一、标量、向量、矩阵与张量1. 标量(scalar)
在介绍标量时,会明确它是哪种类型的数,如:
2. 向量(vector)
3. 行列式行列式在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。 行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在 n 维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对'体积'所造成的影响。 4. 矩阵(matrix)5. 张量(tensor)二、一些运算1. 转置(transpose)转置是以对角线为轴的矩阵的镜像,从左上到右下称为主对角线(main diagonal)。 向量可以看作只有一列的矩阵, 对应地,向量的转置可以看作只有一行的矩阵。 2. 矩阵运算矩阵可以进行加法、乘法计算。 深度学习中,允许矩阵和向量相加: 3. 矩阵乘法两个矩阵的标准乘积不是两个矩阵中对应元素的乘积。
示例:
点积 矩阵乘法分配律 矩阵乘积结合律 矩阵乘积并不满足交换律,然而两个向量的点积满足交换律: 矩阵乘积的转置有着简单的形式: 4. 单位矩阵(identity matrix)从形式上看,单位矩阵所有沿对角线的元素都是1, 而其它位置的所有元素都是0.如: 5. 逆矩阵6. 求解 A x = b三、使用Python Numpy进行一些矩阵定义1. 矩阵定义与矩阵形状import numpy as np# 创建一维的narray对象a = np.array([1,2,3,4,5])# 创建二维的narray对象a2 = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10]])print(a)print(a2)# 打印a2的形状print(a2.shape)# 行数print(a2.shape[0])# 列数print(a2.shape[1]) 输出结果: 2. 矩阵的截取import numpy as npa = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10]])# 截取第一行,返回 [[1 2 3 4 5]]print(a[0:1]) # 截取第二行,第三到六列,返回 [8 9 10]print(a[1,2:5]) # 截取第二行,返回 [ 6 7 8 9 10]print(a[1,:]) 3. 按条件截取import numpy as npa = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10]])# 截取矩阵a中大于6的元素,范围的是一维数组 返回 [ 7 8 9 10]b = a[a>6] print(b) # 通过布尔语句生成一个布尔矩阵(其次将布尔矩阵传入[](方括号)实现上面截取运算)print(a>6) 4. 条件截取后赋值import numpy as npa = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10]])print(a)a[a>6] = 0print(a) 5. 矩阵合并import numpy as npa1 = np.array([[1,2],[3,4]])a2 = np.array([[5,6],[7,8]])#参数传入时要以列表list或元组tuple的形式传入# 横向合并print(np.hstack([a1,a2])) # 或 np.concatenate( (a1,a2), axis=1 )# 纵向合并print(np.vstack((a1,a2))) # 或 np.concatenate( (a1,a2), axis=0 ) 6. 通过函数创建矩阵arange 递增矩阵import numpy as npa = np.arange(10) # 默认从0开始到10(不包括10),步长为1print(a) # 返回 [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]a1 = np.arange(5,10) # 从5开始到10(不包括10),步长为1print(a1) # 返回 [5 6 7 8 9]a2 = np.arange(5,20,2) # 从5开始到20(不包括20),步长为2print(a2) # 返回 [ 5 7 9 11 13 15 17 19] linspace 等差数列import numpy as npa = np.linspace(0,10,7) # 生成首位是0,末位是10,含7个数的等差数列print(a) logspace 等比数列import numpy as npa = np.logspace(0,2,5) # 生成首位是10^0,末位是10^2,含5个数的等比数列print(a) 其它特殊矩阵
四、Python Numpy里一些矩阵运算1. 基础运算运算符说明+矩阵对应元素相加-矩阵对应元素相减*矩阵对应元素相乘/矩阵对应元素相除,如果都是整数则取商%矩阵对应元素相除后取余数**矩阵每个元素都取n次方,如**2:每个元素都取平方 示例: import numpy as npa1 = np.array([[4,5,6],[1,2,3]])a2 = np.array([[6,5,4],[3,2,1]])print(a1+a2) # 相加print(a1/a2) # 整数相除取商print(a1%a2) # 相除取余数 2. 一些运算函数
3. 矩阵乘法(点乘) dotimport numpy as npa1 = np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) # a1为2*3矩阵a2 = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]]) # a2为3*2矩阵print(a1.shape[1]==a2.shape[0]) # True, 满足矩阵乘法条件,即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数print(a1.dot(a2)) print(a2.dot(a1)) 可以看到点乘不满足乘法交换率。 4. 矩阵转置import numpy as npa = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])print(a.transpose())# 或 a.T 5. 逆矩阵import numpy as npimport numpy.linalg as lga = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])print(lg.inv(a))a = np.eye(3) # 定义一个3阶单位矩阵print(lg.inv(a)) # 单位矩阵的逆为他本身 6. 统计函数
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