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例题：（初中数学综合题）如图，已知AC是半径为2的⊙O的一条弦，且AC=2√3，点B是⊙O上不与A、C重合的一个动点， （1）计算△ABC的面积的最大值； （2）当点B在优弧AC上，∠BAC＞∠ACB时，若∠ABC的平分线交AC于D，且OD⊥BD，求线段AD的长．  知识回顾 垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 推论二:弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。 分析：（1）如图1所示，当点B在优弧AC的中点时，AC边上的高最大，△ABC的面积的也最大，连接AB，BC，OB，延长BO交AC于H．根据圆的对称性，得到BH⊥AC，AH=HC，再根据勾股定理求出OH的长，进而求出BH即可解决问题． （2）如图2所示，延长BD交⊙O于E，连结OE交AC于F，连结OC．通过计算线段长度OF=1，EF=1，证明△ODF是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题． 请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！  解答：（以下过程可以部分调整） （1）如图1，当点B在优弧AC的中点时，AC边上的高最大，此时△ABC的面积的最大， 连接AB，BC，OB，延长BO交AC于H． ∵弧AB=弧BC，BO是半径， ∴BH⊥AC，AH=HC，（根据圆的对称性） ∵AC=2√3， ∴AH=HC=√3， ∵在Rt△AOH中，OH^2=OA^2-AH^2， ∴OH=1， ∴BH=OB+OH=2+1=3， ∴△ABC的最大面积 =1/2×AC×BH =1/2×2√3×3 =3√3．  （2）如图2，延长BD交⊙O于E，连接OE交AC于F，连接OC． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴E为弧AC中点， ∴OE⊥AC，（垂径定理） ∴AF=CF=√3， ∵在Rt△COF中，OF^2=OC^2-CF^2，OC=2， ∴OF=1，EF=1， ∴DF垂直平分OE， ∴OD=DE， 又∵OD⊥BD， ∴△ODE是等腰直角三角形， ∴DF=1/2OE=1， ∴AD=AF-DF=√3-1． （完毕） 这道题属于综合题，考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是会添加常用辅助线，并构造特殊三角形解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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