|
物理学追求的是用数学语言优美地去描述物理规律。几乎包括爱因斯坦在内的所有科学家都坚信，物理学的最终规律一定是统一的。 从自然规律向数学描述的重要一步莫过于我们通过简单的物理现象总结数学规律。而这个过程需要大胆而富有创新力的科学家来完成。下面我们就来一起看一下，在科学上习以为常的东西背后是否存在着更深入的思想。 从一个高中问题开始 物理学家最擅长的就是近似了。在高中刚刚接触物理，研究物体的运动的时候，物体的体积、形状就被忽视了。但是在现实生活中显然不存在像质点一样的东西，小到密度无穷大的情况。为了简化问题的描述，我们依旧对质点的概念乐此不疲。接下来我们就考虑一下质点的问题。 数理化不分家，我们单纯从数学角度来考虑。 假设有一段质量为m，长度为l的线，这样的话这根线的线密度就可以定义为m/l。要想让这根线变成我们所说的质点，只需要保持质量m不变让l趋向于0。 我们不管这个过程在物理上能不能实现，只关心当l趋向于0时会发生什么后果。显然这个线的密度会趋向于无穷大。如果将这一过程画在坐标系里面，横轴作为长度，纵轴作为密度，到最后长度趋于0的时候，图像会成为这个样子：  红色部分趋于无穷大。 于是我们就可以定义这样一个函数，即在某一位置函数值为无穷大，在其他位置函数值为零。 虽然这个函数具有无穷大的值，但是在空间中积分又能得到有限值。这在物理学中用来描述质点、点电荷等物理模型，不但计算方便，而且物理含义还十分清楚。写成数学语言，就是：  这个方程是物理学家保罗·狄拉克提出来的，也叫做狄拉克δ函数。 闷声发大财的钢铁直男 说到狄拉克，就不得不说他那沉默寡言、惜字如金的性格了。  他出生于英格兰的布里斯托，母亲是英国人，父亲是瑞士人。他的父亲对子女要求极为严厉，比如要求子女必须说法语。 由于小时候狄拉克认为法语并不能表达他的所有想法所以极其反感，因此和家人交流甚少，外加上后来哥哥因抑郁自杀，这深深触动了狄拉克，使得其更加寡言少语。 当年剑桥大学里面有一个“狄拉克单位”，是狄拉克的同事以他的名字命名的。倒不是说定义了哪个物理量，而是以“一个小时内说一个字”定义的“狄拉克单位”来形容他那沉默的性格。但是正因为他沉默寡言的性格导致他的论文言简意赅，几乎没有一句废话。 杨振宁先生曾在他的《物理学与美》的文章中说狄拉克的文章给人一种“秋水文章不染尘”的美感。正如他本人对于物理规律追求的数学之美一样，“科学是以简单的方式去理解困难事物，而诗则是将简单事物用无法理解的方式去表达。” 但是狄拉克由于沉默寡言，相比于薛定谔而言可谓是一个天上一个地下。由于他过于腼腆，直到其在获得诺贝尔奖的时候，都还是单身狗。 虽然有个女人主动追求过狄拉克，但是相比于女人，爱因斯坦的吸引力要更大。直到那个女人对于这块不解风情的木头放弃的时候，狄拉克倒来劲了。 毕竟爱因斯坦不能陪他过一辈子。所以狄拉克开始关心姑娘“多喝热水”，姑娘也借着台阶嫁给了他。因为其他诺奖获得者都是获奖前就有了自己的伴侣，而她也就成了唯一一个获得诺贝尔奖后才开始婚姻的人的妻子。  数学家的噩梦 回到刚才所说的狄拉克δ函数。 我们知道，函数的定义是给出两个区间，一个区间每一个元素都通过法则与另外一个区间的元素一一对应，这个法则叫做函数。 但是对于狄拉克δ函数而言，整个实数区间上，除了函数值为无穷处其他的点都满足函数的定义，而在函数值为无穷的地方，却找不到一个确定值和它对应。所以严格来说，δ函数不能算作一个函数。 这可难坏了数学家们。因为在引入δ函数后其计算结果和物理规律吻合很好，这迫切需要数学家们解决这个函数的定义问题，赋予这个函数严格的数学意义。但这个过程并不是一帆风顺的。 早期函数定义是“由变量和常量组成的表达式”（J.伯努利），后来欧拉称函数是“信手画出的曲线”。 最终狄利克雷给出了“y是x的函数，如果任何x值，都对应着一个完全确定的y值。但是究竟以怎样方式建立所说的对应，根本不重要”的结论。在对应方式上，也就是法则上面，他提出了“不重要”的结论。那这种“不重要”的法则所言的函数是否有意义呢？ 为了解决这一矛盾，于是引入了广义函数。广义函数也就是非通常意义上的函数。而δ函数可以说是第一个广义函数了。δ函数的实际意义必须要放在积分里面来理解。在实际的应用中δ函数总是伴随着积分一起出现，比较常见的一类就是δ函数的挑选性：  可以看到，通过δ函数和任意函数的积分，就相当于该函数在δ函数里面取无穷的x坐标处的取值，相当于通过δ函数把对应函数值挑选出来。 从量子力学中来，到数学中去 提到狄拉克就不得不提量子力学。δ函数其实最早是狄拉克在解决量子力学问题中提出来的。 量子力学里面著名的狄拉克符号，即左矢<| 和右矢|>，就是狄拉克在拆解柏松括号的时候发展出来的一种漂亮的符号体系。在用狄拉克符号进行量子力学中力学量计算时，不可避免地出现了δ函数的情况，于是狄拉克将其写入《量子力学原理》一书中。 由于狄拉克大胆创造出来的这种怪异函数，虽然在当时不愿意被数学家所承认，但是在物理学和工程学计算中却倍受喜爱并被广泛应用，成为了非常强大的工具。 这也就导致了数学家们不得不抓紧投入其中，促进了泛函分析这们学科的发展。正是狄拉克的疯狂举动，出其不意地促进了数学的发展。这再一次表现出了数学和物理这一对好CP。 “在所有的物理学家里面，狄拉克拥有最纯洁的灵魂。”这是玻珥对狄拉克的评价。他除了不说废话之外，物质生活上也十分俭朴，不抽烟、不喝酒、不烫头，一日三餐，粗茶淡饭，无欲无求。 写在最后 也许只有真正的天才遇到真正所专长之事，才能把一生都献给所爱的事情。不忘初心，便是最淳朴的理想。  |
|
|
来自： hercules028 > 《数学》
