特殊化与一般化思想在解数列选择题中的应用

特殊化与一般化思想在解数列

选择题中的应用

湖北省阳新县高级中学       邹生书

例1 (2020·永州模拟)

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＝1，2S_n＝a_n＋1a_n，则S₁₀等于(    )

A．100 B．110  C．50  D．55

解法1：一般化  逻辑推理

∵2S_n＝a_n＋1a_n   ①    a₁＝1，

当n＝1时，2a₁＝a₂·a₁，得a₂＝2，

当n≥2时，2S_n－1＝a_na_n－1   ②

由①－②得2a_n＝a_n(a_n＋1－a_n－1)，

又∵2S_n＝a_n＋1a_n，

可得a_n≠0，从而a_n＋1－a_n－1＝2，

当n为奇数时，数列{a_n}是以1为首项，

2为公差的等差数列，故a_2n－1＝2n－1；

当n为偶数时，数列{a_n}是以2为首项，

2为公差的等差数列，故a_2n＝2n；

所以当n为正整数时，a_n＝n，

则S₁₀＝1＋2＋3＋…＋10＝55，

故选D.

解法2  特殊化  归纳推理

因为 a₁＝1，2S_n＝a_n＋1a_n，

当n＝1时，2a₁＝a₂·a₁，得a₂＝2，

当n＝2时，2(a₁+ a₂)＝a₃·a₂，

即2(1+2)＝a₃·2，得a₃＝3.

当n＝3时，2(a₁+ a₂+ a₃)＝a₄·a₃，

即2(1+2+3)＝a₄·3，得a₃＝4.

由此归纳猜想：数列的通项a_n＝n，

则S₁₀＝1＋2＋3＋…＋10＝55，

故选D.

例 3(2020·江淮十校联考)

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a_n}称为“斐波那契数列”，则(a₁a₃－a)(a₂a₄－a)(a₃a₅－a)…(a_{2 019}a_{2 021}－a)等于(   )

A．1     B．2 020      C．－1      D．－2 020

解析  从特殊到一般归纳推理

由题意得a₁a₃－a＝1，a₂a₄－a＝－1，

a₃a₅－a＝1，…，

∴当n为奇数时，a_na_n＋2－a＝1；

当n为偶数时，a_na_n＋2－a＝－1，

∴(a₁a₃－a)(a₂a_4－a)(a₃a₅－a)…(a₂₀₁₉a_2021－a)＝－1.

例 4（多选题）(九师联盟2020-2021学年高三新高考11月质量检测第12题)

斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂维多·斐波那契以兔子繁殖为例面引入，故又称为“兔子”数列，其通项公式为

是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三个数起，每项等于前相邻两项之和，即 a_n+2=a_n+1+a_n，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则下列结论正确的是（   ），

A.S₁₀=11a₇              B. a₂₀₂₁=2 a₂₀₁₉+a₂₀₁₈ 

C. S₂₀₂₁= S₂₀₂₀₊ S₂₀₁₉      D.S₂₀₁₉= a₂₀₂₀-1

解析1：逻辑推理

对于选项A.

S₁₀=1+1+2+3+5+8+13+21+34+55

=143=11a_7，

故A正确。

对于选项B.

a₂₀₂₁=a₂₀₂₀+a₂₀₁₉=(a₂₀₁₉ +a₂₀₁₈)+a₂₀₁₉

=2 a₂₀₁₉+a_2018，

故B正确。

对于选项C.用错位相减法

S₂₀₂₁-S₂₀₂₀ =a₁+(a₂-a₁)+(a₃- a₂) +(a₄- a₃)_+…+(a₂₀₂₁-a₂₀₂₀)

=1+ a₁₊a₂₊ a_3+…+a_2019=1+S_2019,

所以S₂₀₂₁=S₂₀₂₀ +S₂₀₁₉+1，故C错误。

对于选项D。用裂项相消法

S₂₀₁₉= a₁₊ a₂₊ a_3+….+ a₂₀₁₉₊ a₂₀₂₀

=(a₃-a₂)+(a₄-a₃) +(a₅- a₄)_+…+(a₂₀₂₁- a₂₀₂₀)=a₂₀₂₁-1，

所以S₂₀₁₉= a₂₀₂₁-1,故选项D错误。

解法2：特殊化与一般化相结合，合情推理与逻辑推理相交汇 

对于选项B,我们考察一般情形：

a_2n+3=2a_2n+1 +a_2n是否正确.

当n=1时,左边=a₅₌5,右边=2 a₃ +a₂ =5,等式成立;

当n=2时,左边=a₇₌13,右边=2 a₅ +a₄ =13,等式成立;

当n=3时,左边=a₉₌34,右边=2 a₇ +a₆=34,等式成立;

由此，猜想正确，从而选项B正确。

对于选项C,我们来看一般情形S_n, S_n+1,S_n+2

之间是否存在某种相等关系,考察S_n +S_n+1­-S_n+2的结果.

S₁+S_2­-S₃=1+2-4=-1；

S₂+S_3­-S₄=2+4-7=-1；

S₃+S_4­-S₅=4+7-12=-1；

由此猜想：S_n+S_n+1-S_n+2=-1,

于是有S_n+2=S_n+S_n+1+1，

从而S₂₀₂₁=S₂₀₂₀ +S₂₀₁₉+1，

故C错误。

对于选项D，我们来看一般情形S_n与a_n+2之间是否

存在某种等量关系，考察S_n-a_n+2的结果.

S₁-a₃=1-2=-1,S₂-a₄=2-3=-1,S₃-a₅=4-5=-1, 

S₄-a₆=7-8=-1,

由此猜想S₂₀₁₉= a₂₀₂₁-1,故选项D错误。

例 5（多选题）(九师联盟2020-2021学年高三新高考11月质量检测巩固卷第12题)

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,….其中从第三个数起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a_n}称为“斐波那契数列”，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则下列结论正确的是（    ）

解析：用合情推理中的归纳法，从特殊到特殊发现规律求解根据“斐波那契数列”的定义可以写出数列的所有项，数列{a_n}前面的部分项为：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…

易知a₆=8，S₇=33，所以选项A,B都正确。

对于选项C，我们考察一般情形：

a₁₊a₃₊a_5+…+a_2n-1=a_2n是否正确。

当n=1时，左边=a₁₌1，右边=a₂=1;

当n=2时，左边=a₁₊ a₃=3，右边=a₄=3;

当n=3时，左边a₁₊ a₃₊ a₅=8，右边=a₆=8;

当n=4时，左边a₁₊ a₃₊ a₅₊a₇=21，

右边=a₈=8=21;

由此，猜想a₁₊a₃₊a_5+…+a_2n-1=a_2n正确，

从而选项C正确。

对于选项D，我们考察一般情形：

【评注】四个选项的多选题，如果设置的四个选项都正确，由评分细则知，考生任选1个或2个或3个选项都可以得3分，只有选择了四个选项才能得满分5分，不会出现得0分的情形。这样考生的分数只有3分和5分两个等级，拉不档次，显得区分度不够，建议不出或少出四个选项都正确的多选题。有意思的是在九师联盟2020-2021学年高三新高考11月质量检测巩固卷中的四个多选题就有两个题目四个选项都正确。