp_２；

⑵重力：Ｇ＝γＡι；

⑶摩擦阻力：由于所取的研究对象为一段总流，所以作用在各个流层之间的内摩擦力是成对地出现，彼此大小相等而方向相反，因此不必考虑。需要考虑的仅为不能抵消的总流与粘着在壁面上的液体质点之间的内摩擦力。令τ_０为总流边界上的平均切应力，则总摩擦力Ｔ＝ιχτ_０，式中χ为总流过水断面与壁面接触的周界线长，即湿周。

因为均匀流没有加速度，所以各作用力处于平衡状态，沿流动方向的平衡方程式为：

　　

即：　　

又sinα=(z₁-z₂)/l 代入并两边同除以γA   得：

       

即：　　       或

此式为总流为均匀流时边壁切应力与水头损失的关系。对于圆管，R=r₀/2

故      τ₀＝1/2γr₀ J

液流各流层之间均有内摩擦切应力τ存在，在均匀流中任意取一流束按上述同样方法可得：

τ₀＝1/2γr J

经过许多水力学家试验研究，发现τ₀与下列各因素有关：断面平均流速v、水力半径Ｒ、液体的密度ρ，流体的动力粘滞系数μ及粗糙表面的凸出高度Δ，可用π定理推出：

式中λ为沿程阻力系数，将此式代入上式并化简：

　　

对于圆管，则有

　　

上两式称为沿程水头损失公式，又称达西公式。

第三节　层、紊流态及其判别

一、层、紊流态及其对沿程水头损失的影响

实际液体的流动由于粘滞性的存在而具有两种不同的型态，1885年雷诺通过试验深入地提示了这两种流动型态不同的本质。

雷诺试验见书：

使水箱的水位保持固定，管内水流为恒定流。当阀门微微开启，水就经玻璃管中流出，如将注入颜色水的阀门部分开启，则可以看到玻璃管的水流中出现一条固定而明显的着色直线，这说明流动中的质点互不混掺。将阀门逐渐开大，玻璃管中的流速也随之增加，当流速增大到某一数值后，着色直线开始颤动，发生弯曲，线条逐渐加粗，最后颜色水扩散，使全部水流着色，这说明此时流体质点互相混掺。

上述试验说明，同一液体，同一管道，因流速的不同而形成两种性质不同的流动型态。在前一种流动里，液体质点作有条不紊的线状运动，彼此不相混掺，这种流动型态叫做层流。在后一种流动里，液体质点在沿管轴方向运动过程中互相混掺，这种流动型态叫做紊流。（紊流流态从每个质点的运动轨迹来看都是曲折杂乱的，似乎没有什么规律性，但总体来说还是沿管轴向前流动。）上面的实验并不只限于圆管，流动的液体也并不只限于水，因此可以得出下述结论：任何实际流体的流动都具有两种流动型态，即层流和紊流。

紊流因质点横向混掺发生动量交换，因而产生附加内摩擦切应力，使其阻力和水头损失规律不同于层流。为了研究不同的流态水头损失的规律，可以在雷诺试验的玻璃管上取两个断面1-1及2-2，在其上各安一根测压管，则可测出断面1-1至2-2间的水头差。因z₁=z₂，及，由能量方程得：

　　

这就是说，两根测压管中的水柱差即为断面1-1至2-2的沿程水头损失。

据雷诺试验的结果，液流型态不同，沿程水头损失的规律也不同。若以lgv为横轴，以  lgh_f为纵轴，将试验数据绘出。相应于液体运动型态转变时的流速叫做临界流速。若试验时流速自小变大，则层流维持至Ｃ点才能转变为紊流。Ｃ点所对应的流速叫上临界流速v_k^’ 。若试验自相反程序进行，则紊流维持至Ｂ点才转变为层流，Ｂ点所对应的流速叫做下临界流速v_k。据试验结果：层流时水头损失与流速成正比。紊流时则水头损失                     随流速v的增大而有所变化，其值由1.75逐渐增至2.0。

由上可知，为了正确计算沿程损失，应首先对其流态进行判别，不同的流态有不同的规律。

二、临界雷诺数及流态判别

我们称流态转变时的流速为临界流速，由层流向紊流转变和由紊流向层流转变时的临界流速是不同的，前者较大，称上临界流速，以v_K^’表示；后者较小，称下临界流速，以v_K表示。实际上水流总是受到各种因素的扰动，因而下临界流 速具有判别流态的实用价值。

雷诺试验的结果，发现临界流速与液体的密度ρ、动力粘滞系数μ及水力半径R都有密切关系，经量纲分析得出：

式中C是无量纲常数。由于临界流速v_K是随水力半径等因素而变化的，用常数C作为判别标准则更为简便，为此以临界雷诺数Re_K代替C。临界雷诺数

   

通过试验，得出均匀流时的临界雷诺数为：Re_K=580。

设水流实际雷诺数为Re，则当Re≤580时，为层流；当Re>580时，为紊流。

   上面的判别标准，对有压、无压均匀流都适用。对于圆管流，由于R=d/4，因而有压管流的实际雷诺数可表示为

因而圆管的临界雷诺数为Red_K=2320。

三、雷诺数的意义

    雷诺数为何能起到判别流态的作用，这应从层、紊流态质点受力情况来分析。控制质点作层、紊运动的力主要有两个，即惯性力和粘滞力，惯性力具有产生紊动的能力，粘滞力具有限制紊动的能力，而雷诺数本身正是反映过水断面水流的惯性力和粘滞力之比，当比值大到一定程度时，惯性力使质点能够克服粘滞力的束缚，由层流转变为紊流。下面对通过量纲分析对雷诺数的物理意义进行定性分析。

水流惯性力F＝m·a，量纲为[LT^-2M]＝[ρL⁴T^-2]；粘滞力

　　

其量纲为［μL²T^-1］，则

 

    式中量纲式与雷诺数的相同，其中L为过水断面特征长度，通常采用水力半径R或直径d。

    雷诺数在水力学中具有重要作用，雷诺数的大小不仅能判别流态，而且能反映水流层、紊的程度。

第四节  层流阻力及水头损失

一、层流阻力

牛顿于1686年提出了二元均匀层流的内摩擦定律：

　　

流层间内摩擦切应力成对出现，大小相等方向相反，分别作用于相邻的流层上，流速较大的流层受到与其流速反向的切应力作用，流速较小的流层则与此相反。

不同性质的液体，其流变曲线不同，即流速梯度与切应力的关系不同。当流速梯度与切应力成正比时，这种液体统称为牛顿流体。否则称为非牛顿流体。水力学主要研究牛顿流体。

二、圆管均匀层流及水头损失

因液体的附着作用，使管壁处流速为零(壁面无滑动条件)，液体距边壁愈远，其流速愈大，至管轴处达到最大值。由牛顿内摩擦定律知：

　　

将τ＝1/2γrJ代入，化简后进行积分，得

　　　　

由边界条件：当r＝r₀时，u_x＝0，代入上式可求出积分常数c，再回代得

　　　　

u_x为圆管层流过水断面的流速分布，可见其为对称于轴线的抛物线分布，当r＝0时，即在管的轴线处流速最大。当流速分布已知后，即可求Q、v、α、β等。U_x中包含J，即h_f，通过求断面平均流速v，即可求得h_f。

第五节  紊流特征及其阻力

一、紊流发生的机理

由雷诺试验可知，层流与紊流的主要区别在于紊流时各流层之间液体质点有不断地互相混掺作用而层流则无。

由于液体的粘滞性和边界面的滞水作用，液流过水断面上的流速分布总是不均匀的，因此相邻各流层之间的液体质点就有相对运动发生，使各流层之间产生内摩擦切应力。对于某—选定的流层来说，流速较大的邻层加于它的切应力是顺流向的，流速较小的邻层加于它的切应力是逆流向的，因此该选定的流层所承受的切应力，有构成力矩，使流层发生旋转的倾向。由于外界的微小干扰或来流中残存的扰动，该流层将不可避免地出现局部性的波动，随同这种波动而来的是局部流速和压强的重新调整。波峰附近由于发生流线间距变化，在波峰上面，微小流束过水断面变小，流速变大，根据伯诺里方程，压强要降低；而波峰下面，微小流束过水断面增大，流速变小，压强增大。在波谷附近流速和压强也有相应的变化，但与波峰处的情况相反。这样就使发生微小波动的流层各段承受不同方向的横向压力P。显然，这种横向压力将使波峰愈凸，波谷愈凹，促使波幅更加增大。波幅增大到一定程度以后，由于横向压力与切应力的综合作用，使液层发生卷曲，最后，使波峰与波谷重叠，形成涡体。涡体就是由许多大小不等的共同旋转的质点群所组成的。涡体的形成是混掺作用产生的根源。涡体形成以后，涡体旋转方向与水流流速方向一致的一边流速变大，相反一边流速变小。流速大的一边压强小，流速小的一边压强大，这样就使涡体上下两边产生压差，形成作用于涡体的升力。(飞机能飞就是此原理)这种升力就有可能推动涡体脱离原流层而掺入流速较高的邻层，从而扰动邻层进一步产生新的涡体。如此发展下去，层流即转化为紊流。

涡体形成并不一定就能形成紊流。一方面因为涡体由于惯性有保持其本身运动的倾向，另一方面因为液体是有粘滞性的，粘滞作用又要约束涡体的运动，所以涡体能否脱离原流层而掺入邻层，就要看惯性作用与粘滞作用两者的对比关系。只有当惯性作用与粘滞作用相比强大到一定程度时，才可能形成紊流。

边壁附近，因流速梯度较大，以及边壁粗糙的扰动成为涡体的发源地，紊流最先由此发生。

二、紊流特征

1．运动要素的脉动。

紊流的基本特征是许多大小不等的涡体相互混掺着前进，它们的位置、形态、流速都在时刻不断地变化着。因此当一系列参差不齐的涡体连续通过流场中一定点时，必然会反映出这一定点上的瞬时运动要素随时间发生波动的现象，这种现象就叫做运动要素的脉动。

以流速为例，根据欧拉法，若在恒定流中选定某一空间定点，观察液体质点通过该点的运动状态，则在该定点上，不同时刻就有不同液体质点通过，各质点通过时的流速方向及大小都是不同的。某一瞬间通过该定点的流体质点的流速称为该定点的瞬时流速。试验研究的结果表明：瞬时流速虽有变化，但在足够长的时间过程中，它的时间平均值是不变的。

紊流时各运动要素时间平均值的这种规律性的存在，对紊流的研究带来很大的方便。只要建立了时间平均的概念，则我们以前所提到的分析水流运动规律的方法，对紊流的运动仍可适用。

瞬时流速与时间平均流速之差叫做脉动流速，用v^’表示，即v^’＝u－

这样，我们就可把瞬时流速看成是由时间平均流速与脉动流速两部分所组成的,即

　　　u＝＋v^’

而脉动值心的时间平均总是等于零的。其他运动要素如动水压强也可用同样方法来表示。

2．产生附加切应力

我们知道，在层流运动中由于流层间的相对运动所引起的粘滞切应力，由牛顿内摩擦定律计算。但紊流运动则不同，各流层间除有相对运动外，还有横向的质点交换。因此，紊流切应力的计算，应引用时间平均的概念，把紊流运动中两流层之间的时均切应力看作是由两部分所组成：第一部分为由相邻两流层间时间平均流速相对运动所产生的粘滞切应力₁；第二部分为纯粹由脉动流速所产生的附加切应力₂。所以紊流总切应力为＝₁＋₂。

3．存在粘性底层

在紊流中，紧靠固体边界附近的地方，因脉动流速很小，由脉动流速产生的附加切应力也很小，而流速梯度却很大，所以粘滞切应力起主导作用，其流态基本上属层流。因此紊流中并不是整个液流都是紊流，在紧靠固体边界表面有一层极薄的层流层存在，该层流层叫粘性底层。粘性底层虽然很薄，但它的存在对水流阻力或水头损失规律却有较大的影响，因此必须求出粘性底层的厚度δ₀的变化规律。计算公式为

　　

在求出粘性底层厚度的基础上，可将其对阻力的影响机理进行分析。水流边壁表面是粗糙不平的，可用粗糙度Δ反映。即壁面的凸起高度。壁面粗糙有自然粗糙和人工粗糙两种，自然粗糙壁面的凸起高度和分布是随机的，通常用统计平均值或其他方法(如当量法)求其粗糙度Δ，人工粗糙壁面，壁面上粘结的砂粒直径即为其粗糙度Δ。

粗糙度的存在会干扰水流，增加水流的阻力，但因粘性底层的存在，会在不同程度上掩盖或降低壁画粗糙的摩阻作用。由于粘性底层厚度δ₀随Re而变化，故对某一粗糙度而言，其掩盖程度一般可能存在三种情况(即分三个区)：

(1)水力光滑壁画(水力光滑区) Δ／δ₀<0.4

粘性底层将Δ对水流的扰动作用完全掩盖，水流像在光滑壁面上流过一样，因而称为水力光滑壁面(区)，此时阻力或水头损失与粗糙度Δ无关。

(2)过渡粗糙壁面(过渡粗糙区)0.4<Δ／δ₀<6

粘性底层部分掩盖Δ对水流的扰动，故称为过渡粗糙壁面(区)。

此区阻力或水头损失与壁面粗糙度有关。

(3)粗糙壁面(粗糙区) Δ／δ₀>6

粘性底层很薄已不起掩盖壁面粗糙的作用，粗糙度A对水流的扰动达到充分程度，故为粗糙壁面(区)。

4．流速分布均匀化

紊流中由于液体质点相互混掺，互相碰撞，因而产生了液体内部各质点间的动量传递，动量大的质点将动量传给动量小的质点，动量小的质点影响动量大的质点，结果造成断面流速分布的均匀化。均匀紊流的流速分布可用指数或对数式来表达。

目前，对流速分布公式尚无纯理论。尼库拉兹采用管壁贴均匀砂的办法，进行试验给出了结果，这里就不介绍了。

由此可知，紊流时过水断面上的流速分布比层流时按抛物线分布要均匀得多。

第六节  沿程阻力系数入的规律

为了探求紊流的沿程阻力系数λ的规律，水力学者们进行了大量试验研究，其中，尼库拉兹对人工粗糙的管道的研究结果，被广泛用于工程实践。下面介绍其试验结果。

一、管道人工粗糙试验研究

尼库拉兹用不同粒径的人工砂粘贴在不同直径的管道的内壁上，用不同的流速进行试验，砂粒直径Δ与管道直径d的比值Δ／d称为相对粗糙度。尼库拉兹采用了六种不同的相对粗糙度进行了试验，试验资料绘制成曲线如图4-16(P97)。

由图可以看出，，根据λ的变化可以分为四种规律或变化区，其中层流一种，紊流三种。

1．层流区(Red<2000)

λ与Δ／d无关，而与Red呈直线I的关系，即我们所知道的由于λ式中含有Red的因子，故此区沿程水头损失与流速v成正比。

2．紊流区(Red>4000)

Red>4000时，水流进入充分紊流状态，此后δ₀因Red的增大而变薄，从而使λ出现三种规律：

(1)水力光滑区；该区各种不同相对粗糙度的λ均沿图中直线段Ⅱ变化，这表明λ仍与Δ／d无关，只与Red相关，此区λ的规律可用经验公式表达。式中含有Red的0.25次方的因子，故该区沿程水头损失与流速的1.75次方成正比。由图可以看出，当相对粗糙度Δ／d较大时，如1／30，1／61.2时，曲线几乎没有Ⅱ区。

(2)过渡粗糙区：该区λ按图中Ⅲ区的规律变化，即。

(3)粗糙区：该区λ按Ⅳ区的规律变化，不同相对粗糙度的λ均沿水平线变化，与Red无关。由于λ中不含Red因子，故沿程水头损失与流速的平方成正比，所以该区又称阻力平方区。

对明渠均匀流，沿程阻力系数λ的规律与管流的基本一致。

二、工程原型观测研究

1769年谢才分析了明渠实测资料后提出了谢才公式。

　　

C为谢才系数， R水力半径，J水力坡度。由于明渠一般均为阻力平方区，谢才公式为经验公式，其谢才系数是由阻力平方区的试验资料获得的。故谢才公式适用于该区。

计算谢才系数的经验公式很多，我们只介绍常用的两个。

1．  曼宁公式

　　

式中n为壁面的粗糙系数，简称糙率，n值由表4—1选取。

2．  巴甫洛夫斯基公式：

　　

y用4―39或4―40式计算。

最后指出，在应用谢才公式及计算谢才系数C时，其中长度单位均以m计。

三、当量粗糙与糙率

在计算阻力系数λ及谢才系数C时，总要涉及粗糙度Δ和糙率n。对壁面自然粗糙的度量，水力学采用当量粗糙的概念，即在阻力平方区条件下，管径相同的自然与人工粗糙具有相同的λ值时，则人工粗糙度Δ作为自然粗糙的当量粗糙。

糙率n为表征边界表面影响水流阻力的种种因素的一个综合系数，其概念不如绝对粗糙度那样单纯而明确。在实际工程中所遇到的情况往往非常复杂，如管道有新有旧，有生锈的有清洁的。天然河道的变化更为复杂，即使在同一断面上，河滩与河槽的土壤性质及颗粒大小也不相同，草木生长的情况更是千变万化，而且河槽形态对粗糙系数也有一定的影响。所以要选择完全符合实际情况的n值是很困难的。虽然如此，至今对粗糙系数n值的选择已积累了比较丰富的实测资料，而对当量粗糙度Δ的选择困难更大，所以计算沿程水头损失时，在水利工程上仍广泛采用包含有n值的曼宁公式或巴甫洛夫斯基公式。

糙率n值选取时应十分慎重，因为糙率n值对流量及水头损失的影响比较敏感，选择不当将会对工程造成浪费或发生事故。

第七节  局部水头损失

实际管道往往是由许多管段组成，有时各段管径并不一样，在各管段之间也用各种型式的管件来联接，如弯管、渐变管等；直段上还可能装置有阀门。在渠道中也常有弯道、渐变段、拦污栅等。这样，水流在流动过程中，流向或过水断面有所改变，则水流内部各质点的流速、压强也都要改变，即水流内部结构在发生改变。同时水流内部机械能也在转化，即势能与动能互相转化并伴有能量损失。所以当液体流经这些部位时都要产生局部水头损失。

局部水头损失的计算，应用理论来解是有很大困难的，主要是因为在急变流情况下，作用在固体边界上的动水压强不好确定。目前只有少数几种情况可以用理论来作近似分析，大多数情况还只能用实验方法来解决。

局部水头损失通常都可以用一个系数和流速水头的乘积来表示：

　　

式中局部水头损失系数ξ值可由试验测定，v为发生局部水头损失以后(或以前)的断面平均流速。，在查资料时应特别注意，某些资料在给出ξ值时常注明相应的流速的位置。

第五章  有压管中的恒定流

《有压管中的恒定流》授课学时为4个学时，其中第三节为2个学时，第四、五节为2个学时，第一节、第二节和第六节不作要求。

基本要求：①理解简单管道，复杂管道，自由出流，淹没出流，短管、长管等概念。　②能够使用简单管道水力计算的基本公式求解各类有压管的水力学问题。

基本概念：⑴短管路　⑵长管路　⑶自由出流　⑷淹没出流　⑸简单管路　⑹复杂管路　⑺串联管路　⑻并联管路　⑼流量模数

重点掌握：⒈弄清短管路和长管路的概念，会进行短管路和长管路的水力计算

详细内容：

在以上各章中讨论了液体运动的基本规律，导出了水力学中的三个基本方程——连续方程、能量方程及动量方程，并阐述了水头损失的计算方法。应用这些基本原理即可研究解决工程中常见的许多水力计算问题，如有压管中的恒定流、明渠恒定流及水工建筑物的水力计算等。本章介绍有压管中恒定流的水力计算。

第一节       薄壁圆形小孔口出流

不作要求

第二节　管嘴出流

不作要求

第三节　短管路水力计算

工程实践中为了输送液体，常须设置各种有压管道如水电站的压力引水隧洞和压力钢管、水库的有压泄洪隧洞或泄水管、供给工农业和生活用水的水泵装置系统及给水管网、虹吸管以及输送石油的管道等。这类管道的整个断面均被液体所充满，断面的周界就是湿周；所以管道周界上的各点均受到液体压强的作用，因此称为有压管道。有压管道断面上各点的压强，一般不等于大气压强。

若有压管中液体的运动要素不随时间而变，称为有压管中的恒定流；若任一运动要素随时间而变，则称为有压管中的非恒定流。

有压管道水力计算的主要内容之一是确定水头损失。水头损失包括沿程水头损失及局部水头损失两种。通常根据这两种水头损失在总损失中所占比重的大小，而将管道分为长管及短管两类：长管是指水头损失以沿程水头损失为主，其局部损失和流速水头在总损失中所占的比重很小，计算时可以忽略不计的管道；短管是局部损失及流速水头在总损失中占有相当的比重(例如，局部损失及流速水头大于沿程损失的5%)，计算时不能忽略的管道。水泵的吸水管、虹吸管、混凝土坝内的压力泄水管都应按短管计算；只有长度较大而局部损失较小的管道才能按长管计算。

实际工程中的管道，根据其布置情况可分为简单管道与复杂管道。复杂管道又可分为串联管道、并联管道及分叉管道。简单管道是最常见的，也是复杂管道的基本组成部分，其水力计算方法是各种管道水力计算的基础。

所谓简单管道是指管道直径不变且无分支的管道。

简单管道的水力计算可分为自由出流和淹没出流两种情况。管道出口水流流入大气，水股四周都受大气压强的作用，称为自由出流管道。当出口的下游水位高于出口时，出口水流受到下游水位的顶托，即下游水位对出口水流产生影响，使出流量减少。这种管道出流称为淹没出流。下面首先讨论一下自由出流的情况。

一、自由出流

如图5-3为一简单管道和水池相接，末端流入大气。若以通过出口中心高程的水平面为基准面，在水池中离管道进口一定距离处取断面1－1(该断面符合渐变流条件)，及管道出口断面2—2；对1—1和2—2断面建立能量方程

  由

故　　　　　　　　　　　　　　　(5-1)

式中：v为管道内断面平均流速；

 v₀为水池中的流速，称为行近流速；

 H为管道出口断面中心与水池水面的高差，称为管道的水头；

 H₀为包括行近流速水头在内的总水头。（图5－3印刷有误，H、H₀应为从水面到基准面的高差）。

5-1式表明，管道的总水头将全部消耗于管道的水头损失和保持出口的动能。

因为沿程损失　

局部损失

为管路中各局部水头损失系数的总和；

故(5－1)式可改为：

取α₂=1

则可得管中流速　　　　　　(5-2)

通过管道的流量                  (5-3)

式中：A为管道的过水断面面积；

　称为管道系统的流量系数。

行近流速水头一般很小，可以忽略不计。此时公式(5－3)可写作

                                     (5-4)

二、淹没出流

管道出口如果淹没在水下，便称淹没出流。

取上游水池断面1—1和下游水池断面2—2(两处均符合渐变流条件)，并以下游水池的水面作为基准面列出能量方程式

式中，z为上下游水面差。

相对于管道过水断面积来说，A₂一般都很大，所以可忽略不计，则

     即         (5-5)

上式表明，管道在淹没出流的情况下，其包括行近流速的上下游水位差z₀完全消耗于沿程损失及局部损失。

因为

将代入5-5式、整理后得管内平均流速

若管道的过水断面积为A，则通过的流量为

式中，μ_c称为管道系统的流量系数。

当行近流速水头可以略去时，则流量公式变为

                                  5-6

比较5-6式与5-4式可以看出：淹没出流时的有效水头是上下游水位差z，自由出流时是出口中心以上的水头H；其次，两种情况下流量系数μ_c的计算公式形式上虽然不同，但数值是相等的。因为淹没出流时，μ_c计算公式的分母上虽然较自由出流时少了一项α_２(取α_２＝1)，但前者的中比后者的中多一个出口局部损失系数ξ_０，在出口系流入水池的情况下ξ_０＝1。故其他条件相同时两者的μ_c值实际上是相等的。

在以上的讨论中同时考虑了管道的沿程水头损失及局部水头损失，这是按短管计算的情况。

三．水头线及测压管水头线的绘制

在已知管流各断面的z、p/γ和αv²/2g的情况下，可以绘制1-1，2-2断面间的水头线和测压管水头线。

管轴线各点总水头为

管轴线各点测压管水头

绘制时通常采用相对压强。

四．短管路的水力计算问题 

对于恒定流，有压管道的水力计算主要有下列几种：

1. 输水能力计算。当管道布置、断面尺寸及作用水头已知时，要求确定管道通过的流量。

2. 当已知管道尺寸和输水能力时，计算水头损失；即要求确定通过一定流量时所必须的水头。

3. 管线布置已定，当要求输送一定流量时，确定所需的断面尺寸(圆形管道即确定管道直径)。这时可能出现下述两种情况：

1. 管道的输水能力Q、管长l及管道的总水头H均已确定。

在这种情况下，管道的直径是一个确定的数值，完全由水力学要求而定。

公式中的流量系数μ_c与管径有关。因此，在确定管道的直径时必须采用试算法。即先假定一个直径求μ_c，再按公式计算d，当假设值与计算所得值相等时即为所求。

2. 管道的输水量Q及管长l已知，要求选定所需的管径及相应的水头。

在这种情况下，一般是从技术和经济条件综合考虑选定管道直径：

(i)管道使用的技术要求。流量一定的条件下，管径的大小与流速有关。若管内流速过大，会由于水击作用(将在十章中讨论)而使管道遭到破坏；对水流中挟带泥沙的管道，流速又不宜过小，以免泥沙沉积。一般情况下，水电站引水管中流速不宜超过5－6米／秒；给水管道中的流速不应大于2.5－3.0米／秒，不应小于0.25米／秒。

(ⅱ)管道的经济效益。若采用的管径较小，则管道造价低；但流速增大，水头损失增大，抽水耗费的电能也增加。反之，若采用较大的直径，则管内流速小．水头损失减小，运转费用也减小；但管道的造价增高。重要的管道，应选择几个方案进行技术经济比较，使管道投资与运转费用的总和最小，这样的流速称为经济流速，其相应的管径称为经济管径。

一般的给水管道，d为100~200毫米，经济流速为0.6~1.0米/秒；d为200~400毫米，经济流速为1.0~1.4米/秒。水电站压力隧洞的经济流速约为2.5~3.5米/秒；压力钢管约为3~4米/秒，甚至5~6米/秒。经济流速涉及的因素较多，比较复杂，选用时应注意因时因地而异。

当根据技术要求及经济条件选定管道的流速后，管道直径即可求得。管道直径确定后，即可求得通过已知流量所需的水头。

４. 对一个已知管道尺寸、水头和流量的管道，要求确定管道各断面压强的大小。

第四节       长管路水力计算

长管路是指局部水头损失和流速水头在总水头中可以忽略不计的情况，这时长管路总水头线与测压管水头线重合。

一．简单管路

水利工程中的有压输水管道，水流一般属于紊流的水力粗糙区，其水头损失可直接按谢才公式计算。用λ＝8g/c²代入达西公式，则

令  得  　　　　　　(5-7)

或                         (5-8)

由上式可以看出，当水力坡度J＝1时，Q＝K，故K具有与流量相同的量纲，在水力学中K称为流量模数或特性流量。它综合反映管道断面形状、尺寸及边壁粗糙对输水能力的影响。水力坡度J相同时，输水能力与流量模数成正比。粗糙系数n为定值的圆管，K值为管径的函数。

在给水管道的计算中，常采用比阻S代替流量模数K进行计算，其关系为S=1/K²

则

给水管道中的水流，一般流速不太大，可能属于紊流的粗糙区或过渡粗糙区。可以近似认为当v＜1．2米／秒时，管流属于过渡粗糙区。故当按常用的经验公式计算谢才系数C，并代入(5－7)式求h_f时，应在右端乘以修正系数k，即

      或

修正系数k值

从上述可知，管道水力计算的主要问题之一是水头损失的确定，而水头损失与液流型态有关，不同的流态，有不同的阻力系数。所以，在作有压管道的水力计算时，应先按第三章的内容判别流态和流区，然后选用相应的公式计算阻力系数λ。

还应当指出，本章所述的长管及短管是相对于局部损失在总损失中的比重而言，不能简单地用管道的绝对长度来判别。当管道中存在引起较大局部损失的管件(如部分开启的阀门、喷嘴、底阀等)时，即使管道很长，局部损失也不能略去，即必须按短管计算。所以，当没有把握证明局部损失的影响很小时，都应按短管计算。但对于管道长度很大，沿程损失己消耗了总水头的95%以上的管道，略去局部损失和流速水头可使计算工作大大简化，对计算结果又没有多大影响。这时按长管计算当然是有利的。

串联管道的水力计算

由直径不同的几段管道依次连接而成的管道，称为串联管道。工程中在保证流量的前提下，为了充分利用水头和节约材料，往往采用串联管道。串联管道内的流量可以是沿程不变的，也可以由于沿管道每隔一定距离有流量分出，从而各段有不同流量。因为各管段的流量Q、直径d不同，所以各管段中的流速也不同。这时，整个管道的水头损失应等于各管段水头损失之和。给水工程中，串联管道常按长管计算。则得

  

式中：Q₁、Q₂、…为各管段所通过的流量；l₁、l₂、…为各管段长度；K₁、K₂、…为各管段的流量模数。

在各管段的联接点水流应符合连续原理

    Q₁=Q₂+q₁

    Q₂=Q₃+q₂

…………

上两式是串联管道水力计算的基本公式。联立以上两式，即可解算Q、d、H等各类问题。

在按长管计算的情况下，各管段的测压管水头线与总水头线相重合；整个管道的水头线呈折线形。这是由于各管段流速不同，其水头线的坡度也各不相同。

水利工程中的有压输水隧洞或某些管道，因结构或其它方面的要求，各段有不同的断面尺寸，但整个管道的流量沿程不变，也属于串联管道。当管道长度不很大，局部损失不能略去时，应按短管计算。

  并联管道的水力计算

凡是两条或两条以上的管道从同一点分叉而又在另一点汇合所组成的管道称为并联管道。并联管道一般按长管计算。

例如，在A、B两点间有三管并联、设各管管径为d_l、d₂、d₃，通过流量分别为Q₁、Q₂、Q₃。管道的A、B两点是A、B间各支管所共有的，如在A、B两点设置测压管，显然每根测压管只能有一个水面高程。所以，单位重量液体通过AB间任何一条管道，从A到B的能量损失都是相同的。若以h_f1、h_f2、h_f3分别表示各管的沿程水头损失，则当不计局部损失时应有

各支管的水头损失可按谢才公式计算

　　　

各支管的流量与总流量间应满足连续方程

Q=Q₁+Q₂+Q₃

若总流量Q及各并联支管的直径、长度和粗糙系数为已知，利用上述方程式可求出Q₁、Q₂、Q₃和水头损失h_f。

必须指出：各并联支管的水头损失相等，只表明通过每一并联支管的单位重量液体的机械能损失相等；但各支管的长度、直径及粗糙系数可能不同，因此通过流量也不同；故通过各并联支管水流的总机械能损失是不等的，流量大的，总机械能损失大。

  沿程均匀泄流管道的水力计算

前面讨论的管道其流量在每一管段范围内均沿程不变，流量集中在管段末端泄出，这种流量称为通过流量。但在实际工程上可能遇到从侧面不断连续泄流的管道，例如用于人工降雨的管道；给水工程中冷却塔的配水管；滤池的反冲洗管等。沿程连续不断分泄出的流量称为沿程泄出流量，单位是米^３/秒－米。一般说来，沿程泄出的流量是不均匀的，也就是说，流量沿管道的变化是一个以距离为变效的复杂函数。这里我们只研究一种最简单的情况，就是管段各单位长度上的沿程泄出流量相等，这种管道称为沿程均匀泄流管道。

设管道AB长为l、水头为H，管道末端流出的通过流量为Q。单位长度上沿程泄出流量为q。在离起点A距离为x的M点断面处，流量为

Q_x=Q+(l-x)q

由于流量沿管道不断变化，水流属变量流而且是非均匀流，但在微小流段d_s内，可以认为流量不变，并当作均匀流考虑。于是在d_s管段内的沿程水头损失为

   

将微小流段的水头损失对整个管道进行积分，即得全管道AB的沿程水头损失

   

上式可近似地写为

式中：，Q_r称为折算流量。Q_T=Q+0.55ql

从上式可见，引用Q_r进行计算时，便可把沿程均匀泄流的管道按一般只有通过流量的管道计算。

当通过流量Q=0时，沿程均匀泄流的水头损失为

 

上式表明，当流量全部沿程均匀泄出时，其水头损失只等于全部流量集中在末端泄出时的水头损失的三分之一。

在沿程均匀泄流的情况下，因流速沿程变化，水力坡度J也沿程变化。

第五节       管网水力计算基础

在给水供热等管路系统中，为了供给更多地区或用户，通常将许多管路组合成管网。给水工程按管线布置方式，分为支状管网与环状管网两种，枝状管网的管长相对较短，建筑费用低，环状管网具有供水可靠性高，不因某管段发生事故而停水，故城市供水多用环状管网。下面分别就支状管网与环状管网的水力计算进行讨论。

一．    支状管网

支状管网的水力计算主要是在满足各种要求下，确定各管段直径和水塔的高度或水泵扬程。

对于给水管网的新建和扩建两种情况，在水力计算中稍有不同，分别介绍。

１．新建管网

在设计新管网时，水塔高度一般都尚未确定，故首先根据供水区域各处用水要求及地形、建筑物布置等条件，布置管线，确定各管段长度，各管端点供水流量，从而计算各管段需通过的流量。同时按满足供水端点如消防、楼房、扩建等所要求的自由水头(即供水末端压强水头的余量)进行干管的设计。从水塔至枝状管网任一末稍供水点，均为一串联管路，一般取由水塔至最远点通过流量最大的管线作为干管，并常把水头要求最高、通过流量最大的点称为控制点或最不利点。所以也可说按最不利点进行水力设计。干管是由通过不同流量的管段串联而成的管道，它的流量从水塔起随过各个分支点而递减。各管段应有的直径通常根据流量按经济流速计算。经济流速的选定常需作技术经济比较。在给定流量下，直径大，费管材；直径小，流速大，水头损失大，使水泵扬程与水塔高度相应增大，抽水功率增大，经常运转费用增加，但管路造价可以降低。使供水成本最小的流速称为经济流速。在水电站的引水管道中，流速一般不超过5～6m／s，一般给水管道，如直径d=100～400mm的中、小管径，经济流速v_e=0.6～0.9m／s，大管径d>400mm的水管，v_e=0.9～1.4m／s。v_e应随时根据市场价格情况进行调整。经济流速确定后，通过连续方程可以求得与经济流速相应的管径d。

对于重要的大型管道，有时要仔细地进行技术经济比较，在技术上要考虑不能因流速过大而导致过大的水击压强(在下一章有压管道的非恒定流动中讨论)，以免引起管件的破坏；对有些管道流速又不宜过小，以免水中挟带的泥沙沉积。

在已知的流量下选择管径d以后，即可计算各段的水头损失。以末稍供水点为基准面，干管(最不利点)需要的总水头为：

    　　　

式中H_z为自由水头(端点压强水头余量)。

水塔中应有的水面高度(或水泵应有的压力水头)由H决定。

干管在各分支点的水头及支管端点水头已知，各支管的水力计算就属于给定水头和流量求管径的问题了。

2. 旧网扩建

   扩建管网是在水塔高度、管线地形、管段长度、用户流量和自由水头均已确定条件下，重新设计管径，以适应新的技术要求。由于水塔已建成，在确定管径时经济流速不起作用，而应以平均水力坡度值最小的干线，作为控制干线来确定管径。平均水力坡度由下式求出：

由和某管段的流量Q_i可以求出其流量模数K_i，，从而求出管径d。

控制干线各段管径确定后，还应对管径进行验算和调整，以满足技术经济要求。这样最终得出控制干线各分枝结点的水头，并以此为准确定其他干线的管径.

二、环形管网

首先根据工程要求及具体条件进行管线布置，在确定各管段长度和结点出流量的条件下，通过水力计算确定各管段的流量、管径和水头损失。

环形管网是由许多管环组成，每个管环自身连通闭合，而与相邻管环又有共有的管段和结点。因此，某环水力条件的调整改变，必将对其他各环产生影响。

环状管网的水力计算是依据以下两个条件进行的，即

(1)连续条件：设流人结点的流量为正、流出的为负，则流经结点的流量之和为零。

(2)能量平衡条件：对任一环路，由某结点沿管环两个方向至另一结点的水头损失应相等。设顺时针流向的水头损失为正、逆时针的为负，则环内水头损失之和为零。

设环状管网共有n_p 个结点和n_k个环，则可列出n_p-1和n_k个方程式，但要求解各管段的未知数(Q_i和d_i)，却有2(n_k+n_p-1)个，比方程数多一倍，为此应采用经济流速先确定各管段的管径，这样方程组才能封闭，从而求出各管段的流量和水头损失。管网水力计算多用逐步近似法求解，目前已普遍采用电算。

第六章  明渠恒定均匀流

《明渠恒定均匀流》授课学时为4个学时，其中第一节、第二节为2个学时，第三节为2个学时。

基本要求：①了解明渠均匀流的特点、产生条件及影响因素。　②能正确使用明渠均匀流的基本公式求解各类水力计算问题。

基本概念：⑴正常水深　⑵正（顺）坡　⑶倒（逆）坡　⑷平坡　⑸棱柱体明渠　⑹允许流速　⑺水力最佳断面

重点掌握：⒈均匀流的特点及产生条件　⒉利用谢才公式进行明渠均匀流的水力计算。

详细内容：

明渠是一种人工修建或自然形成的渠槽，当液体通过渠槽而流动时，形成与大气相接触的自由表面，表面上各点压强均为大气压强。所以，这种渠槽中的水流称为明渠水流或无压流。输水渠道、无压隧洞、渡槽、涵洞以及天然河道中的水流都属于明渠水流。

当明渠中水流的运动要素不随时间而变时，称为明渠恒定流，否则称为明渠非恒定流。明渠恒定流中，如果流线是一簇平行直线，则水深、断面平均流速及流速分布均沿程不变，称为明渠恒定均匀流；如果流线不是平行直线，则称为明渠恒定非均匀流。

设想在产生均匀流动的明渠中取出一单位长度的流段进行分析。设此流段水体重量为G，周界的摩阻力为F_f，流段两端的动水压力各为P₁、P₂。从力学观点看，明渠均匀流是一种等速直线运动。则作用于流段上所有外力在流动方向的分力必相互平衡，即

P₁+Gsinθ－P₂－F_f＝0

式中θ为渠底线与水平线的夹角。

因为均匀流中过水断面上的压强按静水压强分布，而且各过水断面的水深及过水断面积相同，故P₁=P₂。则由上式可得

                            Gsinθ＝F_f

上式表明：明渠均匀流中摩阻力F_f与水流重力在流动方向的分力相平衡。当G·sinθ≠F_f时，明渠中将产生非均匀流。

由于明渠均匀流的流线为一簇相互平行的直线，因此，它具有下列特性：

1．过水断面的形状、尺寸及水深沿程不变。

2．过水断面上的流速分布、断面平均流速沿程不变；因而，水流的动能修正系数及流速水头也沿程不变。

3．总水头线、水面线及底坡线三者相互平行，即J=J_z=i。

必须指出，因过水断面应与流线正交，故明渠均匀流的过水断面应为与底坡线相垂直(同时也与水面线相垂直)的平面，所以应在垂直于底坡线的方向量取水深值。但在实际工程中，如水电站的引水渠道，灌溉输水渠道等，底坡一般不大；为方便计，常用铅垂方向的水深h代替真实的水深h^’；并用渠段的水平投影长度L代替渠段的实际长度L^’。当底坡i≤0.1(θ≤6^o左右)时，这样做对水深或长度引起的误差均小于1%。但当渠道坡度很大时，将引起显著的误差。

由于明渠均匀流有上述特性，它的形成就需要有一定的条件：

1．水流应为恒定流。因为在明渠非恒定流中必然伴随着波浪的产生，流线不可能是平行直线。

2．流量应沿程不变，即无支流的汇入或分出。

3．渠道必须是长而直的棱柱体顺坡明渠，粗糙系数沿程不变。

4．渠道中无闸、坝或跌水等建筑物的局部干扰。

显然，实际工程中的渠道并不是都能严格满足上述要求的；特别是许多渠道中总有这种或那种建筑物存在，因此，大多数明渠中的水流都是非均匀流。但是，在顺直棱柱体渠道中的恒定流，当流量沿程不变时，只要渠道有足够的长度，在离开渠道进口、出口或建筑物一定距离的渠段，水流仍近似于均匀流，实际上常按均匀流处理。至于天然河道，因其断面几何尺寸、坡度、粗糙系数一般均沿程改变，所以不会产生均匀流。但对于较为顺直、整齐的河段，当其余条件比较接近时，也常按均匀流公式作近似解。

第一节　明渠均匀流的影响因素

明渠的断面形状、尺寸、底坡等对水流的流动状态有重要影响。所以为了研究明渠水流运动的规律，必须首先了解明渠的类型及其对水流运动的影响。

一、明渠的横断面

人工明渠的横断面，通常作成对称的几何形状。例如常见的梯形、矩形或圆形等。至于河道的横断面，则常呈不规则的形状。

当明渠修在土质地基上时，往往作成梯形断面，其两侧的倾斜程度用边坡系数m(m=ctgα)表示，m的大小应根据土的种类或护面情况而定。矩形断面常用于岩石中开凿或两侧用条石砌筑而成的渠道；混凝土渠或木渠也常作成矩形。圆形断面通常用于无压隧洞。  

根据渠道的横断面形状、尺寸，就可以计算渠道过水断面的水力要素。如工程中应用最广的梯形渠道，其过水断面的诸水力要素关系如下：

水面宽度：B=b+2mh

或            B=(β+2m)h

式中，β为断面宽深比即

过水断面面积：

湿周：

水力半径：

在工程实践中，有时由于地形、地质条件的改变，或是由于水流运动条件的需要，在不同的渠段，横断面形状、尺寸或底坡不完全相同。断面形状、尺寸及底坡沿程不变，同时又无弯曲的渠道称为棱柱体渠道；而横断面形状、尺寸或底坡沿程改变的渠道称为非棱柱体渠道。

在非棱柱体渠道中，由于断面形状、尺寸或底坡等沿程发生变化，流线不会是平行直线，故水流不可能形成均匀流动。

二、明渠的底坡

明渠渠底纵向倾斜的程度称为底坡。底坡以符号i表示，i等于渠底线与水平线夹角θ的正弦，即i=sinθ。

当明渠渠底沿程降低时，称为顺坡明渠，此时i＞0；当渠底为水平时，称为水平明渠，此时i=0；当渠底沿程升高时，称为逆坡明渠，此时i＜0。

在平底渠道中i=0，流段重力在顺流方向分力G·sinθ=0；在逆坡渠道中，流段重力的分力G·sinθ与摩阻力F_f的方向一致；因而都不可能满足G·sinθ=F_f的平衡条件，故在平底及逆坡渠段中，不可能产生均匀流动，只有在顺坡渠道中，才有可能产生均匀流。

三、糙率

由于不同的材料具有不同的粗糙系数，因此，当明渠的渠底和渠壁采用不同材料时，粗糙系数会沿湿周发生变化。例如边坡为混凝土护面而底部为浆砌卵石的渠道、利用圬工在山坡上所构成的渠道等，其各部分湿周具有不同的粗糙系数。此外，深挖的渠道因其下部与上部的土质不同，其下部及上部的粗糙系数亦各不相同，对于这种情况，可求其综合糙率n_p。n_p与各部分湿周的长度χ₁、χ₂…及其相应的粗糙系数n₁、n₂…有关。

谢才系数C与断面形状、尺寸及边壁粗糙有关。从曼宁公式或巴甫洛夫斯基公式可知，它是n和R的函数。但分析表明，R对C的影响远比n对C的影响小得多。因此，根据实际情况正确地选定粗糙系数，对明渠的计算将有重要的意义。在设计通过已知流量的渠道时，如果n值选得偏小，计算所得的断面也偏小，过水能力将达不到设计要求，容易发生水流漫溢渠槽造成事故，对挟带泥沙的水流还会形成淤积。如果选择的n值偏大，不仅因断面尺寸偏大而造成浪费，还会因实际流速过大引起冲刷。

严格说来粗糙系数应与渠槽表面粗糙程度及流量、水深等因素有关；对于挟带泥沙的水流还受含沙量多少的影响。但主要的因素仍然是表面的粗糙情况。对于人工渠道，在长期的实践中积累了丰富的资料，实际应用时可参照这些资料选择粗糙系数值(如表中所示)。对于天然河道，由于河床的不规则性，实际情况更为复杂，有条件时应通过实测来确定n值，初步选择时也可以参照表中数值。

第二节  　明渠均匀流的计算公式

一、基本公式及计算类型

明渠均匀流水力计算的基本公式有二，其一为恒定流的连续方程式

    Q=A·v=常数

另一则为均匀流的动力方程式，亦即谢才公式

   

对于明渠均匀流来讲，因为J=i，所以谢才公式可以写成如下的形式

   

明渠中的水流多系处于阻力平方区，目前工程界广泛采用满宁公式或巴甫洛夫斯基公式来确定上列公式中的谢才系数C。

根据连续方程和谢才公式，可得到计算明渠均匀流的流量公式

　　

式中为流量模数，单位为米³／秒(m³／s)，它综合反映明渠断面形状、尺寸和粗糙程度对过水能力的影响。在底坡一定的情况下，流量与流量模数成正比。

利用明渠均匀流基本公式，在其他条件已知时，可以求解以下三类问题：①明渠过流能力Q；②断面设计，对梯形断面而言是确定水深h或者底宽b；③确定底坡i。

对第②类问题，为了避免试算，书中附录Ⅰ、Ⅱ分别给出h及b的求解图。

二、允许流速

为通过一定流量，可采用不同大小的过水断面，则渠道中将有不同的平均流速。如果这一流速过大，可能冲刷渠槽使渠道遭到破坏；如果这一流速过小，又会导致水流中挟带的泥沙淤积，降低渠道的过水能力。对航运渠道，流速的大小直接影响航运条件的优劣；对水电站的引水渠道，流速的大小还与电站的动能经济条件有关。所以，设计渠道时，断面平均流速应结合渠道所担负的生产任务(灌溉渠道、水电站引水渠道、航运渠道……等)、渠道建筑材料的类型、水流中含沙量的多少、以及其它运用管理上的要求而选定。

1．渠道中的流速v应小于不冲允许流速v’，以保证渠道免遭冲刷。不冲允许流速v’与渠道建筑材料的物理特性(如土渠中土壤的种类、级配情况、密实程度等)和渠道水深有关。

2．渠道中的流速v应大于不淤流速v^’’，以保证水流中悬浮的泥沙不淤积在渠槽中。V^’’的大小与水流条件及挟沙特性等多方面的因素有关，可查阅有关手册确定。

3．对航运渠道及水电站引水渠道，渠中流速还应满足某些技术经济条件及应用管理方面的要求。

三、水力量佳断面

从均匀流的公式可以看出，明渠的输水能力(流量)取决于过水断面的形状、尺寸、底坡和粗糙系数的大小。设计渠道时，底坡一般依地形条件或其它技术上的要求而定；粗糙系数则主要取决于渠槽选用的建筑材料。在底坡及粗糙系数已定的前提下，渠道的过水能力则决定于渠道的横断面形状及尺寸。从经济观点上来说，总是希望所选定的横断面形状在通过已知的设计流量时面积最小，或者是过水面积一定时通过的流量最大。符合这种条件的断面，其工程量最小，称为水力最佳断面。

把满宁公式代入明渠均匀流的基本公式可得

   

由上式可知：当渠道的底坡i、粗糙系数n及过水断面积A一定时，湿周χ愈小(或水力半径R愈大)通过流量Q愈大；或者说当i、n、Q一定时，湿周χ愈小(或水力半径R愈大)所需的过水断面积A也愈小。

由几何学可知，面积一定时圆形断面的湿周最小，水力半径最大；因为半圆形的过水断面与圆形断面的水力半径相同，所以，在明渠的各种断面形状中，半圆形断面是水力最佳的。但半圆形断面不易施工。对于无衬护的土渠，两侧边坡往往达不到稳定要求；因此半圆形断面难于普通采用，只有在钢筋混凝土或钢丝网水泥做成的渡槽等建筑物中才采用类似半圆形的断面。

工程中采用最多的是梯形断面，其边坡系数m由边坡稳定要求确定。在m已定的情况下，同样的过水面积A，湿周的大小因底宽与水深的比值（即宽深比β＝b／h）而异。根据水力最佳断面的条件，有A＝常数，χ＝最小值。   

即　　

分别写出A、χ对h的一阶导数并使之为零，上二式中消去db/dh后，解得

   

上式表明：梯形水力最佳断面的宽深比b/h值仅与边坡系数m有关。

因为R=A/χ,将A、χ的几何要素代入，并用β_m代替式中的β值，整理后得

    R_m=h_m/2

即梯形水力最佳断面的水力半径等于水深的一半。

矩形断面可以看成为m＝0的梯形断面。以m＝0代入以上各式可求得矩形水力最佳断面的β_m及R_m值。此时h_m=b/2

在一般土渠中，边坡系数m＞1，则按前式求得的β_m＜1；即梯形水力最佳断面通常都是窄而深的断面。这种断面虽然工程量最小，但不便于施工及维护；所以，无衬护的大型土渠不宜采用梯形水力最佳断面。

第七章  明渠恒定非均匀流

《明渠恒定非均匀流》授课学时为6个学时，其中第一节和第二节为2个学时，第三节和第四节为2个学时，第五、第六和第七节为2个学时。

基本要求：①理解明渠恒定非均匀渐变流的基本特性，急流与缓流的主要特征。掌握明渠水流流态的各种判别方法，了解佛汝德数的作用以及物理意义。　②理解断面比能的意义和表达式以及比能曲线的变化特点。熟记临界流公式。掌握临界水深的求解方法。了解临界底坡的基本概念及其定义和计算公式，缓坡、陡坡的实际含义。　③掌握明渠恒定非均匀渐变流水面曲线沿程变化规律，能绘制水面曲线形式，能利用逐段试算法正确计算水面曲线。　④了解水跃发生的条件及其水力现象，水跃方程的基本形式和应用条件。掌握共轭水深计算的各种方法。

基本概念：⑴壅水曲线　⑵降水曲线　⑶急流、缓流、临界流　⑷傅汝德数　⑸断面比能　⑹临界水深　⑺临界底坡　⑻缓坡、陡坡　⑼水跃　⑽跃前水深、跃后水深

重点掌握：⒈急流、缓流、临界流的各种判别方法　⒉傅汝德数的表达式及物理意义　⒊断面比能、临界水深、临界底坡的概念　⒋临界水深的计算　⒌临界底坡的计算，陡坡、缓坡的判别　⒍各种底坡各个分区的水面曲线形式，水面曲线的连接

详细内容：

人工渠道或天然河道中的水流绝大多数是非均匀流。均匀流的特点是明渠的底坡线、水面线、总水头线彼此互不平行。产生明渠非均匀流的原因很多，明渠横断面的几何形状或尺寸沿流程改变，粗糙度或底坡沿流程改变，或在明渠中修建人工建筑物(闸，桥梁、涵洞)，都能使明渠水流发生非均匀流动。   

在明渠非均匀流中，若流线是接近于相互平行的直线，或流线间夹角很小、流线的曲率半径很大，这种水流称为明渠非均匀渐变流。反之为明渠非均匀急变流。

本章着重研究明渠中恒定非均匀渐变流的基本特性及其水力要素(主要是水深)沿程变化的规律。具体地说，就是要分析水面线的变化及其计算，以便确定明渠边墙高度以及回水淹没的范围等。确定明渠水面线的形式及其位置，在工程实践中具有十分重要的意义。

因明渠非均匀流的水深沿流程是变化的，h=f(s)，为了不致引起混乱，以及把明渠均匀流的水深称为正常水深，并以h₀表示。

第一节　明渠水面曲线微分方程式

为了求得h=f(s)的规律，须建立水面曲线的微分方程式。在底坡为i的明渠渐变流中，沿水流方向任取一微分流段ds，设上游断面水深为h，水位为z，断面平均流速为v，河底高程为z₀；由于非均匀流中各种水力要素沿流程改变，故微分流段下游断面水深为h+dh，水位为z+dz，平均流速为v+dv。因水流为渐变流，可对微分流段的上、下游断面建立能量方程，化简得

   

令　　　

称E_s为断面比能，又    则上式可变为

　　　　

上式可变换为

式中 为佛汝德数，它为一无量纲数。 上两式是明渠恒定非均匀渐变流的基本微分方程式。

第二节  明渠水流的三种流态

明渠水流有和大气接触的自由表面，它与有压流不同，具有独特的水流流态。一般明渠水流有三种流态，即缓流、临界流和急流。掌握明渠水流流态的实质，对分析研究明渠水面曲线的变化规律有重要意义。

为了了解三种流态的实质，我们可以观察一个简单的实验：

若在静水中沿铅垂方向丢下一块石子，水面将产生一个微小波动，这个波动以石子着落点为中心，以一定的速度c向四周传播，平面上的波形将是一连串的同心圆。这种在静水中传播的微波速度c称为相对波速。若把石子投入流动着的明渠均匀流中，则微波的传播速度应是水流的流速与相对波速的向量和。当水流断面平均流速v小于相对波速c时，微波将以绝对速度v-c向上游传播，同时又以绝对速度v+v_w向下游传播，这种水流称为缓流。当水流断面平均流速v等于相对流速c时，微波向上游传播的绝对速度为0，而向下游传播的绝对速度为2c，这种水流称为临界流。当水流断面平均流速v大于相对波速ｃ时，微波只以绝对速度v+ｃ向下游传播，而对上游水流不发生任何影响，这种水流称为急流。

由此可知，只要比较水流的断面平均流速v和微波相对速度ｃ的大小，就可判断干扰微波是否会往上游传播，也可判别水流是属于哪一种流态。

当v＜ｃ时，水流为缓流，干扰波能向上游传播。

v＝ｃ时，水流为临界流，干扰波不能向上游传播。

v＞ｃ时，水流为急流，干扰波不能向上游传播。

要判别流态，必须首先确定微波传播的相对速度，微波在静水中传播速度的计算公式：

式中：为断面平均水深，A为断面面积，B为水面宽度。

在实际工程上水流都是流动的，设水流的断面平均流速为v，则微波传播的绝对速度v_w应是静水中的相对波速ｃ与水流流速的代数和，即

   ｖ_ｗ＝ｖ±ｃ

式中，取正号时为微波顺水流方向传播的绝对波速，取负号时为微波逆水流方向传播的绝对波速。

对临界流来说，断面平均流速恰好等于微波相对波速，即

ｖ＝ｃ＝

上式可改写为

显然，对临界流来说佛汝德数恰好等于1，因此也可用佛汝德数来判别明渠水流的流态：

   当 Fr＜1、水流为缓流

    　Fr＝1、水流为临界流

    　Fr＞1，水流为急流。

佛汝德数在水力学中是一个极其重要的判别数，为了加深理解它的物理意义，可把它的形式改写为

　　

由上式可以看出，佛汝德数是表示过水断面单位重量液体平均动能与平均势能之比的二倍开平方，随着这个比值大小的不同，反映了水流流态的不同。当水流的平均势能等于平均动能的二倍时，佛汝德数Fr＝1，水流是临界流。佛汝德数愈大，意味着水流的平均动能所占的比例愈大。

佛汝德数的物理意义，还可以从液体质点的受力情况来认识。设水流中某质点的质量为dM，流速为u，则它所受到的惯性力和重力之比开平方的量纲式与佛汝德数相同。由此可知佛汝德数的力学意义是代表水流的惯性力和重力两种作用的对比关系。当这个比值等于l时，恰好说明惯性力作用与重力作用相等，水流是临界流。当Fr＞1时，说明惯性力作用大于重力的作用，惯性力对水流起主导作用，这时水流处于急流状态。当Fr＜l时，惯性力作用小于重力作用，这时重力对水流起主导作用，水流处于缓流状态。

第三节　断面比能、临界水深和临界底坡

明渠中水流的流态也可用能量角度来分析。

一、断面比随、比能曲线

    对于渐变流，若以０—０为基准面，当明渠底面与水平面的夹角很小时，则过水断面上单位重量液体所具有的总能量为

如果我们把参考基准面选在渠底这一特殊位置，把对通过渠底的水平面0’—0’所计算得到的单位能量称为断面比能并以E_s来表示，则

不难看出，断面比能E_s是过水断面上单位液体总能量E的一部分，二者相差的数值乃是两个基准面之间的高差z₀。

由上式可知，当流量Q和过水断面的形状及尺寸一定时，断面比能仅仅是水深的函数，即E_s＝f(h)，按照此函数可以绘出断面比能随水深变化的关系曲线，该曲线称为比能曲线。很明显，要具体绘出一条比能曲线必须首先给定流量Q和断面的形状及尺寸。对于一个已经给定尺寸的断面，当通过不同流量时，其比能曲线是不相同的；同样，对某一指定的流量，断面的形状及尺寸不同时，其比能曲线也是不相同的。

假定已经给定某一流量和过水断面的形状及尺寸，现在来定性地讨论一下比能曲线的特征。由上式可知，若过水断面积A是水深h的连续函数，当h→0时，A→0，则E_s→∞。当h→∞时，A→∞，则E_s→∞。若以h为纵坐标，以E_s为横坐标，根据上述讨论，比能曲线是一条这样的曲线，其下端以水平线为渐近线，上端以与坐标轴成45⁰夹角并通过原点的直线为渐近线，该曲线在K点断面比能有最小值E_smin。K点把曲线分成上下两支。在上支，断面比能随水深的增加而增加；在下支，断面比能随水深的增加而减小。

若将E_s对h求导，并化简得：

上式说明，明渠水流的断面比能随水深的变化规律是取决于断面上的佛汝德数。对于缓流，Fr＜1，则＞0，相当于比能曲线的上支，断面比能随水深的增加而增加；对于急流，Fr＞1，则＜0，相当于比能曲线的下支，断面比能随水深的增加而减少；对于临界流，Fr=1，则=0，相当于比能曲线上下两支的分界点，断面比能为最小值。

 二、临界水深

相应于断面单位能量最小值的水深称为临界水深，以h_K表示。将断面比能表达式对水深h取导数，并令其等于零，即可求得临界水深所应满足的条件。今后凡相应于临界水深时的水力要素均注以脚标K，临界水深所应满足的条件可写作

   

当流量和过水断面形状及尺寸给定时，利用上式即可求解临界水深h_k。

1．矩形断面明渠临界水深的计算

今矩形断面宽为b则B_K＝b，A_K＝bh_K。代人上式后可解出临界水深公式为

   

上式中q=Q/b为单宽流量。

2．断面为任意形状时，临界水深的计算

若明渠断面形状不规则，过水面积A与水深之间的函数关系比较复杂，把这样的复杂函数代人临界水深条件式，不能得出临界水深h_K的直接解。在这种情况下，一般只能用试算法求解h_K。当给定流量Q及明渠断面形状、尺寸后，由临界水深条件式，其左端为一定值，该式的右端仅仅是水深的函数。于是可以假定若干个水深h，从而可算出若干个与之对应的值，当某一值刚好与左端定值相等时，其相应的水深即为所求的临界水深h_K。

3．等腰梯形断面临界水深计算

若明渠过水断面为梯形，且两侧边坡相同，在这种情况下，可应用一种简便的查图法求解临界水深h_K。 

根据所给流量及断面尺寸，应用上述方法求出临界水深h_K以后，可用h_K来判别流态：

当  h_K＞h时，Fr＜1，为缓流，

当  h_K＝h时，Fr＝1，为临界流，

当  h_K<h时，Fr＞1，为急流。

三、临界底坡

设想在流量和断面形状、尺寸一定的棱柱体明渠中，当水流作均匀流时，如果改变明渠的底坡，相应的均匀流正常水深h₀亦随之而改变。如果变至某一底坡，其均匀流的正常水深h₀恰好与临界水深h_K相等，此坡度定义为临界底坡。

若已知明渠的断面形状及尺寸，当流量给定时，在均匀流的情况下，可以将底坡与渠中正常水深的关系绘出。不难理解，当底坡i增大时，正常水深h₀将减小；反之，当i减小时，正常水深h₀将增大。从该曲线上必能找出一个正常水深恰好与临界水深相等的K点。曲线上K点所对应的底坡i_K即为临界底坡。

在临界底坡上作均匀流时，一方面它要满足临界流的条件，另一方面又要同时满足均匀流的基本方程式，联解此二式可得临界底坡的计算式为：

   

式中R_K、χ_K、C_K为渠中水深为临界水深时所对应的水力半径、湿周、谢才系数。

由上式不难看出，明渠的临界底坡与断面形状尺寸、流量及渠道的糙率有关，而与渠道的实际底坡无关。

—个坡度为i的明渠，与其相应(即同流量、同断面尺寸、同糙率)的临界底坡相比较可能有三种情况，即：i＜i_K，i＝i_K，i＞i_K。根据可能出现的不同情况，可将明渠的底坡分为三类：

    i＜i_K，为缓坡

    i＞i_K，为陡坡   

    i＝i_K，为临界坡   

明渠中水流为均匀流时，若i＜i_K，则正常水深h₀＞h_K；若i＞i_K则正常水深h₀＜h_K；若i＝i_K，则正常水深h₀＝h_K。所以在明渠均匀流的情况下，用底坡的类型就可以判别水流的流态，即在缓坡上水流为缓流，在陡坡上水流为急流，在临界坡上水流为临界流。但一定要强调，这种判别只能适用于均匀流的情况。在非均匀流时，就不一定了。

第四节 棱柱体明渠中恒定非均匀渐变流水面曲线分析

由于明渠渐变流水面曲线比较复杂，在进行定量计算之前，有必要先对它的形状和特点作一些定性分析。

由棱柱体明渠非均匀渐变流微分方程式知，水深h沿流程s的变化是和渠道底坡i及实际水流的流态(反映在Fr中)有关。所以对于水面曲线的型式应根据不同的底坡情况、不同流态进行具体分忻。为此，我们首先将明渠按底坡性质分为三种情况：正坡(i＞o)，平底(i=0)，逆坡(i<0)。

对于正坡明渠，根据它和临界底坡作比较，还可进一步区分为缓坡、陡坡、临界坡三种情况。

在正坡明渠中，水流有可能作均匀流动，因而它存在着正常水深h₀。另一方面它也存在着临界水深。对于棱柱体明渠，任何断面临界水深相同，画出各断面临界水深线K—K，是平行于渠底的直线。在正坡棱柱体渠道中，究竟临界水深h_K和正常水深h₀何者为大，则视明渠属于缓坡、陡坡或临界坡而别。如图是三种正坡棱柱体明渠中，正常水滨线N—N与临界水深线K—K的相对位置关系。对于临界底坡明渠，因正常水深h₀和临界水深h_K相等，故N—N线与K—K线重合。

在平底及逆坡棱柱体明渠中，因不可能有均匀流，不存在正常水深h₀，仅存在临界水深，所以只能画出与渠底相平行的临界水深线K—K。如图是平底和逆坡棱柱体明渠中K—K线情况。

由于明渠中实际水流的水深可能在较大的范围内变化，也就是说它既可能大于临界水深，也可能小于临界水深，对于正坡明渠，它既可能大于正常水深，也可能小于正常水深。为了表征它的特点可将水流实际可能存在的范围划分为三个区：

1. a区

凡实际水深h既大于h₀，又大于h_K，即凡是在K—K线和N—N线二者之上的范围称为a区。

2．b区

凡是实际水深h介于h_K和h₀之间的范围称为b区。b区可能有两种情况：K—K线在N—N线之下(缓坡明渠)，或K—K线在N—N线之上(陡坡明渠)，无论那种情况都属于b区。

3．c区

凡是实际水深h既小于h_K又小于h₀的区域，即在N－N线及K－K线二者之下的区域。    对于平底和逆坡棱柱体明渠，因不存在N—N线，或者可以设想N—N线在无限远他所以只存在b区与c区。

由以上分析可知，棱柱体明渠可能有五种不同底坡，十二个流区。不同底坡和不同流区水面曲线的型式是不同的。为了便于分类，我们将以不同流区和底坡来标志水面曲线的型式。缓坡i＜i_K为“Ⅰ”类，陡坡i＞i_K为‘Ⅱ”类，临界按i＝i_K为“Ⅲ”类，平底i＝0为“0”类，逆坡i＜0为“’”类，并以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、０和“’”为附标附于a、b、c区号上这样棱柱体明渠中可以有a_Ⅰ、b_Ⅰ，、c_Ⅰ；a_Ⅱ、b_Ⅱ、c_Ⅱ；a_Ⅲ、b_Ⅲ、c_Ⅲ；a₀、b₀、c₀；a^’、b^’、c^’共十二种水面曲线。各种水面曲线的定性分析可以从棱柱体明渠非均匀渐变流微分方程式得出。现以缓坡渠道为例，分析如下：

因为在正底坡棱柱体明渠中，水流有可能发生均匀流动，微分方程式中流量可以用均勾流态下的流量去置换，K₀表示均匀流的流量模数，因而微分方程式可变成如下形式

　　

对缓坡明渠：i＜i_K情况：

1．在a区

因缓坡明渠N—N线在K—K线之上，该区内实际水流的水深h＞h₀＞h_K，故K＞K₀，同时因水流为缓流，Fr＜1，由上式可知dh/ds＞o，即水深沿流程增加，我们把水深沿流程增加的水面曲线称为壅水曲线，并把这种缓坡上a区的壅水曲线以a_Ⅰ作代号。现进一步讨论a_Ⅰ型壅水曲线的发展趋势。在它的上游端水深最小，若取其极限情况，当h→h₀时，K→K₀。因a区水流为缓流，Fr＜1，有dh/ds→0，故上游端当h→h₀时，水面线以N—N线为渐近线。

如果渠道是无限长下游端水深愈来愈大，其极限情况是h→∞，此时K→∞，因而Fr→0，此时dh/ds→i，即水深沿流程的变化率和i相等，不难证明，这意味着水面曲线趋近于水平线，因此。a_I型壅水曲线的下游端以水平线为渐近线。

2．在b区

在缓坡渠道的b区，h_K＜h＜h₀，故K＜K₀，因缓坡渠道的b区水流为缓流，Fr＜1，故dh/ds＜0，即水深沿程减小，我们把水深沿流程减小的水面曲线称为降水曲线，并把缓坡上b区的降水曲线以b_Ⅰ作代号。

b_Ⅰ型降水曲线的上游端水深最大，其极限情况是h→h₀，当h→h₀时，K→K₀，故dh/ds→０，即上游端仍以N—N线为渐近线。

bⅠ型曲线的下游端水深最小，其极限情况是h→h_K，当h→h_K时，Fr→１，而K为某一定值，由微分方程式可知dh/ds→－∞，即曲线的下端h接近h_K时，曲线与K—K线有成垂直的趋势。表明在h→h_K的局部范围内，水流曲率已经很大，不再属于渐变流性质，因而用现在的渐变流微分方程来讨论它已不符合实际。客观事实亦已证明，当b_Ⅰ型曲线在降落到水深接近临界水深时，水面并无与K—K线成正交的现象。

3.  c区

在缓坡渠道的c区，实际水深h＜h_K＜h₀，故K＜K₀，且因水流为急流Fr＞1，此时dh/ds＞0，水深沿流程增加，为壅水曲线，并以c_Ⅰ为该水面曲线的代号。

c_Ⅰ型壅水曲线的下游端，其水深增大的极限情况是达到h_K，当h→h_K时，Fr→1，此时dh/ds→∞，即曲线有与K—K线成垂直的趋势。已如前面所指出，实际水流中不会发生此种现象。

c_Ⅰ型曲线的上游端水深最小。但是明渠中只要有流量通过，水深就不会为零，因此没有必要讨论h→0的趋势，上游端的最小水深常常是受来流条件所控制。

对于陡坡、临界坡以及平底、逆被渠道上的水面曲线型式，可采用类似方法分析，这里不再一一进行讨论。

第五节　棱柱体渠道水面曲线的连接

当棱柱体渠道底坡发生变化或者有堰闸等水工建筑物时，条件的变化和局部阻力的存在，产生了非均匀流动。我们应当根据底坡的变化和水工建筑物的影响，运用上述水面曲线的规律，将各渠段内实际可能发生的水面曲线定性地连接出来，为水面曲线定量计算奠定基础。

水面曲线连接时应注意以下几点：

①　根据底坡性质和水工建筑物形式，确定水面曲线发生的区间和其两端的控制水深，以明确连接趋势。控制水深可为正常水深、临界水深以及堰闸上游水位和下游收缩水深等。

②　若水流下游为较长的正坡渠道，则水面线最终应趋于N－N线，即均匀流动。

③　当水面线由急流向缓流过渡时，必然穿过K－K线，应以水跃来实现连接；由缓流穿过K－K线向急流过渡时，以跌水形式连接，并近似认为在变坡处水面线经过K－K线。

水面曲线的连接可参阅例题。

第六节      明渠恒定非均匀渐变流水面曲线的计算

在对棱柱体明渠非均匀渐变流水面曲线型式作了定性分析之后，理应将基本微分方程积分，以便对水面曲线进行定量计算。但是实践证明，将基本微分方程进行普遍积分非常困难，常常需要引进一些近似的假定。所以本书着重介绍简明实用的分段求和法。这种方法不受明渠形式的限制，对棱柱体及非棱柱体明渠均可适用。

一、基本计算公式

将水面曲线分为若干段，对其中任一段，可将明渠恒定非均匀渐变流基本微分方程式变为有限差分形式进行计算，即

　　

上式中ΔE_s为流段的两端断面上断面比能差值，E_sd、E_su分别表示Δs流段的下游及上游断面的断面比能，Δs流段的平均水力坡度一般采用：

　　　或　　

二、计算方法

用分段求和法计算水面曲线的基本方法，是先把明渠划分为若干流段，然后对每一流段Δs，应用微分方程的有限差分公式，由流段的已知断面推求未知断面，然后逐段推算。

根据不同情况，实际计算可能有两种类型：

(1)己知流段两端的水深，求流段的距离Δs。

这种类型计算，对棱柱体渠道，可以将已知参数代入式中，直接解出Δs值，不需要试算。如果计算任务是为了绘制棱柱体明渠的水面曲线，则已知一端水深h₁，可根据水面曲线的变化趋势，假定另一端水深h₂，从而求出其Δs，根据逐段计算的结果便可将水面曲线绘出。

但对非棱柱体明渠则不可能使用这种方法，只能采用下述第(2)种类型的试算法。

(2)已知流段一端的水深和流段长Δs，求另一端断面水深。

计算时可假定另一端断面水深，从而按照有限差分式算得一个Δs，若此Δs与已知Δs相等则假定水深即为所求，若不等，需重新假设，直至算得的Δs与已知的Δs相等为止。

分段试算法，是以差分方程代替微分方程，在Δs流段内把断面比能E_s及水力坡度J视为线性变化，因而计算的精度和流段的长度有关，一般流段不宜取得太长。分段愈多其精度愈高。

注：由于学时所限，对非水利类专业的学生只要求学习前七章，后三章不作要求。